Комплексифакация нужна только для удобства и сокращения записей. Имея линейный оператор
можно найти все собственные вектора и собственные плоскости без комплексификации. Попробую объяснить еще раз. Подпространство V пространства
назовем собственным, если A переводит
в себя. Одномерные подпространства это
, для некоторого собственного вектора х. Двумерные собственные пространства или разлагаются в прямую сумму двух одномерных подпространств, или не имеют собственных векторов, но для любого вектора х из плоскости V вектор
выражается в виде линейной комбинации векторов
. Так как в плоскости нет собственных векторов, то любой вектор из этой плоскости представляется линейной комбинацией векторов
. Пусть
, тогда
, т.е. характеристические коэффициенты
те же для всех векторов этой плоскости. Пусть
характеристический многочлен
. Тогда он делится на
(иначе поделив с остатком получим противоречие). Причем этот квадратный многочлен не имеет действительных корней. Квадратным многочленам можно сопоставить комплексные собственные значения. Но раз это меногих раздражает сопоставим им действительные пары чисел
Так же как для векторов, в случае отсутствия кратных собственных значений и пар собственных пространство разлагается в прямую сумму собственных одномерных и двумерных пространств. Остается только показать, что на плоскости оператор действует как растяжение и поворот на некоторый угол. Введем базис
, пусть
, тогда
, если
. Соответственно действие оператора в собственном двумерном подпространстве будет эквивалентно умножению на комплексное число при сопосталению вектору
или повороту с растяжением (без всякого сопоставления).