ВТФ для n=3

[ishhan]

Ваш метод доказательства( в точности) упоминается в популярных лекциях Paulo Ribenboim My number, My Friend стр.181
где он описан вкратце, там же есть ссылка на более развёрнутое описание.
Странно, что никто до сих пор не обратил Ваше внимание на этот факт.
С уважением.

[Феликс Шмидель]

ishhan в сообщении #625396 писал(а):

Ваш метод доказательства( в точности) упоминается в популярных лекциях Paulo Ribenboim My number, My Friend стр.181
где он описан вкратце, там же есть ссылка на более развёрнутое описание.
Странно, что никто до сих пор не обратил Ваше внимание на этот факт.
С уважением.

Там упомянута работа Эйлера по ВТФ, но поле $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$ используется для доказательства другого результата Эйлера: о решении уравнения $x^2-y^3=\pm 1$.
Я так понял.

[ishhan]

Там написано следующее:"...отметим здесь, что Эйлер использовал для доказательства невозможности утверждения $x^3+y^3=z^3$ метод бесконечного спуска... Другой способ доказать утверждение Эйлера, не применяя метод бесконечного спуска, состоит в использовании чисел поля $\mathbb{K}[\sqrt[3]{2}] $
И далее приводятся формулы которые должны быть Вам хорошо знакомы.
P.S.Ссылку на LeVeque's book Vol. 2 стр 108 -109 найти пока не удалось.
Возможно Вы правы, так как до этого в тексте упомянуто уравнение $x^3+y^3=2z^3$ и если только "утверждение Эйлера" относится именно к к этому уравнению, то я не прав.
Надо разобраться на свежую голову.

[Феликс Шмидель]

ishhan в сообщении #625421 писал(а):

Там написано следующее:"...отметим здесь, что Эйлер использовал для доказательства невозможности утверждения $x^3+y^3=z^3$ метод бесконечного спуска... Другой способ доказать утверждение Эйлера, не применяя метод бесконечного спуска, состоит в использовании чисел поля $\mathbb{K}[\sqrt[3]{2}] $
И далее приводятся формулы которые должны быть Вам хорошо знакомы.

Метод использования поля $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$ для решения уравнения $x^2-y^3=\pm 1$ не похож на мой метод. Это уравнение гораздо проще ВТФ для $n=3$, поэтому приведённый метод его решения гораздо проще моего метода. В частности, приведённый метод решения уравнения $x^2-y^3=\pm 1$ не использует "бесконечного спуска", а мой метод использует.

Так что, ваше "в точности" и "формулы которые должны быть Вам хорошо знакомы" совершенно не соответствуют действительности.

[ishhan]

ishhan в сообщении #625421 писал(а):

P.S.Ссылку на LeVeque's book Vol. 2 стр 108 -109 найти пока не удалось.
Возможно Вы правы, так как до этого в тексте упомянуто уравнение $x^3+y^3=2z^3$ и если только "утверждение Эйлера" относится именно к к этому уравнению, то я не прав.
Надо разобраться на свежую голову.

[nnosipov]

Феликс Шмидель в сообщении #625433 писал(а):

Метод использования поля $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$ для решения уравнения $x^2-y^3=\pm 1$ не похож на мой метод. Это уравнение гораздо проще ВТФ для $n=3$, поэтому приведённый метод его решения гораздо проще моего метода. В частности, приведённый метод решения уравнения $x^2-y^3=\pm 1$ не использует "бесконечного спуска", а мой метод использует.

С чего бы это проще, да ешё и гораздо? Ваше доказательство совершенно стандартно, примеров подобных рассуждений довольно много. А при решении уравнения $x^2-y^3=1$ в целых числах с использованием поля $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ возникает вопрос о двучленных единицах, и этот вопрос совсем не простой.

[Феликс Шмидель]

nnosipov в сообщении #625458 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #625433 писал(а):

Метод использования поля $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$ для решения уравнения $x^2-y^3=\pm 1$ не похож на мой метод. Это уравнение гораздо проще ВТФ для $n=3$, поэтому приведённый метод его решения гораздо проще моего метода. В частности, приведённый метод решения уравнения $x^2-y^3=\pm 1$ не использует "бесконечного спуска", а мой метод использует.

С чего бы это проще, да ешё и гораздо? Ваше доказательство совершенно стандартно, примеров подобных рассуждений довольно много. А при решении уравнения $x^2-y^3=1$ в целых числах с использованием поля $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ возникает вопрос о двучленных единицах, и этот вопрос совсем не простой.

Уравнение $x^2-y^3=1$ проще уравнения $x^2-4 y^3=z^6$, поскольку не требует применения "бесконечного спуска". Вопрос о двучленных единицах, возможно, представляет некоторое затруднение. Но это совершенно другой вопрос, не связанный с моим доказательством. Его нельзя считать примером моего рассуждения.

[nnosipov]

Феликс Шмидель в сообщении #625474 писал(а):

Уравнение $x^2-y^3=1$ проще уравнения $x^2-4 y^3=z^6$, поскольку не требует применения "бесконечного спуска".

Не всё, что требует бесконечного спуска, сложно. В Вашем рассуждении бесконечный спуск реализуется довольно просто --- в один шаг. И потом, для решения уравнение $x^2-4 y^3=z^6$ в целых числах не нужно никаких новых идей --- оно очевидным образом сводится к уравнению Ферма для $n=3$, это самый простой и естественный способ его решить. Что касается уравнения $x^2-y^3=1$. Здесь нужны либо существенно новые идеи (исследование двучленных единиц, что нетривиально), либо мы пользуемся старыми идеями, что приведёт к уравнению $x^3+y^3=2z^3$, где мы опять имеем бесконечный спуск. Так что в любом случае не проще.

Феликс Шмидель в сообщении #625474 писал(а):

Вопрос о двучленных единицах, возможно, представляет некоторое затруднение.

Почитайте, что об этом пишет Mordell или Делоне&Фаддеев.