2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 9  След.
 
 Re: равномерность
Сообщение02.10.2012, 12:12 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
vicvolf в сообщении #626010 писал(а):
А что скажете о такой формулировке равномерности расположения k-кортежей.
Простые k-кортежи равномерно распределены в среднем по любому модулю, т.е. существует гладкая в бесконечности функция $\phi (x)$, что при любом взаимно простом с m вычете выполняется:
$$|\pi_{km}(x)-\frac{1}{\phi(m)} \int_2^x \phi(t)dt|<C(\epsilon)x^{1/2 +\epsilon}$$ при любом $\epsilon >0$, где $\pi_{km}(x)$ - количество k-кортежей в ПСВ(m) не превосходящих x?

Это формулировка об их равномерности в среднем, если добавить, что $\phi(x)$ функция гладкая в бесконечности ($|\frac{x\phi'(x)}{x}|<const.$

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерность
Сообщение02.10.2012, 12:49 


23/02/12
3357
Наверно $|\frac{x\phi'(x)}{\phi(x)}|<const$. Если равномерность в среднем будет выполняться для кортежей, то это достаточно? Если нет, то почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерность
Сообщение02.10.2012, 13:14 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Да, это определение. Только доказать это для k- кортежей очень сложно, я пока не представляю как.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерность
Сообщение02.10.2012, 15:47 


23/02/12
3357
А что будет, если условие гладкости функции плотности на бесконечности не выполняется, а условие $$|\pi_{km}(x)-\frac{1}{\phi(m)} \int_2^x \phi(t)dt|<C(\epsilon)x^{1/2 +\epsilon}$$ при любом $\epsilon >0$, где $\pi_{km}(x)$ - количество k-кортежей в ПСВ(m) не превосходящих x -выполняется?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерность
Сообщение02.10.2012, 15:58 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Вы не сможете использовать такую плотность для оценки $\pi$. Например для целочисленной монотонной последовательности вы всегда можете взять функцию $\phi$ равную 1 в окрестности длины 1 и 0 вне окрестности. Погрешность нулевая. Но не зная конкретно все изгибы функции вы ничего не сможете сказать об их количестве в определенном интервале, если не существует сглаженная плотность.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерность
Сообщение02.10.2012, 16:12 


23/02/12
3357
Проверил - получается только $$|\pi_{km}(x)-\frac{1}{\phi(m)} \int_2^x \phi(t)dt|<C(\epsilon)x^{1 +\epsilon}$$ при любом $\epsilon >0$, где $\pi_{km}(x)$ - количество k-кортежей в ПСВ(m) не превосходящих x. Значит РГР для моей плотности кортежей не выполняется? Тогда почему Харди и Литлвуд ее успешно используют? Наверно достаточно выполнение более мягких условий?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерность
Сообщение02.10.2012, 18:18 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Они не используют, а только выдвинули соответствующую гипотезу, которую пока никто не смог доказать или опровергнуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерность
Сообщение03.10.2012, 09:19 


23/02/12
3357
Руст в сообщении #618891 писал(а):
На плотность $r(y)$ имеются естественные требования. Она должна слабо зависит от $y$. Точнее это относится к случаю, когда значения устремляются к бесконечности и тогда должно быть
$$|\frac{yr'(y)}{r(y)}|<C\eqno (3)$$ начиная с некоторого $y>y_0$.
Можно требовать стремление к нулю этой величины при стремлении $y$ к бесконечности. Такие функции назовем гладкими в бесконечности.

Условие (3) выполняется для функции плотности распределения k-кортежей $c/\ln^k x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерность
Сообщение03.10.2012, 10:13 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Да, только как доказать, что это является их плотностью, т.е. погрешность подсчета их интегралом не большая.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерность
Сообщение03.10.2012, 11:18 


23/02/12
3357
Руст в сообщении #623978 писал(а):
1) Простые числа равномерно распределены в среднем, т.е. существует гладкая в бесконечности функция $\phi (x)$, что $|\pi (x)-\int_2^x \phi(x)dx |<C(\epsilon)x^{1/2 +\epsilon}$ при любом $\epsilon >0$.

Как это доказать для функции плотности распределения простых чисел $1/\ln x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерность
Сообщение03.10.2012, 11:37 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
vicvolf в сообщении #626401 писал(а):
Как это доказать для функции плотности распределения простых чисел $1/\ln x$?

