Про «перемену мест» слагаемых

[Aritaborian]

(Оффтоп)

epros, в своё время я был глубочайше поражён процессом построения всего матана из пустого множества ;-) До сих пор у меня это вызывает священный трепет.

[migmit]

Aritaborian в сообщении #634182 писал(а):

.
Кстати, что за обозначение: $::$? Не припомню такого... «По определению», что ли?

Это у меня отрыжка от Хаскеля. Там $x :: T$ означает "значение $x$ относится к типу $T$".

[Aritaborian]

migmit, то есть, там должно было стоять просто одиночное двоеточие?

[ishhan]

[+] в сообщении #634131 писал(а):

Я не понимаю, что такое «перемена мест» с математической точки зрения

Могу привести такой примерчик про перемену мест:
$1+3+9=13$
Теперь умножим обе части равенства на $3$:
$3+9+27=39$
Теперь перейдём в кольцо вычетов по модулю 13, тогда получим:
$(1+3+9)\cdot{3}\equiv(3+9+1)\mod{13}$
Из этого следует , что при умножении каждого из трёх слагаемых $(1,3,9)$ на $3$ в кольце по модулю $13$ неупорядоченный набор$ (1,3,9)$ остаётся неизменным, а в упорядоченном происходит циклическая перестановка.

[Aritaborian]

ishhan, вы пытаетесь объяснить простые вещи через более сложные. Не думаю, что это верный подход.

[ishhan]

Aritaborian в сообщении #634203 писал(а):

ishhan, вы пытаетесь объяснить простые вещи через более сложные. Не думаю, что это правильный путь.

Мне нравятся соображения в которых участвуют понятия симметрии.
Они являются простейшими и позволяют сделать интересный вывод.
Так любая симметрическая форма $S^m(x,y,z)$ от трёх переменных степень $m$ которой не кратна трём будет делиться на $13$ если вместо $x,y,z$ подставить $(1,3,9)$

[[+]]

migmit писал(а):

1) Техническое замечание: в множестве каждый элемент содержится максимум один раз. Так что получается, что сумма множества $\{2,2\}$ равна $2$.

migmit, попробую чуть более формализовать своё интуитивное представление о сумме. По-видимому, это представление устроено как-то так:

1. Есть произвольное множество некоторых элементов («мешок с монетами»): $M = \{x_i\}$.

2. Есть какое-то числовое свойство, которое может быть и у отдельного элемента, и у всего мешка в целом («стоимость» или «вес»). Видимо, по-математически это будут две функции — одна от элемента ($f(x_i)$), другая — от множества ($F(M)$).

3. Обе эти функции в каком-то смысле представляют одну и ту же суть (например, бывает вес отдельной монеты, а бывает вес целого мешка). Не знаю, как формализовать это утверждение; что-то вроде «$f(x_i) \bigstar F(M)$», где ★ — знак какой-то хитрой «эквивалентности».

4. Теперь, наконец, что такое сумма. В том же самом моём интуитивном понимании сумма — это прежде всего значение $F(M)$, которое рассматривается как существующее «сразу всё целиком», в отрыве от конкретных способов его нахождения. (Грубо говоря, взвешиваем весь мешок на весах и получаем цифру. При этом мы никак не задействуем ни количество монет, ни тем более какой-либо порядок среди них.)

5. То есть, при выбранных функциях $f$ и $F$ множеству $M = \{x_i\}$ ставится в соответствие число $F(M)$, называемое суммой каких-то «f-ов» элементов этого множества. Если $f$ — вес, то мы имеем сумму весов монет. Если $f$ — стоимость, то имеем суммарную стоимость.

Возвращаясь к вашему техническому замечанию, в данной интепретации мы суммируем не элементы множества $x_i$, а значения $f(x_i)$ от этих элементов. Элементы множества («монеты») все различны, так что тут не получится никаких «$\{2,2\}$».

Надеюсь, я не слишком перезамудрил. :-)

[Xaositect]

[+] в сообщении #634167 писал(а):

То есть, резюмирую: почему мы определяем сумму, опираясь на количество и порядок слагаемых, когда её суть, вообще говоря, по смыслу не зависит ни от того, ни от другого?

Ну во-первых, ничто не мешает построить теорию, в которой базовым является понятие суммы конечного (неупорядоченного) мультимножества чисел вместо суммы упорядоченной пары. Это вопрос только соглашений и удобства. Удобство бинарной суммы в том, что ее можно рассматривать как частный случай бинарной операции, вместе с другими такими операциями. ИМХО, Исторически понятия суммы и разности сильно связаны и было удобно рассматривать их как похожие объекты.
Ну а то, что такая вещь, как сумма конечного мультимножества, корректно определена, как раз и выражается свойствами бинарной операции сложения - коммутативностью и ассоциативностью. И такую общую конструкцию можно построить, основываясь на любой коммутативной ассоциативной операции. Такие операции изучает теория абелевых групп, и в ней важную роль имеет аналог понятия суммы конечного множества чисел - линейная комбинация.

