Откуда берется формула центра масс?

[miflin]

lunya в сообщении #624362 писал(а):

А на основе каких-то идей следует это определение...

Центр масс - единственная точка в теле, обладающая свойствами, которыми
не обладает ни одна другая. Вот потому эту точку и выделили.
Как она рассчитывается - вы знаете.
Что это за свойства? В частности, если к любой точке тела приложить силу,
линия действия которой проходит через центр масс, тело будет двигаться,
не вращаясь. Во всех остальных случаях будем иметь вращение.
Или - суммарный момент сил тяжести , действующих на отдельные части тела,
помещенного в однородное гравитационное поле, равен нулю относительно
центра масс.
Т.е. центр масс фигурирует в ситуациях, где наблюдается минимум некоторых
величин, если угодно.

[Himfizik]

lunya в сообщении #624329 писал(а):

Я с этим не совсем согласна.

lunya в сообщении #624329 писал(а):

Ладно, проехали... Вот вы ссылаетесь на теорему о движении центра масс... Значит идея ввести понятие центра масс следует из идеи, что каждую механическую систему точек можно ИСКУССТВЕННО представить в виде одной точки, подчиняющейся тому же основному закону движения механики, а именно второму закону Ньютона... Так?

Ландау, например, исходит из соображения, что всегда можно указать систему отчета в которой полный импульс системы равен нулю. Отсюда вытекает определение системы центра инерции, из нее вытекает формула положения центра масс... Вот о чем я спрашивала...

Так еще раз. Чтобы не было недопонимания. 1) Обсуждать "аксиоматику" науки можно бесконечно долго. 2) Процесс изобретения, создания, нахождения основополагающих принципов и законов природы не совпадает хронологически с процессом построения аксиоматики.
И, конечно, я могу, опять же ссылаясь на опыт с треугольной пластинкой и иглой, говорить, что такое определение будет следовать из эксперимента (раз уж Вы заодно и $\vec F=m\vec a$ вспомнили). Впрочем, мы вправе требовать согласования теории с экспериментом в любой момент, независимо от используемой аксиоматики, поэтому отвлечемся от эксперимента в принципе, считая, что на определенном этапе развития науки требуемое согласие получено.
Тогда весь вопрос лежит в плоскости выбора какой-то одной аксиоматики из множества аксиоматик. Но совершенно очевидно, что если любая выбранная аксиоматика логически непротиворечива и удовлетворяет требованию согласия с экспериментом, то какая разница что за аксиоматику мы будем использовать.
Выбор аксиоматики (что считать причиной, а что следствием) у ЛЛ привязан, как Вы заметили, к выбору системы отсчета с нулевым импульсом системы. Вот и все.

Все, что я писал выше было написано для того, чтобы Вы понимали, что:
1) выбор аксиоматики, в общем случае, не единственен,
2) вполне справедлив подход, когда в результате теоретических рассуждений сначала была получена величина, а уже затем ей был присвоен конкретный физический смысл,
3) возможно обратное: вводится величина, сообразуясь с физическим смыслом, и затем доказываются для нее достаточно общие утверждения, формулируются законы,
4) в истории науки все намного сложнее (синтез 2) и 3), и далеко не всегда в общем случае, а только для ряда конкретных систем),
5) главное - согласие моделей и всех "аксиоматических следствий" с экспериментом,
6) поэтому вполне достаточно (не привязываясь к определенной аксиоматике) понимать и знать всю теор. базу, всю модель со всеми определениями (принятыми в данной аксиоматике) и утверждениями, связывающими эти определения (законы) + придавать определениям наглядный физический смысл из требований согласования с экспериментом (собственно, поэтому я и описал Вам опыт (привязка к эксперименту), который может объяснить необходимость и нужность "ц.м.", а потом еще математически записал то, как "ц.м." может пониматься через определения уже существующие - определение среднего (привязка к теории)).
Фирштейн?!

-- Пт сен 28, 2012 19:30:53 --

lunya в сообщении #624362 писал(а):

Ну давайте посмотрим, даже издалека, и даже из релятивистской механики:

Сегодня точно "лыжи не едут" ...
Центр масс в классической аналитической механике. Не примешивайте сюда лишнее. Еще раз прочитайте про нахождение среднего значения величины, неравномерно размазанной по области.

