Бесконечность простых чисел-близнецов

[vorvalm]

Весь сыр-бор возник из-за того, что vicvolf пытается доказать,
что он сделал "открытие", и хотя его метод и оригинален, но результат тривиален.

[vorvalm]

Итак, на основании вышеизложенного мы можем
определить существует ли данная группа в ПСВ и если да,
то найти и число таких групп исходя из состава вычетов группы по разностям.
Остается доказать, что хотя бы одна такая группа есть
в интервале простых чисел ПСВ.
Для этого нам и понадобится ПСВ(1/2М,3/2М),
т.к. в ее центре находится диапазон вычетов
$M\pm(1,p_{r+1},p_{r+2},....p_n)<p^2_{r+1}$
Если убрать "мясо"(модуль М) то останется "скелет"
из простых чисел и $\pm 1.$
Т.к. вычеты ПСВ располжены симметрично относительно центра ПСВ,
то при нечетном числе групп одна группа
должна находиться в ценре ПСВ,
т.е. среди простых чисел "скелета". Вот и все.

[Руст]

vorvalm в сообщении #623253 писал(а):

Для этого нам и понадобится ПСВ(1/2М,3/2М),
т.к. в ее центре находится диапазон вычетов
$M\pm(1,p_{r+1},p_{r+2},....p_n)<p^2_{r+1}$
Если убрать "мясо"(модуль М) то останется "скелет"
из простых чисел и $\pm 1.$
Т.к. вычеты ПСВ располжены симметрично относительно центра ПСВ,
то при нечетном числе групп одна группа
должна находиться в ценре ПСВ,
т.е. среди простых чисел "скелета". Вот и все.

Это не все, так как мы ничего не можем сказать о простоте этих чисел. По сути ваша ПСВ близнец есть (-1,1). Но уже для $p_r=7$ это не дает простых близнецов $(209,211), 209=11*19.$

[vorvalm]

Вы совершенно правы. Если в качестве группы вычетов брать близнецов,
то их число в ПСВ определяется функцией $\varphi_2(M),$ число их нечетно и
одна пара всегда находится в центре ПСВ(1/2M,3/2M).
Это $M\pm 1$. Эти числа в натуральном виде не всегда являются простыми.
Но если убрать модуль М, то мы получим $\pm 1$.
Это уже не составные числа, и, к сожалению, не простые.
Так что этот вариант нам не подходит.
Но выход есть.Надо брать не одну , но две пары близнецов
и создать из них группу из 4-х вычетов с общей разностью
между крайними вычетами $2p_t,$ где $p_t$ из интервала $p_{r+1}<p_t<p_{r+1}^2.$
Это будет группа по разностям $(2,2p_t-4,2)$ или в приведенном виде
$D[4]=(0,2,2p_t-2,2p_t)$
Определяем критерий существования группы в ПСВ.
$p-n(p)>0,\;n(p)=n-m(p),$ где $m(p)$ - число вычетов приведенной группы,
сравнимых с модулем $p.$
При $n=4,$ критерий надо проверить только по модулю $p=3,$
т.к. при $p>3,\;p-n(p)>0.$
В нашем случае мы имеем два сравнимых вычета группы по модулю $p=3.$ Это
1)$(0,2p_t-2);$ 2)$(2,2p_t).$
Т.к. число $p_t$ - старший из близнецов из класса $6k+1$, то
$m(3)=2,\;n(3)=4-2=2,\;p-n(p)=3-2=1>0$.
Группа существует в любой ПСВ, а дальше дело техники.
Например, возьмем тот же модуль с $p_r=7,(105,315)$
Выберем $2p_t=86$ и получим приведенную группу $D[4]=(0,2,84,86)$
Число таких групп при $p_r=7$ равно $\varphi_4(210)=3.$
Это натуральные группы:
$(107,109,191,193);(167,169,251,253);(227,229.311,313).$
У центральной группы вычеты 169 и 253 не простые, но мы уберем модуль 210 и получим
$(-43,-41,+41,+43)$

[Руст]

vorvalm в сообщении #623535 писал(а):

Например, возьмем тот же модуль с $p_r=7,(105,315)$
Выберем $2p_t=86$ и получим приведенную группу $D[4]=(0,2,84,86)$
Число таких групп при $p_r=7$ равно $\varphi_4(210)=3.$
Это натуральные группы:
$(107,109,191,193);(167,169,251,253);(227,229.311,313).$
У центральной группы вычеты 169 и 253 не простые, но мы уберем модуль 210 и получим
$(-43,-41,+41,+43)$

Это ничего не доказывает. Здесь вы заранее взяли пару близнецов $(41,43)$ и пришли к ним же, а не к другой большей паре. Соответственно вы ничего не сделали относительно того, чтобы доказать, что они встретятся как угодно большие.

