Аксиомы "не математики"

[Someone]

bin в сообщении #630146 писал(а):

Someone в сообщении #630120 писал(а):

Так объясните, ради бога, почему вычисления на бумажке - это не экспериментальная математика, а на компьютере - экспериментальная? Вычисления-то одинаковые, разница только в количестве.

Можно предложить простые и сложные объяснения. Начну с простого. Вы правы в том, что дело не в компе (комп и бумажка - инструменты). Можно и на бумажке сделать, то, что делает комп ("второстепенные" вопросы быстродейстивия, ошибок и т.д. пока не обсуждаем). Дело в подходе. Нпр., на бумажке можно начертить с помощью метода "палки и веревки" множество окружностей случайного диаметра и измерить отношения их длины к диаметру. С точки зрения подходов классической математики полученный результат доказательством являться не будет. Это будет только наблюдение, наводящее на мысль, которую необходимо строго доказать.

Ничего не понял из Ваших "объяснений". Так почему вычисления на бумажке - это "обычная" математика, а точно такие же вычисления на компьютере - "экспериментальная"? Отвлекаясь от второстепенных вопросов быстродействия, ошибок (которых я и в компьютерных вычислениях видел немало) и т.д.
Кстати, Вы всё-таки "Манифест" почитайте, он небольшой. Там речь идёт о доказательных вычислениях, то есть, таких, которые, если их выписать на бумаге и опубликовать, будут приняты математиками как полноценное доказательство. Это не окружности, начерченные на бумаге методом "палки и верёвки".

bin в сообщении #630146 писал(а):

как и с доказательствами, которые ни один человек понять не может (вспомним задачу 4х красок)

Это ерунда, всё там можно понять. Просто нужно потратить очень много усилий, чтобы проделать всё вручную.
Кроме того, это доказательство сейчас не единственное. Описание идеи первоначального доказательства и ссылка на гораздо более короткое доказательство есть здесь, в конце пятой главы.

-- Сб окт 13, 2012 03:22:52 --

Lukin в сообщении #629824 писал(а):

Если не соблюдается некоторые аксиомы (теории множеств, чисел, топологии, поля, групп, алгоритмов и т.д.) - это математика ?

Вы воображаете, что существует некий список аксиом математики? Наивный человек.
Списки аксиом есть только для формализованных теорий. А для математики в целом никаких списков нет и не может быть.

Lukin в сообщении #629824 писал(а):

В общем, хотелось бы в этой теме на Конкретных примерах обсудить, что является предметом математики (кроме тривиальностей)

Предмет математики - изучение логических структур.

Lukin в сообщении #629824 писал(а):

почему в некоторых направлениях развития нет вообще (хотя формально, это математика, или нет ?)

Вы о чём?

[bin]

Someone в сообщении #630155 писал(а):

Это ерунда, всё там можно понять. Просто нужно потратить очень много усилий, чтобы проделать всё вручную.Кроме того, это доказательство сейчас не единственное. Описание идеи первоначального доказательства и ссылка на гораздо более короткое доказательство есть здесь, в конце пятой главы.

Описание идеи - не доказательство. Какую конкретно ссылку Вы имели в виду? Интересно, что автор указанной Вами книги в личной переписке как-то пожаловался, что его, как рецензента одного из ведущих журналов по дискретной математике, завалили "доказательствами" задачи о 4х красках

-- Сб окт 13, 2012 03:11:32 --

Someone в сообщении #630155 писал(а):

Ничего не понял из Ваших "объяснений". Так почему вычисления на бумажке - это "обычная" математика, а точно такие же вычисления на компьютере - "экспериментальная"?

Я не говорил, что "вычисления на бумажке - это "обычная" математика, а точно такие же вычисления на компьютере - "экспериментальная"". Я сказал о разных целях, подходах и т.д.

-- Сб окт 13, 2012 03:16:36 --

Someone в сообщении #630155 писал(а):

Кстати, Вы всё-таки "Манифест" почитайте, он небольшой. Там речь идёт о доказательных вычислениях, то есть, таких, которые, если их выписать на бумаге и опубликовать, будут приняты математиками как полноценное доказательство. Это не окружности, начерченные на бумаге методом "палки и верёвки".

