Про «перемену мест» слагаемых

[arseniiv]

(Оффтоп)

А, кажется, понял, о чём вы.

[epros]

[+] в сообщении #634266 писал(а):

Я хотел бы понимать «сумму» как-то так, чтобы она вела себя похоже на то, как всякие суммы ведут себя на бытовом уровне в реальном мире.

Вся эта тема какая-то странная, если не сказать - сомнительная... "На бытовом уровне" и "по здравому смыслу" как раз всё не так: никакого понятия "универсальной суммы" для любого количества слагаемых любой природы в головах у простых, математически не продвинутых людей нет. Прежде, чем человек начнёт понимать суммы для рациональных чисел (про действительные и т.п. я уж не говорю) его надо научить хотя бы целочисленному сложению, а для этого, как минимум, нужно освоить счёт. Что касается всяческих алгебраических подходов, то до них ещё нужно дорасти.

[Xaositect]

lek в сообщении #634269 писал(а):

Однако, насколько я понимаю, топик-стартер ставит вопрос шире. Почему при определении операции сложения мы должны ограничиваться бинарными операциями? Действительно, на произвольном множестве можно определить n-арную операцию (сопоставляющую всякому упорядоченному набору из n элементов единственный элемент этого множества) и некоторый (корректно заданный) набор аксиом. Допустим, что этот набор включает "аналоги" групповых аксиом коммутативности и ассоциативности. Тогда понятие "суммы" будет связано уже с n-арной операцией. Понятно, что подобные сопоставления весьма иллюзорны и технически сложны, но сама постановка вопроса заслуживает внимания...

Если я правильно помню, то это частный случай операды.

-- Вт окт 23, 2012 11:43:16 --

[+] в сообщении #634266 писал(а):

С точки зрения обычного здравого смысла, три выделенных числа относятся к одному и тому же типу сущностей, имеют одну и ту же природу, один и тот же смысл — суммарная сумма зарплаты по цеху.

А если мы определяем сумму через упорядоченную пару, то в нашей ведомости «честной» суммой получается только вторая. Третья уже имеет какую-то другую природу, а первая — вообще не сумма. Это противоречит моей человеческой интуиции.

Я воспринимаю это так: есть элементарная операция сложения, свойства которой позволяют определить сложную операцию суммы мультимножества, и в данном примере мы имеем дело с последней.

[lek]

Xaositect в сообщении #634627 писал(а):

Если я правильно помню, то это частный случай операды.

Скорее наоборот. В классе универсальных алгебр вид и количество тождеств не фиксированы...

[Xaositect]

lek в сообщении #634633 писал(а):

Xaositect в сообщении #634627 писал(а):

Если я правильно помню, то это частный случай операды.

Скорее наоборот. В классе универсальных алгебр вид и количество тождеств не фиксированы...

В классе универсальных алгебр - да. Я про то, что суммы различного числа слагаемых образуют операду.

[lek]

А, вот так... Надо будет посмотреть...

[ishhan]

Если речь идёт о сумме $s$ представленной алгебраической записью вида:

$$ s=x_1+...+x_n$$

, то почему бы не упомянуть о том что эта алгебраическая запись является простейшей симметрической формой первой степени от$ n$ переменных.
И второе это то, что каждое слагаемое из тождественного равенства:

$$ s-x_1-...-x_n=0$$

является обратной суммой всех остальных слагаемых.
Может быть я ошибаюсь?

[migmit]

[+] в сообщении #634222 писал(а):

1. Есть произвольное множество некоторых элементов («мешок с монетами»): $M = \{x_i\}$.

2. Есть какое-то числовое свойство, которое может быть и у отдельного элемента, и у всего мешка в целом («стоимость» или «вес»). Видимо, по-математически это будут две функции — одна от элемента ($f(x_i)$), другая — от множества ($F(M)$).

Вы не перемудрили. Собственно, вы интуитивно дошли до очень правильных идей.

А теперь смотрите: пусть в вашем "мешке" две монеты: $A$ и $B$. Тогда вы можете рассмотреть функцию $f$, для которой $f(A)=2$ и $f(B)=3$. А можете рассмотреть функцию $g$, для которой $g(A)=3$ и $g(B)=2$. Так вот, коммутативный закон говорит вам, что в обоих случаях сумма будет одинаковой.

[VIP]

Да но вот если мы применяем сложение бесконечное число раз к бесконечной последовательности, то от перемены мест слагаемых сумма хм... меняется (в общем случае).

[[+]]

VIP писал(а):

Да но вот если мы применяем сложение бесконечное число раз к бесконечной последовательности, то от перемены мест слагаемых сумма хм... меняется (в общем случае).

О чём я и говорю. :-) В моём интуитивном понимании, которое я тут пытался излагать, сумма в принципе не может меняться от перемены мест слагаемых, поскольку никакой «перемены мест» просто не бывает.

[Someone]

[+] в сообщении #635064 писал(а):

В моём интуитивном понимании, которое я тут пытался излагать, сумма в принципе не может меняться от перемены мест слагаемых, поскольку никакой «перемены мест» просто не бывает.

И это приводит к тому, что суммы рядов (бесконечных последовательностей), которые зависят от порядка слагаемых, при Вашем понимании просто не существуют.

[[+]]

Someone писал(а):

И это приводит к тому, что суммы рядов (бесконечных последовательностей), которые зависят от порядка слагаемых, при Вашем понимании просто не существуют.

Почему, собственно? Мешок с бесконечным количеством монет можно так же весь целиком взвесить на весах, как с конечным. При этом вес может оказаться как конечным, так и бесконечным.

[Someone]

Например, $1-\frac 12+\frac 13-\frac 14+\ldots+(-1)^{k-1}\frac 1k+\ldots=\ln 2$. Здесь важен определённый порядок сложения.
А в случае мешка с монетами порядок сложения не важен.

[[+]]

Someone писал(а):

Например, $1-\frac 12+\frac 13-\frac 14+\ldots+(-1)^{k-1}\frac 1k+\ldots=\ln 2$. Здесь важен определённый порядок сложения. А в случае мешка с монетами порядок сложения не важен.

Мне кажется, что то сложение, которое производится над рядами,— это по своей природе не то же самое явление, что сложение в «моём» смысле.

[Munin]

Тогда не распространяйте "ваш" смысл на бесконечные суммы.
Кстати, есть ряды, сходящиеся абсолютно...