[lunya]

Himfizik в сообщении #624380 писал(а):

Мои результаты мне давно известны, я только не знаю, как я к ним приду.
К. Гаусс

Пожалуй эта фраза, как нельзя точно характеризирует наши учебники :)

[Himfizik]

(Оффтоп)

lunya в сообщении #624391 писал(а):

Пожалуй эта фраза, как нельзя точно характеризирует наши учебники :)

Юмор оценил

[Joker_vD]

lunya
А попробуйте прочитать восьмой параграф ЛЛ-1, "Центр инерции". Там, как мне кажется, хорошо написано.

[Nemiroff]

lunya в сообщении #624362 писал(а):

Ну давайте посмотрим, даже издалека, и даже из релятивисткой механики:

Так не пойдет, в релятивистской механике это просто модификация старого определения, потому что оказалось, что оно очень удобно, и не хотелось бы терять такую штуку.
А появилось это во вполне себе ньютоновской механике. И там это центр. Потому что посередине.

[anik]

Понятие центра масс возникло как обобщение понятия центра тяжести. С понятием центра тяжести ученики знакомятся ещё в школе.
Замечено, что на палке или стержне можно найти такую точку в качестве опоры, что стержень будет находится в безразличном равновесии. Далее, находились условия равновесия, такого стержня. Рассматривался тонкий, жёский, невесомый стержень с массами на конце. Оказалось, что можно ввести в рассмотрение такую величину, как вращающий момент $FR \cos\varphi$, где $\varphi$ - угол между вектором силы и радиус-вектором. Когда сумма этих вращающих моментов относительно точки опоры станет равна нулю, тогда точка опоры совпадёт с центром тяжести.
При дальнейшем обобщении понятия центра тяжести появилось понятие центра масс. Вместо равенства нулю моментов сил относительно точки, оказалось достаточно рассмотреть равенство нулю статических моментов $m\vec R$. Если тело подвесить в точке, для которой сумма статических моментов равна нулю, то тело окажется в безразличном равновесии. Эта точка назвалась центром масс системы материальных точек, (или системы элементарных масс, на которые разбито твёрдое тело).

-- Пт сен 28, 2012 22:24:14 --

lunya в сообщении #624105 писал(а):

Извините, если я задаю банальные вопросы. У меня возник один вопрос, ответа на который я нигде не нашла. Во всех учебниках, что мне попадались (около десятка), в том числе и учебниках для высших учебных заведений, авторы вводят формулу для определения центра масс в виде:



Причем формула эта вводится в виде определения!!!

Если интересует откуда берётся эта формула, то её можно легко вывести.

[lunya]

Joker_vD в сообщении #624407 писал(а):

А попробуйте прочитать восьмой параграф ЛЛ-1, "Центр инерции". Там, как мне кажется, хорошо написано.

Согласна! И об этом писала выше.

anik в сообщении #624417 писал(а):

Если интересует откуда берётся эта формула, то её можно легко вывести.

То, что можно вывести - ясное дело! Мы как раз обсуждали на основе каких предположений ее можно вывести.

Nemiroff в сообщении #624413 писал(а):

И там это центр. Потому что посередине.

Вы меня извините, конечно, но я учусь в 9 классе, и если кто-то даст мне формулу и скажет - поверь мне, вот так определяется центр, то для меня не совсем очевидно что центр именно там... Тем более, что в общем случае, центр масс, центр тяжести, да и что уж там говорить - геометрический центр системы - вещи разные. Так что вовсе неочивидно.

Himfizik в сообщении #624380 писал(а):

Обсуждать "аксиоматику" науки можно бесконечно долго

На счет аксиоматики понятно! Но, наверное, проблема в том, что я лично считаю, если уж авторы учебников берут в качестве аксиом законы Ньютона, то было правильней показать как из них доходят до всех определений и следствий... А не плодить бессвязные определения, а потом связывать их с законами.
В общем, для себя лично буду считать, что идея понятия центра масс (той самой удивительной точки) следует из предположения, что каждую механическую систему мат. точек искусственно можно представить в виде одной мат. точки имеющей массу системы, движение которой подчиняется основному закону движения (F=ma).

