равномерность

[Руст]

vicvolf в сообщении #626010 писал(а):

А что скажете о такой формулировке равномерности расположения k-кортежей.
Простые k-кортежи равномерно распределены в среднем по любому модулю, т.е. существует гладкая в бесконечности функция $\phi (x)$, что при любом взаимно простом с m вычете выполняется:

$$|\pi_{km}(x)-\frac{1}{\phi(m)} \int_2^x \phi(t)dt|<C(\epsilon)x^{1/2 +\epsilon}$$

при любом $\epsilon >0$, где $\pi_{km}(x)$ - количество k-кортежей в ПСВ(m) не превосходящих x?

Это формулировка об их равномерности в среднем, если добавить, что $\phi(x)$ функция гладкая в бесконечности ($|\frac{x\phi'(x)}{x}|<const.$

[vicvolf]

Наверно $|\frac{x\phi'(x)}{\phi(x)}|<const$. Если равномерность в среднем будет выполняться для кортежей, то это достаточно? Если нет, то почему?

[Руст]

Да, это определение. Только доказать это для k- кортежей очень сложно, я пока не представляю как.

[vicvolf]

А что будет, если условие гладкости функции плотности на бесконечности не выполняется, а условие

$$|\pi_{km}(x)-\frac{1}{\phi(m)} \int_2^x \phi(t)dt|<C(\epsilon)x^{1/2 +\epsilon}$$

при любом $\epsilon >0$, где $\pi_{km}(x)$ - количество k-кортежей в ПСВ(m) не превосходящих x -выполняется?

[Руст]

Вы не сможете использовать такую плотность для оценки $\pi$. Например для целочисленной монотонной последовательности вы всегда можете взять функцию $\phi$ равную 1 в окрестности длины 1 и 0 вне окрестности. Погрешность нулевая. Но не зная конкретно все изгибы функции вы ничего не сможете сказать об их количестве в определенном интервале, если не существует сглаженная плотность.

[vicvolf]

Проверил - получается только

$$|\pi_{km}(x)-\frac{1}{\phi(m)} \int_2^x \phi(t)dt|<C(\epsilon)x^{1 +\epsilon}$$

при любом $\epsilon >0$, где $\pi_{km}(x)$ - количество k-кортежей в ПСВ(m) не превосходящих x. Значит РГР для моей плотности кортежей не выполняется? Тогда почему Харди и Литлвуд ее успешно используют? Наверно достаточно выполнение более мягких условий?

[Руст]

Они не используют, а только выдвинули соответствующую гипотезу, которую пока никто не смог доказать или опровергнуть.

[vicvolf]

Руст в сообщении #618891 писал(а):

На плотность $r(y)$ имеются естественные требования. Она должна слабо зависит от $y$. Точнее это относится к случаю, когда значения устремляются к бесконечности и тогда должно быть

$$|\frac{yr'(y)}{r(y)}|<C\eqno (3)$$

начиная с некоторого $y>y_0$.
Можно требовать стремление к нулю этой величины при стремлении $y$ к бесконечности. Такие функции назовем гладкими в бесконечности.

Условие (3) выполняется для функции плотности распределения k-кортежей $c/\ln^k x$.

[Руст]

Да, только как доказать, что это является их плотностью, т.е. погрешность подсчета их интегралом не большая.

[vicvolf]

Руст в сообщении #623978 писал(а):

1) Простые числа равномерно распределены в среднем, т.е. существует гладкая в бесконечности функция $\phi (x)$, что $|\pi (x)-\int_2^x \phi(x)dx |<C(\epsilon)x^{1/2 +\epsilon}$ при любом $\epsilon >0$.

Как это доказать для функции плотности распределения простых чисел $1/\ln x$?

[Руст]

vicvolf в сообщении #626401 писал(а):

Как это доказать для функции плотности распределения простых чисел $1/\ln x$?

Я раньше сказал, что равномерности распределения сводятся к вопросам оценки некоторых g- сумм. В каждом случае свое. Пока я только начал излагать теорию этих сумм. Теория большая и для записи здесь требует много времени и соответствующего настроения. Продолжу попозже.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #626067 писал(а):

Проверил - получается только

$$|\pi_{km}(x)-\frac{1}{\phi(m)} \int_2^x \phi(t)dt|<C(\epsilon)x^{1 +\epsilon}$$

при любом $\epsilon >0$, где $\pi_{km}(x)$ - количество k-кортежей в ПСВ(m) не превосходящих x. Значит РГР для моей плотности кортежей не выполняется? Тогда почему Харди и Литлвуд ее успешно используют?