Я не только читал этот манифест, но и защищал статью об этом в Википедии от удаления Но, пока это только манифест, т.е. планы на будущее. Вот если с помощью таких вычислений какую открытую проблему решат, например, докажут, что $P=NP$, тогда и отношение сразу изменится

Еще раз: я говорил о классической математике и об общепризнанных подходах.

-- Сб окт 13, 2012 03:41:42 --

BTW

Someone в сообщении #630155 писал(а):

Это не окружности, начерченные на бумаге методом "палки и верёвки".

Чем Вам не нравятся палка и веревка? Это же циркуль, т.е. инструмент, с помощью которого выполняются многие построения в геометрии

[ozes]

Lukin в сообщении #629824 писал(а):

В общем, хотелось бы в этой теме на Конкретных примерах обсудить, что является предметом математики (кроме тривиальностей), а что нет, и почему в некоторых направлениях развития нет вообще (хотя формально, это математика, или нет ?)

Смотрю я на современных математиков, и удивляюсь -"Ни руля - ни ветрил".
Еще в 1930 году Курт Гёдель доказал так называемую "теорему о неполноте" (достаточно очевидную надо сказать, и стоит только удивляться тому, что ее не доказали гораздо раньше)Теорема Гёделя о неполноте

Неужели современные математики до сих пор так и не удосужились "прочитать" эту теорему?
Уже скоро столетний юбилей будем отмечать этой теореме.

Вообще говоря, Курт Гёдель не захотел сильно расстраивать математиков, и дал ей достаточно нейтральное название "о неполноте".
Гораздо правильнее ее было бы назвать "смертельным приговором", или чем-то в этом роде.

Можно придумывать разные формулировки теорем Гёделя, но суть будет всегда одна.
В теоремах четко и ясно сказано, что никакая аксиоматическая система с числом постулатов больше 1 не может быть полной.

Что это означает?
Это означает, что если число постулатов системы больше или равно двум, то в рамках такой системы вообще невозможно что-либо однозначно доказать.
Отсюда сразу следует, что ни одно из математических доказательств не может содержать единственно верный справедливый результат.
Вариантов всегда должно быть как минимум два (в некоторых случаях два тождественных, в некоторых случаях разных - но не один в любом случае).
Это, в свою очередь, означает , что если не все, то большинство доказательств современной математики или неполные, или ошибочные
(то есть выполнены недостаточно правильно).
Конечно, никто все математические доказательства скурпулезно проверять не будет - никому это не надо.
Проще отказаться от математики вообще, и создать новые математические дисциплины .

Это в свою очередь означает, что догёделевская математика как наука существовать и функционировать больше не может
(она может быть лишь учебной дисциплиной для "младших классов" - как "начертательная геометрия", например ).
А как наука она вымрет - как вымерли динозавры.
Останется от нее только кожа и кости.

Именно это нам и доказал Курт Гёдель в своей знаменитой теореме в 1930 году.

Toucan:

См. post630242.html#p630242

[Someone]

bin в сообщении #630161 писал(а):

Описание идеи - не доказательство.

Разумеется. Но идею доказательства Вы поняли? Я понял. Если позарез понадобится, можно будет потратить время на изучение доказательства. Вы всерьёз полагаете, что его принципиально невозможно понять?

bin в сообщении #630161 писал(а):

Интересно, что автор указанной Вами книги в личной переписке как-то пожаловался, что его, как рецензента одного из ведущих журналов по дискретной математике, завалили "доказательствами" задачи о 4х красках

Ситуация далеко не уникальная. Мне, например, приходилось разбираться в сочинениях ферманьяков и писать официальные заключения, даже несмотря на то, что я вовсе никакой не рецензент. А рецензенту по должности нужно этим заниматься.

bin в сообщении #630161 писал(а):

Какую конкретно ссылку Вы имели в виду?

bin в сообщении #630161 писал(а):

Я не только читал этот манифест, но и защищал статью об этом в Википедии от удаления

Ну, спасибо Вам. Теперь благодаря Вашим усилиям там одной бессмысленной рекламной статьёй больше.

bin в сообщении #630161 писал(а):

Еще раз: я говорил о классической математике и об общепризнанных подходах.

