Докажем сначала такое утверждение: Если
и
- квадратные матрицы и
, то и
.
По-моему, это не надо доказывать -- этот факт должен содержаться в самом курсе. Во всяком случае я, когда давал определение обратной матрицы (классическое, т.е. одновременно и правой, и левой), всегда оговаривал, что такое определение формально избыточно и достаточно существования одной из обратных -- существование другой из этого следует. Правда, никогда этого не доказывал.
Но если всё-таки доказывать, то уж никак не через аннулирующие многочлены -- это просто жуть какая-то, всё достаточно естественно получается на гораздо более раннем уровне. Например, это утверждение:
само валится в руки после того, как выписано явное выражение для обратной матрицы через алгебраические дополнения. Но можно и ещё гораздо раньше, даже и до всяких определителей; например, так. Если
-- правая обратная к
, т.е. решение матричного уравнения
, то её можно найти методом Гаусса, переводящим расширенную матрицу
в расширенную матрицу
. Однако каждая манипуляция со строками расширенной матрицы реализуется её умножением на некоторую матрицу слева, так что после завершения метода получим
, т.е.
и
.