Про «перемену мест» слагаемых

[Руст]

[+] в сообщении #635064 писал(а):

О чём я и говорю. В моём интуитивном понимании, которое я тут пытался излагать, сумма в принципе не может меняться от перемены мест слагаемых, поскольку никакой «перемены мест» просто не бывает.

Для сумм рядов из действительных чисел (да и для комплексных) независимость суммы ряда от перестановки эквивалентно сходимости абсолютно.

[Someone]

[+] в сообщении #635255 писал(а):

Мне кажется, что то сложение, которое производится над рядами,— это по своей природе не то же самое явление, что сложение в «моём» смысле.

Ну пусть у нас есть "мешок" со следующим набором чисел: $\{1,-\frac 12,\frac 13,-\frac 14,\ldots,(-1)^{k-1}\frac 1k,\ldots\}$. Как Вы определите их "сумму" в Вашем смысле? Кстати, я, вроде бы, ещё не видел Вашего определения.

[Евгений Машеров]

Насколько я могу понять, проблема у топикстартера возникла оттого, что он рассматривает некий промежуточный случай.
На раннем этапе развития математики её понятия возникали из наблюдения над реальным миром и обобщения (счёт материальных предметов->натуральное число и т.п.). По мере развития вместо этого понятия начинали задавать аксиомами.
Обучение математике в определённой степени повторяет путь её развития. И вот топикстартер застаёт момент, когда аксиомы начинают вводиться, но ещё не вытеснены наивные объяснения "сумма это сколько в мешке, если мы в него несколько раз кидали сосчитанное количество предметов" и удивляется - зачем аксиомы, если и на "наивном уровне" всё очевидно? А затем, чтобы можно было для доказательства не ссылаться на практический опыт и наглядность, они бывают удивительно обманчивы, и не пересчитывать бесконечное число предметов.

[epros]

Евгений Машеров в сообщении #635552 писал(а):

ещё не вытеснены наивные объяснения "сумма это сколько в мешке, если мы в него несколько раз кидали сосчитанное количество предметов"

Дело в том, что ТС полагает за "интуитивно очевидное" не сосчитанное количество предметов (кое выражается натуральным числом), а сумму вообще непонятно чего: слагаемые не то что не натуральные числа, а вообще объекты неизвестной природы. По-моему, никакой такой очевидности в природе не существует.

[Евгений Машеров]

Ну, собственно, для того, чтобы можно было работать с "объектами неизвестной природы", и надо переходить от "очевидного" к аксиомам.

[epros]

Евгений Машеров в сообщении #635578 писал(а):

Ну, собственно, для того, чтобы можно было работать с "объектами неизвестной природы", и надо переходить от "очевидного" к аксиомам.

Вопрос в том, что было очевидным "до аксиом".

Если смотреть на арифметику натуральных чисел, то там никакой аксиомы коммутативности сложения не было и нет: оное свойство сложения традиционно выводится из других аксиом. Другие аксиомы можно считать "очевидными" ибо они всего лишь рекурсивно определяют сложение через инкремент и т.п.

Если же смотреть на сложение с точки зрения алгебры: как на некую операцию над объектами некой природы, то никакой очевидности его коммутативности по-моему никогда не было. Мы просто можем принять (или не принять) аксиому коммутативности как часть определения операции сложения. Почему мы это делаем? Возможно потому, что хотим, чтобы сложение для произвольных объектов было "похоже" на сложение натуральных чисел... Ничего более глубокого я за этим не вижу.

[lek]

epros в сообщении #635581 писал(а):

Если же смотреть на сложение с точки зрения алгебры: как на некую операцию над объектами некой природы, то никакой очевидности его коммутативности по-моему никогда не было. Мы просто можем принять (или не принять) аксиому коммутативности как часть определения операции сложения.

А также аксиому ассоциативности, существование нулевого и противоположного элементов, да и бинарность операции в том числе...

epros в сообщении #635581 писал(а):

Почему мы это делаем? Возможно потому, что хотим, чтобы сложение для произвольных объектов было "похоже" на сложение натуральных чисел...