[Someone]

lunya в сообщении #624433 писал(а):

если кто-то даст мне формулу и скажет - поверь мне, вот так определяется центр

А что такое "центр"? Может быть, он именно так и определяется - этой самой формулой.

[lunya]

Someone в сообщении #624451 писал(а):

lunya в сообщении #624433 писал(а):

если кто-то даст мне формулу и скажет - поверь мне, вот так определяется центр

А что такое "центр"? Может быть, он именно так и определяется - этой самой формулой.

Встречный вопрос: а что если бы закон движения выглядел бы не как F=ma, а как-то подругому, как тогда бы определялся центр масс? Имел бы он вообще физический смысл? Математический возможно бы имел... А физический? Вам это очевидно?

[alcoholist]

(Оффтоп)

попахивает спором номиналистов с реалистами

[Nemiroff]

lunya в сообщении #624433 писал(а):

Вы меня извините, конечно, но я учусь в 9 классе, и если кто-то даст мне формулу и скажет - поверь мне, вот так определяется центр, то для меня не совсем очевидно что центр именно там... Тем более, что в общем случае, центр масс, центр тяжести, да и что уж там говорить - геометрический центр системы - вещи разные.

Ну вот смотрите: как мы находим среднее арифметическое чисел? Складываем все, затем делим на их количество. Повторим для векторов.
Пусть есть три вектора $\vec u, \vec v, \vec w$, их среднее арифметическое: $\vec r=\dfrac{\vec u+\vec v+\vec w}{3}$. Если векторы - радиус-векторы материальных точек, массы которых одинаковы, $\vec r$ - их среднее, то бишь центр масс.
Пусть теперь массы разные: векторам $\vec u$ и $\vec w$ соответствует масса $1$, $\vec v$ - масса $3$. Как тогда найти центр? Просто примем, что вектор $\vec v$ в три раза "ценнее", в точку указывает не один, а сразу три вектора, соответственно и делить придется не на $3$, а на $5$. И центром масс будет $\vec r=\dfrac{\vec u+3\vec v+\vec w}{5}$.
Вот в этом смысле я говорил про среднее.

[Утундрий]

Определение данное выше и превосходное и догматическое. Однако, можно подойти к нему чисто кинематически.

Пусть в некоторой ИСО задана эволюция вектора ${\mathbf{r}}_C $, указующего на точку $C$, из которой отложен псевдовектор угловой скорости ${\mathbf{\omega }}$ и вектор ${\mathbf{r}}$, вращающийся с помянутой угловой скоростью и отмечающий положение элементарной массы $dm$ взятой внутре некоего вращающегося же твердого тела. Тогда скорость рассматриваемого элемента $dm$ в вышеупомянутой ИСО будет

$${\mathbf{v}} = {\mathbf{v}}_C + {\mathbf{\omega }} \times {\mathbf{r}}$$

ее квадрат будет

$$v^2 = v_C^2 + 2\left( {{\mathbf{v}}_C \times {\mathbf{\omega }}} \right) \cdot {\mathbf{r}} + {\mathbf{\omega \omega }} \cdot \cdot \left( {\hat 1r^2 - {\mathbf{rr}}} \right)$$

откуда кинетическая энергия тела примет

$$\int\limits_V {\frac{{v^2 }}{2}dm = } \frac{{mv_C^2 }}{2} + \left( {{\mathbf{v}}_C \times {\mathbf{\omega }}} \right) \cdot \int\limits_V {{\mathbf{r}}dm} + \frac{1}{2}{\mathbf{\omega \omega }} \cdot \cdot \int\limits_V {\left( {\hat 1r^2 - {\mathbf{rr}}} \right)dm} $$

И еще сильнее примет, если выбрать точку $C$ так, что

$$\int\limits_V {{\mathbf{r}}dm} = 0$$

И это он, это он - ленинградский центр масс.

[miflin]

(Оффтоп)

Где-то Munin цитировал, не нашел. Примерно так: если десятилетняя
девочка не согласна с теорией Дарвина, моветоном считается не учитывать
её мнение.

[Himfizik]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #624455 писал(а):

попахивает спором номиналистов с реалистами

угу, есть немного...