Нет это грубая оценка. Можно сделать более тонкую. Поэтому делать выводы о не выполнении РГР для распределения k-кортежей рановато.

[Руст]

Продолжу с доказательства леммы.
Заметим, что если существует значение х, что $f(x)=ax+b\in Z$, то оно единственное (я говорил, что наклон может быть и рациональным но со знаменателем больше длины суммирования). С учетом нечетности, суммы слева и справа сокращаются и остается меньшая длина суммирования только с одной стороны. Таким образом, можно считать, что если имеется такая точка, то она на границе. Для остальных точек $g(x)=\{x\}-\frac 12$. Для линейной суммы подбирая подходящую дробь получим, что число $\theta$ из предыдущей леммы в интервале суммирования длины $Q_k$ равно 0, пока сумма длин таких интервалов не превосходит $q_{k+1}/2$. Если количество таких интервалов $n_{k+1}$ превосходит эту величину, сумма начинает сокращаться из-за различия знаков g(f(x))$ в разных концах. Поэтому, значение суммы:

$$S_{gf}(A,B)=]sum_{k=0}^nS_k,$$

где $S_k$ вычисляются согласно предыдущей лемме:

$$S_k=\frac{g(Q_kf(x_k))+g(Q_kf(x_{k+1}))}{2}+\sum_{i=1}^{n_{k+1}-1}g(Q_k(f(x_k+iQ_k))=n_{k+1}\frac{g(Q_kf(x_k))+g(Q_kf(x_{k+1}))}{2}.$$

Здесь каждая внутренняя сумма является суммой арифметической прогрессии с $a_k=\{Q_ka\}=\frac{1}{q_{k+1}+\frac{1}{q_{k+2}+..}}$, разложение в непрерывную дробь которой начинается с $q_{k+1}$. Учитыая, что при $n_k>q_{k+1}/2$ сумма начинает сокращаться, получаем, что сумма не превзойдет величину $\frac{n_k}{4}(1+1-2n_ka_k),n_k\le q_{k+1}/2\to |S_k|\le \frac{q_{k+1}}{8}(1+\frac{1}{q_{k+2}})$. Отсюда получается заключение леммы. При этом оценка почти точная, т.е. нельзя уменьшить оценку больше чем на 1.

Существует аналог этого утверждения и для $e$ сумм. Ясно, что $\sum e(f(n))$ ограничена при не целом наклоне. Однако, при их использовании мы должны оценить e -суммы $e(mf(n))$ с разными амплитудами m, не превосходящими некоторой величины. При этом захватываем некоторые резонансные значения $Q_k$. Соответственно, расхождению g- суммы для рационального наклона соответствует расхождение e суммы с соответствующим резонансным значением $m=Q$.
При оценке нелинейных сумм увидим, что и нелинейные суммы могут быть оценены через расхождение от рациональной линейной суммы $\frac{Px+C}{Q}$ с подходящим знаменателем. При оценке такого расхождения по полному (почти) периоду удобно перейти к другим переменным, связанного со старыми модулярным преобразованием:
$z=Qy-Px,s=Q'y-P'x,x=(-1)^k(Q'z-Qs),y=(-1)^k(P'z-Ps),$ взяв соответствующие последовательные рациональные приближения наклона. Сам наклон при этом выразится как дробно-линейная функция с целыми коэффициентами с определителем $\pm 1$ от наклона в старых пременных $a'=\frac{Qa-P}{Q'a-P'}$. Это делает оценку $S_k$ в этих переменных геометрический более наглядной и вдобавок члены $g(z(s))$ упорядочиваются монотонным образом.

Отклонение от 0 $g$ суммы при иррациональном наклоне характеризует некоторую асимметрию иррационального числа. Числа для которых при любом $c>2$ имеется только конечное число рациональных приближений с условием $|a-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{Q^c}$ назовем нормальными. Известно, что почти все иррациональные числа (за исключением меры 0) нормальны. Для нормальных наклонов из нашей оценки получается, что $|S_g(A,B)|<O((B-A)^{\epsilon})$ при любом $\epsilon$, т.е. соответствующие дробные доли сильно равномерны. В то же время существуют числа типа Лиувиллевых, когда дробные доли линейной функции с таким наклоном не является равномерными.
На этом заканчивается линейная теория $g-$ сумм.