Это при том, что обсуждался "Манифест экспериментальной математики".

bin в сообщении #630161 писал(а):

Чем Вам не нравятся палка и веревка? Это же циркуль, т.е. инструмент, с помощью которого выполняются многие построения в геометрии

Во-первых, это плохой циркуль. Во-вторых, речь шла о доказательных вычислениях, а Ваши "эксперименты" с циркулем никакого отношения к обсуждению не имеют.

[Ribocyte]

Someone в сообщении #630155 писал(а):

Ничего не понял из Ваших "объяснений". Так почему вычисления на бумажке - это "обычная" математика, а точно такие же вычисления на компьютере - "экспериментальная"? Отвлекаясь от второстепенных вопросов быстродействия, ошибок (которых я и в компьютерных вычислениях видел немало) и т.д.

Понятно, что разницы в принципе никакой.
Наша голова - это В ТОМ ЧИСЛЕ и физическая лаборатория, в которой мы В ТОМ ЧИСЛЕ можем делать манипуляции с символами и двухмерными и трехмерными образами. Возможно и что-то еще.
Есть что-то вроде психологической особенности, когда что-то как бы одновременно не приниматеся и считается сверхтривиальным. Считать, что нет разницы между тем, делаем мы выкладки на бумаге, в голове, или же с кубиком Рубиком, компьютером, другими физическими объектами это - такого рода мысль.
Поэтому и возникает желание говорить о том, что это или сверхпросто, или же, наоборот, возникает психологическое желание приписать манипуляцими вне головы какие-то особенности.
Точно также кто-то не примет, что доказательство на компьютере - это разновидность физического эксперимента, хотя по сути данное высказывание тривиально.

Мы обычным физическим опытом можем решить сложнейшую систему дифуравнений в частных производных и найти математический параметр, который всеми имеющимися у нас ДРУГИМИ вычислительными средствами невозможен. Пример - спектр излучения молекул, значения для которого путем прямого измерения существенно точнее.

Может быть и обратная ситуация, когда ДРУГИМИ видами физического опыта, отличного от вычислений мы получим мЕньшую ТОЧНОСТЬ - НАПРИМЕР ИЗМЕРЕНИЕ ЧИСЛА пи.
Вывод из всего этого. Наши знания об абстракциях могут быть результаттом эмпирики.

[Toucan]

ozes, строгое предупреждение за агрессивное невежество и пропаганду лженауки.

[Esp_]

Цитата:

Или математическая и не математическая логика, где грань ?

Если такая логика существует, то она имеет "форму". Математика - наука о всех возможных формах. Поэтому, таковую вы не найдете.

[Lukin]

Someone в сообщении #630155 писал(а):

Вы воображаете, что существует некий список аксиом математики? Наивный человек.
Списки аксиом есть только для формализованных теорий. А для математики в целом никаких списков нет и не может быть.

Возможно, я наивный. Даже если для математики в целом никаких списков нет и быть не может, хоть какие-то границы у нее должны быть ? Что-то отличает математические структуры, теории, от других точных - логических, физических, например.

Цитата:

Предмет математики - изучение логических структур.

А в чем тогда удел логики ? Вот, например, есть логики без сокращений, без перестановок, трехзначные, с другой импликацией, релевантные и прочие. Эти логические структуры, как и все остальное, можно изучать методами математики, т.е. по сути используя другие, считающиеся классическими, логические и производные математические структуры. Но сами то они от этого математическими не станут. Можно, наоборот, изучать классические логические и математические структуры, используя эти, другие структуры, математические теории от этого не математическими не станут.

comp.sc. Пока из Вашей беседы с bin, не понял - это часть математики или нет ?
Но несомненно, это то, что я отнес к разделу "точных" теорий.
Есть (мне кажется) примеры, когда в физике постулаты противоречат некоторым математическим выводам.

to ozes:
Причем здесь теорема Геделя ? Это математическая теорема, ограничивающая математические же структуры, о других теориях (например, не содержащих классическую арифметику) она ничего не говорит. Вопрос темы не об этом, а о границе и сравнимости между математическими и другими точными теориями.