[vorvalm]

Извините, но численный пример не может быть доказательством.
Он только подтверждает общий случай.
Если взять не 43, но любой $p_t$, удовлетворяющий выше сказанным условиям, то
получите тот же результат.

[Руст]

vorvalm в сообщении #623544 писал(а):

Извините, но численный пример не может быть доказательством.
Он только подтверждает общий случай.

Наличие других ПСВ(k) очевидно, из-за их количества (и тут не причем четное или нечетное их количество). Вопрос сводится к тому, встретятся ли они в интервале $<p_{r+1}^2$ где не надо доказывать их простоту. А это очень сложный вопрос уже при $k=2$ (для близнецов), и не кому не удалось ее решить.
Возможно проще показать, что среди больших ПСВ так же встречаются кортежи из простых. Но это так же пока не удалось доказать никому.

[vorvalm]

Четность или нечетность числа групп вычетов в ПСВ
является ключевым моментом
в доказательстве их бесконечности, т.к.
только при нечетном их числе одна группа обязательно
будет в центре ПСВ(1/2M,3/2M)
т.е. среди простых чисел.

[Руст]

vorvalm в сообщении #623558 писал(а):

Четность или нечетность числа групп вычетов в ПСВ
является ключевым моментом
в доказательстве их бесконечности, т.к.
только при нечетном их числе одна группа обязательно
будет в центре ПСВ(1/2M,3/2M)
т.е. среди простых чисел.

Абсолютная чушь. Если вы хотите доказать существование таких чисел меньше $p_{r+1}^2$, то нет дела на то, что общее количество до $M$ (их много) четное или нечетное. А больших ПСВ и так много. В центре они или не в центре не имеет значения при проверке на то, состоят они из простых или некоторые составные.

[vorvalm]

Как это не имеет значения?
Ведь если группа вычетов существует ПСВ и находится в центре этой ПСВ,
т.е. среди пpостых чисел, то тут и доказывать нечего.
Все группы, которые находятся в итервале до $p^2_{r+1}$ состоят из простых чисел,
а те, которые находятся за пределами этого интервала нас не интересуют.

[Руст]

vorvalm в сообщении #623575 писал(а):

Ведь если группа вычетов существует ПСВ и находится в центре этой ПСВ,
т.е. среди пpостых чисел, то тут и доказывать нечего.

Надо доказать "т.е. среди простых".

Цитата:

Все группы, которые находятся в итервале до $p^2_{r+1}$ состоят из простых чисел,
а те, которые находятся за пределами этого интервала нас не интересуют.

Зря, так как доказать, что среди больших ПСВ найдется хотя бы один кортеж из простых, скорее проще, чем среди чисел из очень малого интервала по сравнению с модулем.

[vorvalm]

Мы ходим по кругу. Вы же не отрицаете, что в ПСВ(1/2M,3/2M) в центре
находится диапазон вычетов
$M\pm(1,p_{r+1},...p_n)<p_{r+1}^2$?
Чем же он вас не устраивает?
Ведь под модулем М скрыт диапазон простых чисел.
Или вы так не считаете.?

[Руст]

vorvalm в сообщении #623584 писал(а):

Мы ходим по кругу.

Нет это вы ходите.

Цитата:

Вы же не отрицаете, что в ПСВ(1/2M,3/2M) в центре
находится диапазон вычетов
$M\pm(1,p_{r+1},...p_n)<p_{r+1}^2$?

Да отрицаю, так как в том, что вы написали, ничего не находится.

Цитата:

Чем же он вас не устраивает?
Ведь под модулем М скрыт диапазон простых чисел.
Или вы так не считаете.?

Я так не считаю, под модулем находятся ПСВ, редко из которых простые.

[vorvalm]

Преобразование ПСВ не мое изобретение.
Оно изложено в учебнике А.Бухштаба в главе
"Полные и приведенные системы вычетов".
В этой главе дается четкое определение ПСВ и способы ее преобразования.
За основную ПСВ принимают такую систему, когда все положительные вычеты
меньше модуля и расположены в порядке их возрастания.
н.п. для М=30, (1,7,11,13,17,19,23,29)
Рассматривается и ПСВ, у которой вычеты наименьшие по абсолютной величине.
н.п. для М=30, (-13,-11,-7,-1,+1,+7,+11,+13)
Если к любому вычету прибавить модуль М, то от этого свойства ПСВ не изменяются.
Прибавим модуль M=30 к вычетам ПСВ
с наименьшими по абсолютной величине вычетами.
(17,19,23,29,31,37,41,43)
Это как раз и есть ПСВ(15,45) и она полностью соответствует ПСВ
с наименьшими по абсолютной величине вычетами.

[vicvolf]

Добрый день! Сколько близнецов на интервале (0,1/4М) при M=2310?