То есть, из-за стереотипов и инерции мышления...

epros в сообщении #635581 писал(а):

Ничего более глубокого я за этим не вижу.

Я тоже...

[[+]]

Евгений Машеров писал(а):

Насколько я могу понять, проблема у топикстартера возникла оттого, что он рассматривает некий промежуточный случай…

Евгений, я как топикстартер не уверен, что вы правильно поняли, что топикстартер хотел сказать своим произведением. :-) Топикстартер попробует прояснить и для вас, и для остальных уважаемых собеседников, которым ещё интересна эта тема.

1. Топикстартер не вполне понимает некоторых вещей из элементарной математики. Именно элементарной, которую учат в начальной школе, а не высшей, с бесконечными рядами, кольцами вычетов и абелевыми группами. В частности, топикстартеру неясно, какой смысл в элементарной математике имеют слова «перемена мест слагаемых». Топикстартер привык понимать эти самые «места» всего лишь как способ записи математического смысла, а не как содержательную часть этого смысла. То есть, повторю, для меня высказывание про «перемену мест слагаемых» звучит примерно как «оттого, что записать слагаемые римскими цифрами вместо арабских, сумма не меняется».

Примечание. Когда топикстартер говорит «я не понимаю X», это следует интерпретировать буквально — что топикстартер не понимает X и, возможно, хотел бы его понять. Это не следует интерпретировать, например, как «я не понимаю X, следовательно X — фигня».

2. Из комментариев топикстартер понял, что в школьной математике понятие суммы неявно вводится через классическое понятие упорядоченной пары. Но это топикстартеру не нравится, потому что количество и порядок слагаемых не кажутся ему существенными атрибутами понятия суммы. Собственно, в той же школьной математике так и оказывается: сначала вводится этот закон про «перемену мест слагаемых», потом разрешают складывать не только два числа, но и любое конечное количество чисел, а смысл суммы остаётся тем же самым. Условия, касающиеся порядка и количества слагаемых, уходят, а сама сумма как математическая сущность остаётся и благополучно используется в дальнейшем. На мой взгляд, это и значит, что эти условия были несущественны. А следовательно, может быть, без них можно было обойтись с самого начала?

3. У топикстартера есть субъективное, интуитивное представление о той сущности, которую он внутри своей головы привык понимать как «сумму». Топикстартер хочет разобраться, как это представление соотносится с общечеловеческой современной математикой и можно ли его осмысленно формализовать.

4. У топикстартера возникает внутренний протест, когда некие формальные модели ведут себя вообще совсем не так, как соответствующие им сущности в реальном мире. Здесь я снова обращаю внимание на свой пример с зарплатной ведомостью. В реальном человеческом мире все три выделенных числа относятся к одному и тому же классу сущностей, а в формальной математике (если я правильно понял) — к трём разным категориям.

Представьте себе, если бы какая-нибудь наука делила людей на мужчин и женщин, например, по цвету волос. Допустим, светловолосые считаются мужчинами, а все остальные — женщинами.

[Nemiroff]

[+] в сообщении #635592 писал(а):

На мой взгляд, это и значит, что эти условия были несущественны. А следовательно, может быть, без них можно было обойтись с самого начала?

Наоборот, именно из-за того, что "перемена мест" возможна, вам теперь кажется, что она несущественна.
Перемножение чисел - вроде бы тоже не запись в строку в определенном порядке, а свалка всего, что только есть, в кучу. Однако для матриц это уже неверно, требуется четко соблюдать порядок. В объектах более высоких порядков даже записи в строку недостаточно.

[+] в сообщении #635592 писал(а):

Топикстартер привык понимать эти самые «места» всего лишь как способ записи математического смысла, а не как содержательную часть этого смысла

Это верно, однако лишь в ограниченном смысле и в определенных случаях.

[+] в сообщении #635592 писал(а):

У топикстартера возникает внутренний протест, когда некие формальные модели ведут себя вообще совсем не так, как соответствующие им сущности в реальном мире.