[vicvolf]

Я задам несколько вопросов, которые может помогут при работе над статьей.

Руст в сообщении #623427 писал(а):

$g$ суммы естественным образом получаются при подсчете целых точек в области. Рассмотрим целые точки под графиком $у=f(x)>0, a\le x\le b.$ Количество целых точек есть

$$N=\sum_{A\le n\le B}([\frac{f(nh_1)}{h_2}+\frac 12), A=\frac{a}{h_1},B=\frac{b}{h_1}.$$

А где завершающий знак целого числа?

Цитата:

В соответствии с нашей договоренностью точки на границе (в частности на оси х )считаются с весом $\frac 12$ и т.д. Таким образом

$$N=\frac{1}{h_2}\sum_n f(nh_1) -R, R=\sum_n g(\frac{f(nh_1)}{h_2}.$$

Здесь не хватает закрывающей скобки g суммы.

-- 04.10.2012, 10:49 --

Руст в сообщении #623978 писал(а):

Для ГР более важно хорошая оценка точек под гиперболой $xy\le M=R^2$, когда $x,y$ пробегают натуральные числа. Из за симметрии получаем:

$$N=2\sum_{n=1}^{[R]} [\frac{R^2}{x}] -[R]^2=2R^2H_{[R]}-[R]^2-[R]+d-2\sum_{n=1}^{[R]}g(\frac{R^2}{x}).$$

Здесь $d$ - количество натуральных делителей $R^2$ (когда оно целое), не превосходящих $R$. Взяв аппроксимацию для $H_n$ получаем

$$N=R^2(\ln R^2 +2\gamma -1)+d-2\sum_{n=1}^{[R]}g(\frac{R^2}{x})+O(1).$$

Что такое H - оно не пояснено?

Цитата:

Соответственно оценка приведенной выше $g$ суммы приводит к равномерности распределения простых чисел (при умелом использовании).

Почему оценка гиперболы приводит к равномерности распределения простых, а не оценка $1/\ln x$?

-- 04.10.2012, 10:53 --

Руст в сообщении #625035 писал(а):

Теперь начнем теорию $g$ сумм с простейшего случая - линейных $f(x)=ax+b$ $g$ сумм. Всюду будем считать, что длина интервала суммирования натуральное число $B-A\in N$. Соответственно если один конец целое число и значение взято с весом $\frac 12$, то так же и в другом конце.
Лемма о простейшем случае $a=\frac{P}{Q}, B-A=Q.$

$$S_{gf}(A,B)=\sum_{A\ge x\ge A+Q}g(\frac{P}{Q}x+b)=g(Qb).$$

$$S_{ef}(A,B)=\sum_{A\le x\le B}e(\frac{P}{Q}x+b)=0, Q>1.$$

Почему сменилось обозначение вместо R появилась функция S, введение которой не пояснено?

[Руст]

vicvolf в сообщении #626765 писал(а):

Я задам несколько вопросов, которые может помогут при работе над статьей.

Спасибо.

Цитата:

Количество целых точек есть

$$N=\sum_{A\le n\le B}([\frac{f(nh_1)}{h_2}]+\frac 12), A=\frac{a}{h_1},B=\frac{b}{h_1}.$$

А где завершающий знак целого числа?

Поставил.

Цитата:

Таким образом

$$N=\frac{1}{h_2}\sum_n f(nh_1) -R, R=\sum_n g(\frac{f(nh_1)}{h_2}).$$

Здесь не хватает закрывающей скобки g суммы.

Аналогично.

Цитата:

Что такое H - оно не пояснено?

Общеупотребляемое обозначение $H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ - частичная сумма гармонического ряда.

Цитата:

Почему оценка гиперболы приводит к равномерности распределения простых, а не оценка $1/\ln x$?

Потому что оно связано с хорошо оцениваемой суммой мультипликативной функции. Подробности потом.

Цитата:

Почему сменилось обозначение вместо R появилась функция S, введение которой не пояснено?

Возможно надо было сразу обозначать эту величину буквой $S$. Но в начале еще она не была связано с какой либо суммой, а определялось только погрешность, соответственно обозначалось буквой $R$. Но я подумаю, над вашим предложением, так как при оценках нелинейных сумм у меня через $R$ обозначается так же локальный радиус кривизны кривой, ограничивающий область,