Я раньше сказал, что равномерности распределения сводятся к вопросам оценки некоторых g- сумм. В каждом случае свое. Пока я только начал излагать теорию этих сумм. Теория большая и для записи здесь требует много времени и соответствующего настроения. Продолжу попозже.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерность
Сообщение03.10.2012, 14:44 


23/02/12
3357
vicvolf в сообщении #626067 писал(а):
Проверил - получается только $$|\pi_{km}(x)-\frac{1}{\phi(m)} \int_2^x \phi(t)dt|<C(\epsilon)x^{1 +\epsilon}$$ при любом $\epsilon >0$, где $\pi_{km}(x)$ - количество k-кортежей в ПСВ(m) не превосходящих x. Значит РГР для моей плотности кортежей не выполняется? Тогда почему Харди и Литлвуд ее успешно используют?

Нет это грубая оценка. Можно сделать более тонкую. Поэтому делать выводы о не выполнении РГР для распределения k-кортежей рановато.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерность
Сообщение04.10.2012, 09:07 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Продолжу с доказательства леммы.
Заметим, что если существует значение х, что $f(x)=ax+b\in Z$, то оно единственное (я говорил, что наклон может быть и рациональным но со знаменателем больше длины суммирования). С учетом нечетности, суммы слева и справа сокращаются и остается меньшая длина суммирования только с одной стороны. Таким образом, можно считать, что если имеется такая точка, то она на границе. Для остальных точек $g(x)=\{x\}-\frac 12$. Для линейной суммы подбирая подходящую дробь получим, что число $\theta$ из предыдущей леммы в интервале суммирования длины $Q_k$ равно 0, пока сумма длин таких интервалов не превосходит $q_{k+1}/2$. Если количество таких интервалов $n_{k+1}$ превосходит эту величину, сумма начинает сокращаться из-за различия знаков g(f(x))$ в разных концах. Поэтому, значение суммы:
$$S_{gf}(A,B)=]sum_{k=0}^nS_k,$$ где $S_k$ вычисляются согласно предыдущей лемме:
$$S_k=\frac{g(Q_kf(x_k))+g(Q_kf(x_{k+1}))}{2}+\sum_{i=1}^{n_{k+1}-1}g(Q_k(f(x_k+iQ_k))=n_{k+1}\frac{g(Q_kf(x_k))+g(Q_kf(x_{k+1}))}{2}.$$ Здесь каждая внутренняя сумма является суммой арифметической прогрессии с $a_k=\{Q_ka\}=\frac{1}{q_{k+1}+\frac{1}{q_{k+2}+..}}$, разложение в непрерывную дробь которой начинается с $q_{k+1}$. Учитыая, что при $n_k>q_{k+1}/2$ сумма начинает сокращаться, получаем, что сумма не превзойдет величину $\frac{n_k}{4}(1+1-2n_ka_k),n_k\le q_{k+1}/2\to |S_k|\le \frac{q_{k+1}}{8}(1+\frac{1}{q_{k+2}})$. Отсюда получается заключение леммы. При этом оценка почти точная, т.е. нельзя уменьшить оценку больше чем на 1.

Существует аналог этого утверждения и для $e$ сумм. Ясно, что $\sum e(f(n))$ ограничена при не целом наклоне. Однако, при их использовании мы должны оценить e -суммы $e(mf(n))$ с разными амплитудами m, не превосходящими некоторой величины. При этом захватываем некоторые резонансные значения $Q_k$. Соответственно, расхождению g- суммы для рационального наклона соответствует расхождение e суммы с соответствующим резонансным значением $m=Q$.
При оценке нелинейных сумм увидим, что и нелинейные суммы могут быть оценены через расхождение от рациональной линейной суммы $\frac{Px+C}{Q}$ с подходящим знаменателем. При оценке такого расхождения по полному (почти) периоду удобно перейти к другим переменным, связанного со старыми модулярным преобразованием:
$z=Qy-Px,s=Q'y-P'x,x=(-1)^k(Q'z-Qs),y=(-1)^k(P'z-Ps),$ взяв соответствующие последовательные рациональные приближения наклона. Сам наклон при этом выразится как дробно-линейная функция с целыми коэффициентами с определителем $\pm 1$ от наклона в старых пременных $a'=\frac{Qa-P}{Q'a-P'}$. Это делает оценку $S_k$ в этих переменных геометрический более наглядной и вдобавок члены $g(z(s))$ упорядочиваются монотонным образом.

