2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Функциональное уравнение $f(f(x))=\g(x)$.
Сообщение04.10.2012, 09:18 
Существует ли монотонно убывающая функция $f(x)$ удовлетворяющая уравнению $$f(f(x))=g(x).$$
1)Для $g(x)=x+1$.
2) для $g(x)=2x+1.$

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение $f(f(x))=\g(x)$.
Сообщение04.10.2012, 12:20 
Аватара пользователя
1) Если бы такая функция была, то, в силу монотонного её убывания была бы такая точка $y$, в которой $f(y)=y$. С другой стороны: $y+1=f(f(y))=f(y)=y$, противоречие. А с какого это вдруг? Про непрерывность ничего не говорилось.

-- Чт окт 04, 2012 14:26:55 --

2) Пожалуйста, $f(x)=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}-1$

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение $f(f(x))=\g(x)$.
Сообщение04.10.2012, 12:27 
Аватара пользователя
worm2 в сообщении #626809 писал(а):
1) Если бы такая функция была, то, в силу монотонного её убывания была бы такая точка $y$, в которой $f(y)=y$.

Почему существует $y,$ для которого $f(y)=y$?

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение $f(f(x))=\g(x)$.
Сообщение04.10.2012, 12:31 
Пример $f(x)=1-x, x\le 0$ и $f(x)=-1-x, x>0$ не имеет такой точки.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение $f(f(x))=\g(x)$.
Сообщение04.10.2012, 12:39 
Аватара пользователя
Да, непрерывность нужно отдельно доказывать.

-- Чт окт 04, 2012 14:49:59 --

Можно, например, так: у монотонной функций в каждой точке существуют левый и правый пределы. Далее, существует точка $y$, в которой $f(y-0)\geqslant y$, $f(y+0)\leqslant y$. Но, поскольку $f(f(y-0))=f(f(y+0))=y$, получаем, что $f(y-0)=f(y+0)$, иначе функция $f$ принимала бы одно и то же значение ($y$) в двух разных точках, что противоречит монотонности.

Хотя лучше было бы тут без понятия непрерывности вообще обойтись.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение $f(f(x))=\g(x)$.
Сообщение04.10.2012, 12:57 
Аватара пользователя
$f(f(x))=x+1$
$f(f(f(x)))=f(x+1)=f(x)+1$ - возрастает

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group