Ну вообще это не проблема.

[+] в сообщении #635592 писал(а):

В реальном человеческом мире все три выделенных числа относятся к одному и тому же классу сущностей, а в формальной математике (если я правильно понял) — к трём разным категориям.

Ну почему? Можете считать, что все ваши числа - есть сумма элементов конечного числового множества.

[epros]

[+] в сообщении #635592 писал(а):

В частности, топикстартеру неясно, какой смысл в элементарной математике имеют слова «перемена мест слагаемых».

Всё очень просто: Это всего лишь особенность языка. Когда мы на некоем языке говорим про сумму чего-то, то перечисление этого "чего-то" обычно даётся списком. А список зависит от порядка, так что и некоторая его характеристика ("сумма") тоже может в принципе зависеть.

Разумеется, можно определять аргументы суммы не перечислением, а неким свойством. Например: Сумма всех натуральных чисел, меньших десяти. Но это не является стандартным подходом при определении суммы.

[+] в сообщении #635592 писал(а):

А следовательно, может быть, без них можно было обойтись с самого начала?

А в чём заключается "начало"?

[+] в сообщении #635592 писал(а):

У топикстартера есть субъективное, интуитивное представление о той сущности, которую он внутри своей головы привык понимать как «сумму».

Я подозреваю, что это интуитивное представление порождено той же начальной школой, через которую мы все прошли. Т.е. операциями с натуральными числами, начинающимися со счёта, загибания пальцев и т.п.

[+] в сообщении #635592 писал(а):

У топикстартера возникает внутренний протест, когда некие формальные модели ведут себя вообще совсем не так, как соответствующие им сущности в реальном мире. Здесь я снова обращаю внимание на свой пример с зарплатной ведомостью. В реальном человеческом мире все три выделенных числа относятся к одному и тому же классу сущностей, а в формальной математике (если я правильно понял) — к трём разным категориям.

Формальные модели будут вести себя так, как мы определим. Если хотите, можно определить сумму так, что все три числа будут "в одной категории".

[VIP]

[+]
Считайте что это аксиома.
Аксиом может быть много, и все они созданы для конкретных ситуаций.
Например, почему у вас не вызывает сомнения дистрибутивный закон a(b+c)=ab+ac?
А ведь он не применим даже в обычной жизни, например при оперировании вещественными числами на том же компьютере например, при наличествовании чисел a и b с с сильно разными порядками и большим количеством цифр после запятой данные вычисления дадут разные значения. Это хорошо известно.

[Евгений Машеров]

"Элементарная математика" это не какая-то особая математика. Это та математика, которую изучают в школе. То есть ограниченная объёмом, приспособленная к пониманию людьми, которые не выбрали именно эту профессию, и не выработали, по своему возрасту, способность работать со сложными логическими конструкциями.
То есть различия более педагогические, чем содержательные. И вот остатки педагогического приёма Вас, похоже, смущают.
Сперва давали счёт на палочках, потом, заставив сделать много упражнений на сложение, закрепили мысль, что 2+3=3+2, а потом уже дали правило. И после множества упражнений правило кажется само собой разумеющимся. Потому как упражнения именно на сложение натуральных чисел, для которых выполняется коммутативность. А не объектов другой природы.
Вот, скажем, пусть у нас "прибавить" будет "поместить прибавляемый объект туда, где уже есть первое слагаемое". Только складывать будем не числа, а воду и кислоту. От "перемены мест слагаемых"получим либо искомый раствор, либо ожог рук. Или пусть у нас автомат по продаже кока-колы. Сначала стаканчик подаёт, потом лёд, затем прибавляет кока-колу. А от "перемены мест слагаемых", когда сперва лёд, потом кока-кола, а затем прибавляется стаканчик, вместо прохладительного напитка получаем издевательство над клиентом. Но если работать только с числами, и упорными упражнениями наработать привычку к тому, что 2+3 и даже 3.14+2.73 не меняются от перестановки, то можно решить, что это столь естественно, что и говорить об этом излишне.