Отклонение от 0 $g$ суммы при иррациональном наклоне характеризует некоторую асимметрию иррационального числа. Числа для которых при любом $c>2$ имеется только конечное число рациональных приближений с условием $|a-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{Q^c}$ назовем нормальными. Известно, что почти все иррациональные числа (за исключением меры 0) нормальны. Для нормальных наклонов из нашей оценки получается, что $|S_g(A,B)|<O((B-A)^{\epsilon})$ при любом $\epsilon$, т.е. соответствующие дробные доли сильно равномерны. В то же время существуют числа типа Лиувиллевых, когда дробные доли линейной функции с таким наклоном не является равномерными.
На этом заканчивается линейная теория $g-$ сумм.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерность
Сообщение04.10.2012, 10:34 


23/02/12
3357
Я задам несколько вопросов, которые может помогут при работе над статьей.
Руст в сообщении #623427 писал(а):
$g$ суммы естественным образом получаются при подсчете целых точек в области. Рассмотрим целые точки под графиком $у=f(x)>0, a\le x\le b.$ Количество целых точек есть $$N=\sum_{A\le n\le B}([\frac{f(nh_1)}{h_2}+\frac 12), A=\frac{a}{h_1},B=\frac{b}{h_1}.$$

А где завершающий знак целого числа?
Цитата:
В соответствии с нашей договоренностью точки на границе (в частности на оси х )считаются с весом $\frac 12$ и т.д. Таким образом $$N=\frac{1}{h_2}\sum_n f(nh_1) -R, R=\sum_n g(\frac{f(nh_1)}{h_2}.$$

Здесь не хватает закрывающей скобки g суммы.

-- 04.10.2012, 10:49 --

Руст в сообщении #623978 писал(а):
Для ГР более важно хорошая оценка точек под гиперболой $xy\le M=R^2$, когда $x,y$ пробегают натуральные числа. Из за симметрии получаем:$$N=2\sum_{n=1}^{[R]} [\frac{R^2}{x}] -[R]^2=2R^2H_{[R]}-[R]^2-[R]+d-2\sum_{n=1}^{[R]}g(\frac{R^2}{x}).$$ Здесь $d$ - количество натуральных делителей $R^2$ (когда оно целое), не превосходящих $R$. Взяв аппроксимацию для $H_n$ получаем $$N=R^2(\ln R^2 +2\gamma -1)+d-2\sum_{n=1}^{[R]}g(\frac{R^2}{x})+O(1).$$

Что такое H - оно не пояснено?
Цитата:
Соответственно оценка приведенной выше $g$ суммы приводит к равномерности распределения простых чисел (при умелом использовании).

Почему оценка гиперболы приводит к равномерности распределения простых, а не оценка $1/\ln x$?

-- 04.10.2012, 10:53 --

Руст в сообщении #625035 писал(а):
Теперь начнем теорию $g$ сумм с простейшего случая - линейных $f(x)=ax+b$ $g$ сумм. Всюду будем считать, что длина интервала суммирования натуральное число $B-A\in N$. Соответственно если один конец целое число и значение взято с весом $\frac 12$, то так же и в другом конце.
Лемма о простейшем случае $a=\frac{P}{Q}, B-A=Q.$
$$S_{gf}(A,B)=\sum_{A\ge x\ge A+Q}g(\frac{P}{Q}x+b)=g(Qb).$$
$$S_{ef}(A,B)=\sum_{A\le x\le B}e(\frac{P}{Q}x+b)=0, Q>1.$$

Почему сменилось обозначение вместо R появилась функция S, введение которой не пояснено?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерность
Сообщение04.10.2012, 11:15 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
vicvolf в сообщении #626765 писал(а):
Я задам несколько вопросов, которые может помогут при работе над статьей.

Спасибо.
Цитата:
Количество целых точек есть $$N=\sum_{A\le n\le B}([\frac{f(nh_1)}{h_2}]+\frac 12), A=\frac{a}{h_1},B=\frac{b}{h_1}.$$
А где завершающий знак целого числа?
Поставил.
Цитата:
Таким образом $$N=\frac{1}{h_2}\sum_n f(nh_1) -R, R=\sum_n g(\frac{f(nh_1)}{h_2}).$$

Здесь не хватает закрывающей скобки g суммы.
Аналогично.

Цитата:
Что такое H - оно не пояснено?
Общеупотребляемое обозначение $H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ - частичная сумма гармонического ряда.


Цитата:
Почему оценка гиперболы приводит к равномерности распределения простых, а не оценка $1/\ln x$?
Потому что оно связано с хорошо оцениваемой суммой мультипликативной функции. Подробности потом.

Цитата:
Почему сменилось обозначение вместо R появилась функция S, введение которой не пояснено?

Возможно надо было сразу обозначать эту величину буквой $S$. Но в начале еще она не была связано с какой либо суммой, а определялось только погрешность, соответственно обозначалось буквой $R$. Но я подумаю, над вашим предложением, так как при оценках нелинейных сумм у меня через $R$ обозначается так же локальный радиус кривизны кривой, ограничивающий область,

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 128 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group