Аксиомы "не математики"

[Lukin]

Данную тему хочу посвятить границе между математикой и всем остальным (логикой, физикой и т.д.) в аксиомах и тезисах.

Например, не метрические пространства - это, очевидно часть математики, но достойных работ в этом направлении я не встречал.
Или математическая и не математическая логика, где грань ?
Когда физические постулаты превалируют над математическими аксиомами ?
Если не соблюдается некоторые аксиомы (теории множеств, чисел, топологии, поля, групп, алгоритмов и т.д.) - это математика ? Где работы в данном направлении ?
Бесконечность, определенная нестандартно (не по Кантору, ZF(C)) и т.д.

В общем, хотелось бы в этой теме на Конкретных примерах обсудить, что является предметом математики (кроме тривиальностей), а что нет, и почему в некоторых направлениях развития нет вообще (хотя формально, это математика, или нет ?)
Начать комментировать предлагаю с "позитивных" примеров - работ на случай невыполнения некоторых аксиом, на которых построены глыбы "стандартных" разделов математики, но которые по каким то причинам не считаются математикой или статус которых не определен.

[atlakatl]

Классический пример: геометрия. Евклид создал её из повседневной практики. А аксиомы у него получились позже, при формализации знаний. Попытки доказательства 5-го постулата о единственности параллельной прямой привели к геометрии Лобачевского. Сформировав новую систему аксиом, он получил содержательную, имеющую приложения и ИНТЕРЕСНУЮ математику. Последнее и является главным для развития её новых разделов. Наверняка математики много раз пытались изменять и придумывать новые аксиомы. Если получалась интересная теория, тем более имеющая аналогии в реальности, то эта ветвь интенсивно развивалась. Если нет – такую возможность просто игнорируют.

[alcoholist]

Lukin в сообщении #629824 писал(а):

Например, не метрические пространства - это, очевидно часть математики, но достойных работ в этом направлении я не встречал.

"Ты видишь суслика? И я не вижу. А он есть!" (с)

[mustitz]

Отсутствие математики от многих остальных наук состоит в том, что у нее нет привязки к реальному миру. Мы фиксируем некоторые правила игры и дальше играем в нее. Будь то топология, интуиционисткая логика или шахматы.

У физики/химии/биологии уже существует привязка к реальному миру. Нам уже мало зафиксировать набор аксиом/постулатов, построить математическую игру и играть в нее. Нам важно еще насколько это все помогает нам в народном хозяйстве.

А куда идет развитие, это зависит от интересов всех участников процесса.

[Padawan]

mustitz в сообщении #629849 писал(а):

Мы фиксируем некоторые правила игры и дальше играем в нее.

В математике аксиомы фиксируются не произвольно, а абстрагируются либо из реального мира либо из других разделов математики, т.е. в коненом итоге все равно из реального мира. Если Вы сами какие-то аксиомы придумаете из головы и начнете их развивать, это никому интересно не будет совершенно.

Шахматы -- это не математика.

[mustitz]

Padawan в сообщении #629863 писал(а):

Шахматы -- это не математика.

Это просто вопрос общепринятой договоренности, что делает дальнейшее обсуждение исключительно надуванием щек. Невозможно дать строгое определение математики таким образом, чтобы туда нельзя было включить шахматы.

[theambient]

Padawan в сообщении #629863 писал(а):

Если Вы сами какие-то аксиомы придумаете из головы и начнете их развивать, это никому интересно не будет совершенно

кроме того, кто это придумал. и случалось так, что какая-то теория развиваемая из чисто спортивного интереса в конце концов потом обретала жизнь в других разделах науки.

Давид Гильберт писал(а):

Я развил свою теорию бесконечно
многих переменных из чисто
математических интересов и даже
назвал ее «спектральным
анализом», абсолютно не подозревая,
что позже она найдет применение
в настоящих спектрах физики.

Кажется так же было с теорией групп. Есть еще примеры?

[bin]

mustitz в сообщении #629849 писал(а):

У физики/химии/биологии уже существует привязка к реальному миру. Нам уже мало зафиксировать набор аксиом/постулатов, построить математическую игру и играть в нее. Нам важно еще насколько это все помогает нам в народном хозяйстве.

Именно так. И физика/химия/биология - это науки экспериментальные. Одним из примеров может служить математическая (компьютерная) химия (МХ). Она основана на классической структурной теории органической химии и теории графов(ТГ), т.к. абстрактный мат. объект граф очень хорошо соответствует структурной формуле хим. молекулы, и т.о. весь богатый аппарат ТГ можно применять к хим. задачам. Традиционно в химии (как и в физике) выделяют области экспериментальные и теоретические, МХ относят к теоретическим. Однако подавляющее большинство работ МХ делается с учетом экспериментальных данных. Простейший пример: корреляция индекса Винера (полусумма расстояний в молекулярном графе) с экспериментально измеренными температурами плавления соответствующих веществ. Но вот про аксиомы МХ ответить трудно: в химии как-то не принято понятие "аксиома"

Другой интересный пример, который я уже недавно приводил в другом топике, это computer sci., которая в отличие от математики является экспериментальной наукой.

[Munin]

Lukin в сообщении #629824 писал(а):

Например, не метрические пространства - это, очевидно часть математики, но достойных работ в этом направлении я не встречал.

Интересно, стопка учебников, доступная в любом книжном магазине - это не достойные работы? А что достойные? Оригинальные работы Мёбиуса, Грассмана, Кэли, Кристоффеля, Жордана, Пуанкаре, Гаусса, Римана, Бетти, Гельмгольца, Клейна, Хаусдорфа, Брауэра, Александрова, Колмогорова, Понтрягина, Александера, Хопфа, Леви-Чивиты, Вейля, Схоутена, Картана, многих других авторов - они все недостойные?