[[+]]

Евгений Машеров писал(а):

Вот, скажем, пусть у нас "прибавить" будет "поместить прибавляемый объект туда, где уже есть первое слагаемое". Только складывать будем не числа, а воду и кислоту…

По-моему, есть разница.

Вы описываете процессы, которые разворачиваются во времени в реальном мире. Тут, конечно, важна последовательность действий, потому что это реальный мир и манипуляции с реальным физическим веществом.

А в математике, как мне кажется, никакие процессы не развиваются во времени. Там всё существует сразу и одновременно. То есть, там уже есть и число 2, и 3, и 5, и тот факт, что число 5 является суммой чисел 2 и 3. В реальном мире нам нужен стакан колы, которого заранее нет; поэтому приходится производить какую-то последовательность действий, чтобы его физически получить. А в математике все сущности уже есть, и время там не течёт.

-- 25.10.2012, 16:28 --

epros писал(а):

Если хотите, можно определить сумму так, что все три числа будут "в одной категории".

Именно этого я и хочу. :-) Но у меня пока не получается.

[arseniiv]

[+] в сообщении #635592 писал(а):

А следовательно, может быть, без них можно было обойтись с самого начала?

Полно операций, не обладающих никакими из свойств сложения. Их нельзя обобщить до $n$ аргументов, а сложение до двух низвести можно. Получается удобнее сначала рассмотреть бинарные операции (и унарные), а потом уже операции остальной местности и всякие обобщения, для операций с разными свойствами разные.

[+] в сообщении #635592 писал(а):

У топикстартера есть субъективное, интуитивное представление о той сущности, которую он внутри своей головы привык понимать как «сумму». Топикстартер хочет разобраться, как это представление соотносится с общечеловеческой современной математикой и можно ли его осмысленно формализовать.

Можно, и это успешно делается — см. выше (уже, вроде, на предыдущей странице). Суммы конечного мультимножества аргументов вводятся на ура. В том, что топикстартер так же представляет суммы по бесконечным (…)множествам, я сомневаюсь.

Вот конкретная реализация (одна из) формализации суммы по конечным множествам чисел. В формальную теорию добавляется одноместный функциональный символ $S$ и следующие, если я ничего не напутал, аксиомы:
$\begin{array}{l} A = \varnothing \Rightarrow S(A) = 0, \\ A = B \cup C \mathbin\& B \cap C = \varnothing \Rightarrow S(A) = S(B) + S(C). \end{array}$

$S(A) = s$ соответствует $\sum_{a\in A} a = s$. Штуки типа $\sum_{a\in A} f(a) = s$ выражаются так: $S(B) = s \mathbin\& \forall b \left(b \in B \Leftrightarrow (a \in A \mathbin\& f(a) = b)\right)$.

-- Чт окт 25, 2012 20:08:32 --

Заодно прошу остальных участников (особенно epros) поправить моё построение, если с ним что-то не так.

-- Чт окт 25, 2012 20:23:36 --

А при рассмотрении бесконечных множеств чисел вместе с $S$ и теми двумя аксиомами для неё получится неполная и противоречивая теория — неполная потому, что для некоторых множеств $A$ нельзя будет найти $S(A)$, и противоречивая из-за выводимости для некоторых других множеств одновременно $S(A) = s_1$ и $S(A) = s_2$, когда $s_1\ne s_2$.

[Munin]

[+] в сообщении #635664 писал(а):

А в математике, как мне кажется, никакие процессы не развиваются во времени. Там всё существует сразу и одновременно. То есть, там уже есть и число 2, и 3, и 5, и тот факт, что число 5 является суммой чисел 2 и 3.

Вот с конечными суммами так. А с бесконечными не так. Нет одного "мешка", в котором валяются одновременно все слагаемые. Вместо этого, есть бесконечная последовательность "мешков", с одним, двумя и т. д. слагаемыми, и именно эта последовательность - есть сумма ряда. Если попытаться промежуточные вложенные друг в друга "мешки" убрать, то и общий мешок развалится.