-- Пн окт 22, 2012 19:11:53 --

[+] в сообщении #634222 писал(а):

migmit писал(а):

1) Техническое замечание: в множестве каждый элемент содержится максимум один раз. Так что получается, что сумма множества $\{2,2\}$ равна $2$.

migmit, попробую чуть более формализовать своё интуитивное представление о сумме. По-видимому, это представление устроено как-то так:

1. Есть произвольное множество некоторых элементов («мешок с монетами»): $M = \{x_i\}$.

2. Есть какое-то числовое свойство, которое может быть и у отдельного элемента, и у всего мешка в целом («стоимость» или «вес»). Видимо, по-математически это будут две функции — одна от элемента ($f(x_i)$), другая — от множества ($F(M)$).

3. Обе эти функции в каком-то смысле представляют одну и ту же суть (например, бывает вес отдельной монеты, а бывает вес целого мешка). Не знаю, как формализовать это утверждение; что-то вроде «$f(x_i) \bigstar F(M)$», где ★ — знак какой-то хитрой «эквивалентности».

4. Теперь, наконец, что такое сумма. В том же самом моём интуитивном понимании сумма — это прежде всего значение $F(M)$, которое рассматривается как существующее «сразу всё целиком», в отрыве от конкретных способов его нахождения. (Грубо говоря, взвешиваем весь мешок на весах и получаем цифру. При этом мы никак не задействуем ни количество монет, ни тем более какой-либо порядок среди них.)

5. То есть, при выбранных функциях $f$ и $F$ множеству $M = \{x_i\}$ ставится в соответствие число $F(M)$, называемое суммой каких-то «f-ов» элементов этого множества. Если $f$ — вес, то мы имеем сумму весов монет. Если $f$ — стоимость, то имеем суммарную стоимость.

Возвращаясь к вашему техническому замечанию, в данной интепретации мы суммируем не элементы множества $x_i$, а значения $f(x_i)$ от этих элементов. Элементы множества («монеты») все различны, так что тут не получится никаких «$\{2,2\}$».

Надеюсь, я не слишком перезамудрил.

Это все слишком сложно, обычное сложение значительно элементарнее. Вот, например, как связан веса двух наборов монет и их объединения? Придется постулировать формулу включений-исключений как аксиому. Или писать в аксиоме оговорку о непересечении. Плюс, требует привлечения каких-то еще объектов кроме чисел.
Ваш третий пункт можно выразить так: $f(x_i) = F(\{x_i\})$. При этом функция $f$ становится лишней.

[[+]]

Xaositect, спасибо за содержательные комментарии.

Я хотел бы понимать «сумму» как-то так, чтобы она вела себя похоже на то, как всякие суммы ведут себя на бытовом уровне в реальном мире.

Например, в какой-нибудь зарплатной ведомости:



С точки зрения обычного здравого смысла, три выделенных числа относятся к одному и тому же типу сущностей, имеют одну и ту же природу, один и тот же смысл — суммарная сумма зарплаты по цеху.

А если мы определяем сумму через упорядоченную пару, то в нашей ведомости «честной» суммой получается только вторая. Третья уже имеет какую-то другую природу, а первая — вообще не сумма. Это противоречит моей человеческой интуиции.

[lek]

[+] в сообщении #634167 писал(а):

...мне не до конца ясно, почему, когда мы говорим о понятии суммы, мы вообще опираемся именно на понятие упорядоченной пары.

...использование именно пары, да ещё упорядоченной, противоречит моей интуиции... В моей картине мира сумма — это некоторая характеристика произвольного множества чисел. То есть, неважно, сколько их — два, три или 100500; смысл понятия суммы для меня не различается. Наоборот, мне весьма непривычно думать в таком контексте, где сумма двух чисел и сумма трёх чисел — это какие-то принципиально разные сущности.

...С моей точки зрения, определять сумму как какую-то характеристику именно двух слагаемых — это всё равно что определять множество как совокупность ровно двух элементов. (А уже потом как-нибудь по-особому строить многоэлементные множества.) Для меня сумма из двух слагаемых — просто частный случай более базового понятия суммы...

...То есть, резюмирую: почему мы определяем сумму, опираясь на количество и порядок слагаемых, когда её суть, вообще говоря, по смыслу не зависит ни от того, ни от другого?

Весьма любопытное высказывание (наблюдение), имхо. Тем более приятно "слышать" его от непрофессионального математика... На первый взгляд ответить на поставленный вопрос легко. Достаточно лишь использовать полный набор аксиом абелевой группы. Тогда "порядок слагаемых" нивелируется аксиомой коммутативности, а их "количество" - аксиомой ассоциативности. При таком подходе - сопоставление упорядоченной паре элементов (или слагаемых) третьего (их суммы) является необходимым условием определения операции на (абелевой) группе.

