Продолжу с доказательства леммы.
Заметим, что если существует значение х, что
, то оно единственное (я говорил, что наклон может быть и рациональным но со знаменателем больше длины суммирования). С учетом нечетности, суммы слева и справа сокращаются и остается меньшая длина суммирования только с одной стороны. Таким образом, можно считать, что если имеется такая точка, то она на границе. Для остальных точек
. Для линейной суммы подбирая подходящую дробь получим, что число
из предыдущей леммы в интервале суммирования длины
равно 0, пока сумма длин таких интервалов не превосходит
. Если количество таких интервалов
превосходит эту величину, сумма начинает сокращаться из-за различия знаков g(f(x))$ в разных концах. Поэтому, значение суммы:
где
вычисляются согласно предыдущей лемме:
Здесь каждая внутренняя сумма является суммой арифметической прогрессии с
, разложение в непрерывную дробь которой начинается с
. Учитыая, что при
сумма начинает сокращаться, получаем, что сумма не превзойдет величину
. Отсюда получается заключение леммы. При этом оценка почти точная, т.е. нельзя уменьшить оценку больше чем на 1.
Существует аналог этого утверждения и для
сумм. Ясно, что
ограничена при не целом наклоне. Однако, при их использовании мы должны оценить e -суммы
с разными амплитудами m, не превосходящими некоторой величины. При этом захватываем некоторые резонансные значения
. Соответственно, расхождению g- суммы для рационального наклона соответствует расхождение e суммы с соответствующим резонансным значением
.
При оценке нелинейных сумм увидим, что и нелинейные суммы могут быть оценены через расхождение от рациональной линейной суммы
с подходящим знаменателем. При оценке такого расхождения по полному (почти) периоду удобно перейти к другим переменным, связанного со старыми модулярным преобразованием:
взяв соответствующие последовательные рациональные приближения наклона. Сам наклон при этом выразится как дробно-линейная функция с целыми коэффициентами с определителем
от наклона в старых пременных
. Это делает оценку
в этих переменных геометрический более наглядной и вдобавок члены
упорядочиваются монотонным образом.
Отклонение от 0
суммы при иррациональном наклоне характеризует некоторую асимметрию иррационального числа. Числа для которых при любом
имеется только конечное число рациональных приближений с условием
назовем нормальными. Известно, что почти все иррациональные числа (за исключением меры 0) нормальны. Для нормальных наклонов из нашей оценки получается, что
при любом
, т.е. соответствующие дробные доли сильно равномерны. В то же время существуют числа типа Лиувиллевых, когда дробные доли линейной функции с таким наклоном не является равномерными.
На этом заканчивается линейная теория
сумм.