ОЛИМПИАДА НГУ

[EtCetera]

DjD USB в сообщении #636821 писал(а):

По моему это равнсильно таму же пределу выражения $\frac{n\cdotn!}{(n+1)!}=1-\frac{1}{n+1}$

Не совсем. "Это" равносильно $1-\dfrac{1}{(n+1)!}$, что легко доказывается по индукции. Результат, впрочем, тот же.

[DjD USB]

Там у меня в знаменателе должно быть $n*n!$

-- Вс окт 28, 2012 14:01:15 --

Я исходил из того что наша изначальная дробь представима в виде $\frac{1*1!}{(n+1)!}+\frac{2*2!}{(n+1)!}+....+\frac{n*n!}{(n+1)!}$ И взял последнюю дробь, там же вроде бы почти все к 0 стремятся

-- Вс окт 28, 2012 14:18:17 --

П3. Замена $t=x^2+2$

[ewert]

bot в сообщении #636775 писал(а):

Н4. Найдите сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}}{n(n+4)}$

$$=\lim\limits_{N\to\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^N\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}-\sum\limits_{n=5}^{N+4}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}\right)=\sum\limits_{n=1}^4\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$$

bot в сообщении #636775 писал(а):

1. Трёхгранный честный волчок, грани которого помечены цифрами $1, 2, 3$, крутят $n$ раз. Какова вероятность того, что сумма всех цифр на выпавших гранях окажется чётной?

$P_{n+1}=P_n\cdot\frac13+(1-P_n)\cdot\frac23,\ \ \ P_1=\frac13;$

$P_n=\frac12\big(1+(-\frac13)^n\big).$

-- Вс окт 28, 2012 16:53:36 --

bot в сообщении #636775 писал(а):

Н5. Вычислите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac {\left(1+\frac1n\right)^n }{e}\right)^n.$

$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(e^{n\ln(1+\frac1n)-1}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(e^{-\frac1{2n}+O(n^{-2})}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac1{2n}+O(n^{-2})\right)=e^{-\frac12}$$

[DjD USB]

Что со мной, замена переменной в П2

[ewert]

bot в сообщении #636775 писал(а):

2. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$\cos ax^2+2\sin^2\left(x-\dfrac12\right)=ax^2+2x$$

имеет единственное решение.

$$2\sin\frac{ax^2+2x-1}2\cdot\sin\frac{2x-1-ax^2}2=ax^2+2x-1;\ \ \ ax^2+2x-1=0;\ \ \ a=-1\ \text{или}\ a=0.$$

[nnosipov]

А как уравнение $ax^2+2x-1=0$ вытекает из предыдущего?

[ewert]

nnosipov в сообщении #636914 писал(а):

А как уравнение $ax^2+2x-1=0$ вытекает из предыдущего?

Модуль синуса почти всегда меньше модуля своего аргумента.

[nnosipov]

ewert в сообщении #636917 писал(а):

Модуль синуса почти всегда меньше модуля своего аргумента.

Ну, это сложно. С косинусами попроще будет. Хотя нет, по существу также (это меня двойка в левой части смутила).

По поводу задачи П1. Конечно, на таких олимпиадах хочется иметь сравнительно простую задачу по теории чисел. Но в данном случае мы имеем весьма приевшийся сюжет, хотя и классический. Возможно, лучше брать теоретико-числовые задачи для 6-8 классов Питерских олимпиад (начиная с районного уровня; олимпиаду 239-й школы лучше проигнорировать). И содержательно, и не так пресно будет.

[ewert]

bot в сообщении #636775 писал(а):

Докажите, что Вася где-то ошибся.

Ранг великоват, ч.т.д.

bot в сообщении #636775 писал(а):

Н3. Для комплексного $z$, удовлетворяющего неравенству $|z|\leqslant 2$, определите наименьшее и наибольшее значение выражения $|z^2-5|$.

Очевидно, что $|z^2-5|\in[5-|z|^2;\,5+|z|^2]\subset[5-2^2;\,5+2^2]=[1;9],$ причём верхняя граница достигается на $z=2i$ и нижняя -- на $z=2$.

Что-то как-то неолимпиадно. Следующее тоже вполне шаблонно:

bot в сообщении #636775 писал(а):

Н2. Определить все действительные значения параметра $q$, при каждом из которых уравнение $x^3+qx^2+4=0$ имеет три различных действительных корня.

Чтобы был кратный корень, надо, чтобы в нём обращалась в ноль не только сама функция, но и её производная:

$\begin{cases}x^3+qx^2+4=0 \\ 3x^2+2qx=0\end{cases}\ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{cases}qx^2=-12 \\ 3x=-2q\end{cases}\ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{cases}x=2 \\ q=-3\end{cases}$

(равносильно, т.к. заведомо $x\neq0$). Из соображений монотонности следует, что областью существования трёх вещественных корней будет $q<-3$.

-- Вс окт 28, 2012 19:02:08 --

EtCetera в сообщении #636843 писал(а):

"Это" равносильно $1-\dfrac{1}{(n+1)!}$, что легко доказывается по индукции.

Не, не надо индукции: если разделить исходную дробь почленно, то стремление последней дроби к единице тривиально, предпоследней к нулю -- тоже, а каждая из предыдущих меньше, чем $\frac1{n^2}$, и при этом их количество меньше, чем $n$.

[nnosipov]

В Н2 можно нарисовать график функции $q=-4/x^2-x$ и посмотреть, как он пересекается с горизонтальными прямыми.

[TOTAL]

bot в сообщении #636775 писал(а):

5. Некоторой группировкой членов вещественного ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ с условием $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$ получили сходящийся ряд. Докажите, что суммы сходящихся рядов, полученных группировками, образуют промежуток.

(Если правильно понял условие.)

Существую две группировки с пределами $m$ и $M.$ Это означает, что существует последовательность частичных сумм, равных поочередно (с точностью до $\varepsilon$) то $m,$ то $M.$ Поскольку $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0,$ существует последовательность частичных сумм равных (с точностью до $\varepsilon$) любому числу между $m$ и $M.$ Всё.

[bot]

Если я понял правильно, Вы поняли правильно. От противного, мне кажется, проще - тогда , по несчастью вдруг оказавшись на одной стороне пропасти, надо пытаться перепрыгнуть её мелкими прыжками.

(Оффтоп)

Upd. Она мне так во сне и пришла. Не верю, что она оригинальна, однако наспех порывшись в ближайших источниках, я её не обнаружил.

[TOTAL]

bot в сообщении #636775 писал(а):

П4. Окружность касается прямой $AB$ в точке $B$ и пересекается с прямой $AD$ в точках $C$ и $D.$
Биссектриса угла $BAD$ пересекает $BC$ и $BD$ в точках $E$ и $F.$ Докажите, что треугольник $FBE$ равнобедренный.

$D_i$ - это дуги
$\frac12(D_1 - D_2)=\frac12(D_3 - D_4)$ - это равенство углов вокруг биссектрисы
$\frac12(D_1 + D_4)=\frac12(D_2 + D_3)$ - это равенство углов в треугольнике $FBE$


Кстати, сколько времени дается на решение задач? Мне кажется справедливым давать 6 часов. Но сейчас всюду обвешивают и недокладывают, поэтому, боюсь, решали часа 4?

[DjD USB]

TOTAL0 сколько дается времени написанно прям где написаны условия ( самая первая строчка в собщении).

[laptop]

даже как-то не удобно спросить, но что такое грань волчка?