ОЛИМПИАДА НГУ

[bot]

СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА НГУ ПО МАТЕМАТИКЕ (14 октября 2012г)

1 курс

1. Найдите все действительные значения $a$, для каждого из которых существует монотонно убывающая функция $f(x)$, удовлетворяющая тождеству $f(f(x))=x+a$ при всех действительных $x$.
2 Найдите предел последовательности заданной соотношениями

$$a_1=2,\,\,a_2=1,\,\,\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{2}{a_{n}}-\dfrac{1}{a_{n-1}}\,\, (n\geqslant 2)$$

3 Сколько существует треугольников, у которых длины сторон являются последовательными натуральными числами, а один из углов вдвое больше одного из двух других?
4. Является или нет число $\sqrt[3]{6\sqrt3+10}-\sqrt[3]{6\sqrt3-10}$ рациональным?
5. Найти все действительные решения системы

$$\left\{\begin{matrix}x^2+1=2xy\\ y^2+1=2yz\\ z^2+1=2zx \end{matrix}\right.$$

2-4 курсы

1. См. задачу 1 для 1 курса.
2. Коэффициенты многочлена $p(x)=a_0x^{2012}+a_1x^{2011}+\ldots +a_{2012}$ удовлетворяют соотношению

$$\frac{a_0}{2013}+\frac{a_2}{2011}+\frac{a_4}{2009}+\ldots +\frac{a_{2010}}{3}+ \frac{a_{2012}}{1}=0.$$

Докажите, что многочлен $p(x)$ имеет хотя бы один вещественный корень.
3. Квадратные матрицы $A$ и $B$ над некоторым полем удовлетворяют равенству $AB=A+B$. Докажите, что $A$ и $B$ перестановочны.
4. Докажите, что $\cos\dfrac{\pi}{10}\cdot\cos\dfrac{3\pi}{10}=\dfrac{\sqrt5}4 $
5. Функции $f\in C^1[a,b]$ и $g\in C[a,b]$ удовлетворяют условиям

$$f'(x)\geqslant g(x)(f^2(x)+1),\,\, f(a)=-1,\,\, f(b)=1.$$

Докажите, что $\int\limits_a^bg(t)dt\leqslant \dfrac{\pi}{2}$

[nnosipov]

Из всего этого неочевидной кажется только задача 1 для 1-го курса. По-моему, в прошлом году сложнее было.

[bot]

Что поделаешь - уровень падает. В последний момент одну неплохую задачу опустил до тривиальной. Сейчас проверяют - будем посмотреть, что получится.

[nnosipov]

bot в сообщении #630669 писал(а):

В последний момент одну неплохую задачу опустил до тривиальной.

А какую? Что-то не могу догадаться.

[bot]

С перестановочными матрицами.

[EtCetera]

bot в сообщении #630654 писал(а):

2 Найдите предел последовательности заданной соотношениями

$$a_1=2,\,\,a_2=1,\,\,\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{2}{a_{n}}-\dfrac{1}{a_{n-1}}\,\, (n\geqslant 2)$$

$a^{-1}_{n+1}-a^{-1}_{n}=a^{-1}_{n}-a^{-1}_{n-1}=\operatorname{const}$, т.е. $a^{-1}_{n}=a^{-1}_{1}+(n-1)\cdot\operatorname{const}$, $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=0$.

bot в сообщении #630654 писал(а):

4. Является или нет число $\sqrt[3]{6\sqrt3+10}-\sqrt[3]{6\sqrt3-10}$ рациональным?

$6\sqrt{3}\pm 10=\left(\sqrt 3\pm 1\right)^3$, поэтому $\sqrt[3]{6\sqrt3+10}-\sqrt[3]{6\sqrt3-10}=2$ $\text{---}$ да, является.

[bot]

Ну вот и первые результаты проверки: первую задачу решил 1 студент (старшекурсник).