[Someone]

bin в сообщении #630015 писал(а):

Другой интересный пример, который я уже недавно приводил в другом топике, это computer sci., которая в отличие от математики является экспериментальной наукой.

Это здесь: http://dxdy.ru/post607418.html#p607418? Вот есть "Манифест экспериментальной математики". Молодцы ребята. "Парадоксальное" название придумали. Теперь прославятся. Как вон René Thom и Christopher Zeeman прославились со своей теорией катастроф. Звучит-то как - "теория катастроф"! Сразу и пресса стала об этом писать, и всем нужна она оказалась...
А какая-нибудь теория особенностей дифференцируемых отображений или теория бифуркаций динамических систем... Ну что это такое, опять математики какую-то заумь придумали. Тьфу! Никому это не нужно.

А с экспериментальной математикой и вообще здорово. Оказывается, если вычисления делает математик на бумажке - это обычная математика. А если те же самые вычисления сделать на компьютере - то уже экспериментальная. Во!

[Aritaborian]

Someone в сообщении #630082 писал(а):

А если те же самые вычисления сделать на компьютере - то уже экспериментальная.

Не те же самые. Вычисления методом Монте-Карло с сотнями тысяч сэмплов вы будете проделывать на бумажке? Множество Мандельброта карандашиком нарисуете? Экспериментальная математика всё же существует.

[Someone]

Aritaborian в сообщении #630084 писал(а):

Вычисления методом Монте-Карло с сотнями тысяч сэмплов вы будете проделывать на бумажке? Множество Мандельброта карандашиком нарисуете?

Ну, я, конечно, не отрицаю, что на компьютере вычислений можно сделать больше, чем на бумажке. Да, можно ещё собрать множество людей и засадить их за вычисления на длительный срок. Так, кстати, делали в СССР, когда разрабатывали первые атомные бомбы. Тогда, согласно определению, этот "Монте-Карло с сотнями тысяч сэмплов" будет относиться к обычной математике. А ежели на компьютере считать - то к экспериментальной.

Так объясните, ради бога, почему вычисления на бумажке - это не экспериментальная математика, а на компьютере - экспериментальная? Вычисления-то одинаковые, разница только в количестве.
А если речь идёт не о численных расчётах, а о логических рассуждениях (доказательство теорем), то тут, как правило, компьютер от человека отстаёт.

А Вы Манифест-то читали?

Манифест писал(а):

Вообще, любое доказательство можно считать экспериментом.

Почему доказательство, которое я сочинил в своей голове - это не экспериментальная математика, а точно такое же доказательство, которое сочинил компьютер, - экспериментальная?

[bin]

Someone в сообщении #630120 писал(а):

Почему доказательство, которое я сочинил в своей голове - это не экспериментальная математика, а точно такое же доказательство, которое сочинил компьютер, - экспериментальная?

Есть такое понятие "Мысленный эксперимент", но не все эксперименты происходят в голове исследователя. Кое-какие вопросы исследователь может задавать не себе, а во вне - Природе

Что касается доказательств, которые сочинил компьютер, если и есть такие нетривиальные, то их, пока, очень мало и для очень ограниченных областей. А выше я повторил утверждение лауреатов премии Тьюринга, что вся computer sci. - экспериментальная наука. Это утверждение к манифестам о новых направлениях в математике отношения не имеет.

-- Сб окт 13, 2012 00:17:14 --

Someone в сообщении #630082 писал(а):

Это здесь: post607418.html#p607418?

Нет, здесь.

[Someone]

bin в сообщении #630137 писал(а):

Нет, здесь.

bin в сообщении #609257 писал(а):

Цитата:

· Каждая новая построенная машина есть эксперимент. Строя машину, мы задаем вопросы природе и получаем ответ посредством наблюдения и анализа поведения машины.
· Каждая новая программа есть эксперимент. Мы задаем вопрос природе, и поведение программы дает нам подсказки к ответу.(Newell, Allen; Simon, H. A. (1976), "Computer Science as Empirical Inquiry: Symbols and Search", Communications of the ACM, 19)

Отмечу, что это лекция на получении авторами премии Тьюринга.

Это не математика.

[bin]

Someone в сообщении #630120 писал(а):

Так объясните, ради бога, почему вычисления на бумажке - это не экспериментальная математика, а на компьютере - экспериментальная? Вычисления-то одинаковые, разница только в количестве.

Можно предложить простые и сложные объяснения. Начну с простого. Вы правы в том, что дело не в компе (комп и бумажка - инструменты). Можно и на бумажке сделать, то, что делает комп ("второстепенные" вопросы быстродейстивия, ошибок и т.д. пока не обсуждаем). Дело в подходе. Нпр., на бумажке можно начертить с помощью метода "палки и веревки" множество окружностей случайного диаметра и измерить отношения их длины к диаметру. С точки зрения подходов классической математики полученный результат доказательством являться не будет. Это будет только наблюдение, наводящее на мысль, которую необходимо строго доказать. Однако не всё удается строго доказать, и computer sci. зачастую работает с нестрого доказанными алгоритмами (и с совсем недоказанными), как и с доказательствами, которые ни один человек понять не может (вспомним задачу 4х красок). И т.д. Т.е. ("в первом приближении") разные цели: в математике - цель строгое доказательство, а в computer sci. (в компьютерном или бумажном варианте) результат-наблюдение.

-- Сб окт 13, 2012 01:01:23 --

Someone в сообщении #630142 писал(а):

Это не математика.

И я о том, что это не математика, а computer sci.