Функциональное уравнение $f(f(x))=\g(x)$.

[Руст]

Существует ли монотонно убывающая функция $f(x)$ удовлетворяющая уравнению

$$f(f(x))=g(x).$$

1)Для $g(x)=x+1$.
2) для $g(x)=2x+1.$

[worm2]

1) Если бы такая функция была, то, в силу монотонного её убывания была бы такая точка $y$, в которой $f(y)=y$. С другой стороны: $y+1=f(f(y))=f(y)=y$, противоречие. А с какого это вдруг? Про непрерывность ничего не говорилось.

-- Чт окт 04, 2012 14:26:55 --

2) Пожалуйста, $f(x)=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}-1$

[TOTAL]

worm2 в сообщении #626809 писал(а):

1) Если бы такая функция была, то, в силу монотонного её убывания была бы такая точка $y$, в которой $f(y)=y$.

Почему существует $y,$ для которого $f(y)=y$?

[Руст]

Пример $f(x)=1-x, x\le 0$ и $f(x)=-1-x, x>0$ не имеет такой точки.

[worm2]

Да, непрерывность нужно отдельно доказывать.

-- Чт окт 04, 2012 14:49:59 --

Можно, например, так: у монотонной функций в каждой точке существуют левый и правый пределы. Далее, существует точка $y$, в которой $f(y-0)\geqslant y$, $f(y+0)\leqslant y$. Но, поскольку $f(f(y-0))=f(f(y+0))=y$, получаем, что $f(y-0)=f(y+0)$, иначе функция $f$ принимала бы одно и то же значение ($y$) в двух разных точках, что противоречит монотонности.

Хотя лучше было бы тут без понятия непрерывности вообще обойтись.

[TOTAL]

$f(f(x))=x+1$
$f(f(f(x)))=f(x+1)=f(x)+1$ - возрастает