О физическом смысле

[Профессор Снэйп]

Рассмотрим линейный оператор из $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}^2$, разворачивающий плоскость на 90 градусов вокруг начала координат. У него есть собственный вектор с комплексными координатами и комплексным собственным значением. В чём физический смысл такого собственного вектора?

[Утундрий]

Вам не понять.

Toucan:

См. post633340.html#p633340

[Руст]

Профессор Снэйп в сообщении #632996 писал(а):

Рассмотрим линейный оператор из $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}^2$, разворачивающий плоскость на 90 градусов вокруг начала координат. У него есть собственный вектор с комплексными координатами и комплексным собственным значением. В чём физический смысл такого собственного вектора?

Собственный вектор не однозначен (можно его повернуть на любой угол), соответственно не имеет физического смысла. В этом случае физический смысл имеет только собственное значение.

[Утундрий]

Руст в сообщении #633010 писал(а):

Собственный вектор не однозначен (можно его повернуть на любой угол)

[Руст]

Утундрий в сообщении #633011 писал(а):

Руст в сообщении #633010 писал(а):

Собственный вектор не однозначен (можно его повернуть на любой угол)

Конечно, умножение на комплексное число собственного вектора в комплексном пространстве допускается и это не является не однозначностью для комплексного пространства. Однако, при этом на действительной плоскости действительная часть вектора поварачивается и для любого действительного вектора, найдется такой комплексный вектор, являющейся собственным вектором с собственным значением i (где i, там же и -i), что данный действительный вектор является действительной частью собственного вектора. В этом смысле (не дает однозначной проекции в исходную действительную плоскость) собственный вектор неоднозначен, соответственно не имеет физического смысла.

[Munin]

Профессор Снэйп в сообщении #632996 писал(а):

Рассмотрим линейный оператор из $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}^2$, разворачивающий плоскость на 90 градусов вокруг начала координат. У него есть собственный вектор с комплексными координатами и комплексным собственным значением. В чём физический смысл такого собственного вектора?

Простите, если оператор из $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}^2,$ то такого собственного вектора у него нет. Был бы, если бы он был из $\mathbb{C}^2$ в $\mathbb{C}^2,$ но тут заявление, что он "разворачивает плоскость на 90°" уже не слишком оправдано. Он вращает четырёхмерное пространство.

Физического смысла у этой хрени, разумеется, ни малейшего. Не у всего, возможного в математике, есть физический смысл.

[Руст]

Вообще то для многомерного пространства комплексному собственному значению соответствует вполне определенная плоскость, являющейся множеством действительной части всех собственных векторов с заданным собственным значением. Для действительного оператора эта плоскость соответствует двум комплексно сопряженным операторам. Соответственно в этом случае можно говорить об этой плоскости как объекта, представляющего некоторый физический смысл.

[timots]

Интересно, какой физический смысл в таблице умножения? Математический метод тем и силен, что в ней не физический, а логический или объективный смысл. Иначе бы физика не, чем не отличалась от философии.

[Профессор Снэйп]

Утундрий в сообщении #633009 писал(а):

Вам не понять.

А Вам?

-- Сб окт 20, 2012 14:31:47 --

timots в сообщении #633068 писал(а):

Интересно, какой физический смысл в таблице умножения?

Если у меня две пары перчаток, то всего у меня четыре перчатки

-- Сб окт 20, 2012 14:32:46 --

Руст в сообщении #633010 писал(а):

В этом случае физический смысл имеет только собственное значение.

И каков же физический смысл собственного значения?

[mihiv]

Интересно, что если умножить матрицу этого оператора на $i$,то получим одну из матриц Паули. Есть ли в этом какой-то физический смысл, не могу сказать.

[Руст]

Физический смысл математических понятий появляется через использование их в физике. Можно многими способами придать физический смысл вектору, тензору. После выбора использования базовых объектов появляется возможность придать физический смысл и разным производным понятиям, таким как умножение на число (и даже комплексное) и т.д.

[Профессор Снэйп]

Не, ну вот чисто интересно. Если собственный вектор умножить на $i$, то он повернётся вокруг начала координат на 90 градусов...

-- Сб окт 20, 2012 20:46:27 --

Комплексные числа так себя и ведут. Но здесь ведь немного другое...

[migmit]

Нужно придать некий физический смысл комплексным значениям координаты, сохранив при этом интерпретацию $\mathbb{R}^2$ как плоскости.

Рассмотрим, например, гармонические колебания с заданной частотой. Для одномерных колебаний координата задаётся уравнением $x(t)=\operatorname{Re}(Ae^{i\omega t})$. Такое колебание можно назвать "физическим смыслом" комплексного числа $A$. Умножение на $i$ соответствует при этом просто сдвигу по времени. Значит, ваш собственный вектор — это двумерное гармоническое колебание, для которого поворот на $\pi/2$ — это то же самое, что сдвиг по времени. Иначе говоря, это движение по окружности.

[shwedka]

Присоединяюсь к тем, кто считает
а. В исходной постановке у оператора собственных векторов и чисел нет. Привлечение комплексных чисел противоречит исходной постановке задачи. Если кто-то меняет постановку по ходу дела -- жульничает.
б. Поиск физического смысла в чисто математической конструкции является притягиванием такового за уши.

migmit в сообщении #633164 писал(а):

Нужно придать некий физический смысл комплексным значениям координаты, сохранив при этом интерпретацию $\mathbb{R}^2$ как плоскости.

Не нужно!!

[migmit]

1) Почему вы так против небольшого жульничества? Вопрос ведь изначально философский, а не математический, а в философии жульничество — освящённая веками традиция.

2) Мне кажется, что подобный вопрос может быть полезен в образовательном плане. Продемонстрировав что-то в таком духе студентам, можно выбить у них из мозгов неверное представление о том, что комплексные числа — почти то же самое, что вещественные.

3) Думаю, топикстартер имел в виду не столько "каков физический смысл", сколько "как можно наглядно представить".