Однако, насколько я понимаю, топик-стартер ставит вопрос шире. Почему при определении операции сложения мы должны ограничиваться бинарными операциями? Действительно, на произвольном множестве можно определить n-арную операцию (сопоставляющую всякому упорядоченному набору из n элементов единственный элемент этого множества) и некоторый (корректно заданный) набор аксиом. Допустим, что этот набор включает "аналоги" групповых аксиом коммутативности и ассоциативности. Тогда понятие "суммы" будет связано уже с n-арной операцией. Понятно, что подобные сопоставления весьма иллюзорны и технически сложны, но сама постановка вопроса заслуживает внимания...

[Munin]

Заметим, что сумма $n$ слагаемых - это не произвольная операция, а результат многократного применения операции суммы 2 слагаемых.

Допустим, мы хотим определить такую операцию, тогда у нас получатся разные варианты:
для 3 слагаемых: $(a+b)+c$ и $a+(b+c)$
для 4 слагаемых: $((a+b)+c)+d,$ $(a+b)+(c+d),$ $(a+(b+c))+d,$ $a+((b+c)+d),$ $a+(b+(c+d))$
и так далее (число вариантов - числа Каталана A000108).

Чтобы избавиться от этой неоднозначности, нам нужно задействовать оба свойства: и коммутативность, и ассоциативность. Без коммутативности, у нас станут равнозначными все варианты расстановки скобок, например, $(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c=\Sigma(a,b,c),$ но порядок слагаемых мы не сможем нарушить, и сумма будет вычисляться от последовательности слагаемых. Без ассоциативности, напротив, мы сможем менять порядок слагаемых у каждого отдельного плюса, но не сможем раскрывать скобки, и у нас будет $(a+b)+c=(b+a)+c=c+(a+b)=c+(b+a)=\Sigma\{\Sigma\{a,b\},c\}$ - сумма от некоторой иерархии вложенных множеств. Только использовав оба свойства, мы получим полную независимость от порядка слагаемых и вложенности скобок, и сумма будет вычисляться от множества.

Всё это можно было бы сделать и забыть, но к деталям этой конструкции приходится возвращаться. Что если мы захотим аналогично разобраться с умножением? Что если мы захотим умножать некоммутирующие величины, например, движения плоскости? Что если мы захотим обсуждать суммы бесконечного количества слагаемых? И так далее. Каждый раз нам придётся воспроизводить эту конструкцию заново, иногда с отличиями, и придётся признать, например, что бесконечные суммы нельзя рассматривать как безразличные к порядку слагаемых, что некоммутирующие операции требуют отдельной осторожности, а неассоциативные вообще кошмар.

[arseniiv]

Кстати говоря, дабы определить сумму от мультимножества, необходимо ещё и существование нейтрального элемента — для сложения это 0. Сумма пустого множества будет равна ему.

-- Пн окт 22, 2012 23:01:56 --

И, так как можно сделать такое построение над коммутативной, ассоциативной (и имеющей нейтральный элемент, если рассматриваются непустые мультимножества) операцией, используют кучу аналогичных обозначений ([+], вы, наверно, их видели): $\sum\limits_{a\in A} f(a)$ — сумма $f(a)$ по всем элементам $a$ из $A$, — $\prod\limits_{a\in A} f(a)$ — произведение, — и т. д. (для других операций особенной «буквенной» записи не сложилось, и используют просто увеличенный знак операции — например, для объединения множеств $\bigcup\limits_{a\in A} f(a)$). Нейтрального элемента нет довольно часто — минимум, максимум у неограниченных множеств (а у натуральных чисел у минимума есть нейтральный, а у максимума нет); пересечение множеств.

-- Пн окт 22, 2012 23:08:35 --

Разумеется, только для конечных (мульти)множеств. Для бесконечных, как уже отмечали, всё не так просто.

[lek]

arseniiv в сообщении #634331 писал(а):

Кстати говоря, дабы определить сумму от мультимножества, необходимо ещё и существование нейтрального элемента — для сложения это 0.

Верно. Плюс некое (корректное) обобщение понятия обратного элемента...

arseniiv в сообщении #634331 писал(а):

И, так как можно сделать такое построение над коммутативной, ассоциативной (и имеющей нейтральный элемент...

Вообще-то я имел ввиду "крен" в сторону универсальных алгебр...

[arseniiv]

lek в сообщении #634353 писал(а):

Верно. Плюс некое (корректное) обобщение понятия обратного элемента...

Зачем?

(И куда это понятие можно обобщить? )

[lek]

arseniiv в сообщении #634356 писал(а):

И куда это понятие можно обобщить?

Обобщить не сложно (получается универсальная алгебра с мульти-операциями). Сложно на этой алгебре определить систему аксиом, которая приводит к простой и одновременно богатой структуре (подобной абелевой группе, например)...