Пока по ответам на опрос, большинство даже не понимают о чем речь. Толи математика в их представлении - это все, что только можно выдумать, толи границы между математическими и прочими теориями не видны, не пойму.

P.S. Munin не могли бы Вы быть более конкретным, ткнуть, так сказать носом, в конкретные статьи.
to alcoholist Ага ;)

[Xaositect]

Lukin в сообщении #630254 писал(а):

логики ... трехзначные, с другой импликацией, релевантные

Это математика.

[Lukin]

Т.е. любая Логика - это часть математики ?
Помнится, в какой-то статье (логиков) читал, как они характеризовали некоторые построения, мол это не чисто какая-то "логика", а разновидность теории множеств. В общем, у меня сложилось впечатление, что логики не считают многие свои построения частью математики, а скорее наоборот, считают некоторые построения математическими, а некоторые нет.
…
Или вот, например, задачка о ящике и шарах, которые кладут по десять и вынимают по одному в прогрессии до полудня. Решение, когда шары остаются вроде бы не противоречиво, но математический вывод состоит в том, что шаров не останется. Другое решение - тоже математическое ?

[ozes]

Lukin в сообщении #630254 писал(а):

Возможно, я наивный. Даже если для математики в целом никаких списков нет и быть не может, хоть какие-то границы у нее должны быть ? Что-то отличает математические структуры, теории, от других точных - логических, физических, например.

С точки зрения формальной логики содержание "списка аксиом" в построении структуры не имеет никакого значения.
Можно просто принять дополнительное условие элементарности предикатов, и обозначить аксиомы символами A1,A2,A3,...,AN, и рассматривать полученную символьную предикатную структуру. Отличаться математическая предикатная структура от всех остальных (физических, химических и других) будет лишь тем, что она предполагает числовую запись элементов (чисел, векторов, функций, матриц и т.д.).
(В физике, элементы пространственно-временные, массовые, зарядовые и др. В химии свои элементы, разумеется.)
То есть, отличием математической структуры от всех остальных заключается в том, что в ней есть число.
С точки зрения формальной логики физические, математические и любые другие логические структуры формально неразличимы.

[Aritaborian]

ozes в сообщении #630267 писал(а):

То есть, отличием математической структуры от всех остальных заключается в том, что в ней есть число.

Ничего подобного. Теория множеств и теория категорий в своих основаниях вообще не оперируют понятием числа. А это очень даже математические теории ;-D

[ozes]

Aritaborian в сообщении #630272 писал(а):

ozes в сообщении #630267 писал(а):

То есть, отличием математической структуры от всех остальных заключается в том, что в ней есть число.

Ничего подобного. Теория множеств и теория категорий в своих основаниях вообще не оперируют понятием числа. А это очень даже математические теории ;-D

А при чем здесь теория множеств и теория категорий?
Лично я их не считаю математическими.

Они лишь относятся к математике (как пуговица от пальто относится к самому пальто).

[Esp_]

Цитата:

А при чем здесь теория множеств и теория категорий?
Лично я их не считаю математическими.

Они лишь относятся к математике (как пуговица от пальто относится к самому пальто).

Да, "считать овец" - вот настоящая математика.

[Xaositect]

Lukin в сообщении #630260 писал(а):

Т.е. любая Логика - это часть математики ?

Границы нет. Почему одни модальные логики (темпоральные, или, скажем, Геделя-Леба) относятся к математике, а другие нет? Гораздо легче любую формальную логику считать математическим объектом.

Lukin в сообщении #630260 писал(а):

Или вот, например, задачка о ящике и шарах, которые кладут по десять и вынимают по одному в прогрессии до полудня. Решение, когда шары остаются вроде бы не противоречиво, но математический вывод состоит в том, что шаров не останется. Другое решение - тоже математическое ?

Эти "решения" опираются на разные предположения о том, что значит "вытаскивают один шар" и "останется после бесконечного числа шагов". В природе бесконечных дискретных процессов мы не наблюдаем, так что определения этого понятия в обычном языке на самом деле нет. Разные его формализации приводят к разным задачам и разным решениям.