Докажем сначала такое утверждение: Если
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
- квадратные матрицы и
![$ab=1$ $ab=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/1/db1f16057d602f6c372908b75d15652082.png)
, то и
![$ba=1$ $ba=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/1/a91d86ff610aee3fa8a0cb78c159956d82.png)
.
По-моему, это не надо доказывать -- этот факт должен содержаться в самом курсе. Во всяком случае я, когда давал определение обратной матрицы (классическое, т.е. одновременно и правой, и левой), всегда оговаривал, что такое определение формально избыточно и достаточно существования одной из обратных -- существование другой из этого следует. Правда, никогда этого не доказывал.
Но если всё-таки доказывать, то уж никак не через аннулирующие многочлены -- это просто жуть какая-то, всё достаточно естественно получается на гораздо более раннем уровне. Например, это утверждение:
![$AB=I\ \Leftrightarrow\ BA=I$ $AB=I\ \Leftrightarrow\ BA=I$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/d/52d5f23d841f9ea79337598e2cf84fe882.png)
само валится в руки после того, как выписано явное выражение для обратной матрицы через алгебраические дополнения. Но можно и ещё гораздо раньше, даже и до всяких определителей; например, так. Если
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
-- правая обратная к
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
, т.е. решение матричного уравнения
![$AB=I$ $AB=I$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/b/cfb58c36fc70281742382338f69a3a7e82.png)
, то её можно найти методом Гаусса, переводящим расширенную матрицу
![$(A|I)$ $(A|I)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/5/e65fefc43875a5bbd1e1d7be894b241382.png)
в расширенную матрицу
![$(I|B)$ $(I|B)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/2/7e2f218e786cd15dd4f19587025f39ce82.png)
. Однако каждая манипуляция со строками расширенной матрицы реализуется её умножением на некоторую матрицу слева, так что после завершения метода получим
![$C\cdot(A|I)=(I|B)$ $C\cdot(A|I)=(I|B)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/f/a6f0af270d9a334d1d9a60f7ad797a9a82.png)
, т.е.
![$CA=I$ $CA=I$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/e/24e5eabab57654bb16639029877afbbb82.png)
и
![$CI=B$ $CI=B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/3/853d6b3105134cd27366d2712514bd0b82.png)
.