[EtCetera]

bot в сообщении #630654 писал(а):

5. Функции $f\in C^1[a,b]$ и $g\in C[a,b]$ удовлетворяют условиям

$$f'(x)\geqslant g(x)(f^2(x)+1),\,\, f(a)=-1,\,\, f(b)=1.$$

Докажите, что $\int\limits_a^bg(t)dt\leqslant \dfrac{\pi}{2}$

$\int\limits_a^bg(t)dt\leqslant\int\limits_a^b \dfrac{df(t)}{f^2(t)+1}=\left.\arctg f(t)\right|_a^b=\left.\arctg t\right|_{-1}^{1}=\dfrac{\pi}{2}$

[Alexander Evnin]

1-4. Пусть $x=\sqrt[3]{6\sqrt{3}+10}-\sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$. Тогда $x^3=20-6x$, откуда $x=2$.

[bot]

EtCetera. Вторая так и задумывалась.
В четвёртой задумывался другой вариант - разность $x$ удовлетворяет уравнению. Ваш вариант мне указали пришедшие на проверку, я о нём не подумал.
Пятая - да, так и задумал.

[nnosipov]

А, дошло, и 1-я задача тоже очевидна: имеем $f(x+a)=f(x)+a$, откуда противоречие с монотонным убыванием функции $f$.

[Alexander Evnin]

1-5. $x$, $y$ и $z$ одного знака. Пусть $x, y, z>0$. Из условия следует, что если $x>y$, то $x>z$, откуда $y>z$,
а из последнего следует, что $y>x$. К противоречию приводят и другие предположения о неравенстве переменных.
Ответ: $x=y=z=\pm1$.

-- 14.10.2012, 13:55 --

2-2. Из условия следует, что $\int_{-1}^1p(x)dx=0.$

[bot]

nnosipov в сообщении #630690 писал(а):

А, дошло, и 1-я задача тоже очевидна

Я её отсюда слямзил, 2-4 тоже где-то здесь была - лень искать, только с тремя синусами вместо двух косинусов и семёркой вместо пятёрки.

Ну вот проверку закончили - получилось распределение, близкое к нормальному с результатами от 1 до 29 из 30 возможных. Так что с уровнем сложности (если это слово здесь уместно) всё-таки угадал.

-- Вс окт 14, 2012 16:39:20 --

Приступаю к подбору задач на областной тур (28 октября).

[neo66]

bot в сообщении #630654 писал(а):

3. Квадратные матрицы $A$ и $B$ над некоторым полем удовлетворяют равенству $AB=A+B$. Докажите, что $A$ и $B$ перестановочны.

Докажем сначала такое утверждение: Если $a$ и $b$ - квадратные матрицы и $ab=1$, то и $ba=1$.
Действительно, минимальный аннулирующий многочлен для $a$ имеет вид $F=Ga-1$(где $G$ - некоторый многочлен), то есть $G(a)a=1$. Умножим последнее равенство справа на $b$. Получим, $G(a)=b$. Откуда следует, что $a$ и $b$ коммутируют.

Вспоминая о нашей задаче, равенство $AB=A+B$ эквивалентно $(A-1)(B-1)=1$. По доказанному утверждению, $(A-1)(B-1)=(B-1)(A-1)$ или $AB=BA$.

[ewert]

neo66 в сообщении #631042 писал(а):

Докажем сначала такое утверждение: Если $a$ и $b$ - квадратные матрицы и $ab=1$, то и $ba=1$.

По-моему, это не надо доказывать -- этот факт должен содержаться в самом курсе. Во всяком случае я, когда давал определение обратной матрицы (классическое, т.е. одновременно и правой, и левой), всегда оговаривал, что такое определение формально избыточно и достаточно существования одной из обратных -- существование другой из этого следует. Правда, никогда этого не доказывал.

Но если всё-таки доказывать, то уж никак не через аннулирующие многочлены -- это просто жуть какая-то, всё достаточно естественно получается на гораздо более раннем уровне. Например, это утверждение: $AB=I\ \Leftrightarrow\ BA=I$ само валится в руки после того, как выписано явное выражение для обратной матрицы через алгебраические дополнения. Но можно и ещё гораздо раньше, даже и до всяких определителей; например, так. Если $B$ -- правая обратная к $A$, т.е. решение матричного уравнения $AB=I$, то её можно найти методом Гаусса, переводящим расширенную матрицу $(A|I)$ в расширенную матрицу $(I|B)$. Однако каждая манипуляция со строками расширенной матрицы реализуется её умножением на некоторую матрицу слева, так что после завершения метода получим $C\cdot(A|I)=(I|B)$, т.е. $CA=I$ и $CI=B$.