ОТО - единая геометризующая теория поля

[pc20b]

Someone

Цитата:

Я уже устал Вам это объяснять.

Преобразования $x\leftrightarrow \tilde x$ области $\Omega _x$ в область $\Omega _\tilde x$ называются изометрическими, если $g_{\tilde \mu\tilde \nu}=x^{\mu}_{,\tilde \mu}x^{\nu}_{,\tilde \nu}g_{\mu \nu}$, и якобианы $det (\partial \tilde x/\partial x)$ и $det(\partial x/\partial \tilde x)$ везде не равны нулю.
У нас это не так.

Добавлено спустя 11 минут 37 секунд:

Необходимые условия склейки Лихнеровича : если $f(x^{\mu}) = const$ - уравнение поверхности склейки, то на ней свертка $G_{\mu}^{\nu}f_{,\nu}$ должна быть непрерывна.

[Someone]

pc20b писал(а):

Someone

Цитата:

Я уже устал Вам это объяснять.

Преобразования $x\leftrightarrow \tilde x$ области $\Omega _x$ в область $\Omega _\tilde x$ называются изометрическими, если $g_{\tilde \mu\tilde \nu}=x^{\mu}_{,\tilde \mu}x^{\nu}_{,\tilde \nu}g_{\mu \nu}$, и якобианы $det (\partial \tilde x/\partial x)$ и $det(\partial x/\partial \tilde x)$ везде не равны нулю.
У нас это не так.

Где Вы такое определение взяли? Там никакого условия на якобианы не должно быть. Требуется взаимная однозначность, и должны совпадать длины соответствующих линий в обеих областях. Любая замена координат, если она взаимно однозначная и не слишком плохая, обеспечивает это автоматически. Ваша совершенно точно обеспечивает. Можете попробовать вычислять длины хоть радиальных линий.
Но всё равно, повторю ещё раз: в областях $r>2r_f$ и $\tilde r>0$ оба якобиана конечны и не равны $0$, так что в этих областях получается изометрия и по Вашему определению. Поскольку соответствие между областями $r\geqslant 2r_f$ и $\tilde r\geqslant 0$ взаимно однозначно, то указанная изометрия остаётся изометрией и на границе.

Слушайте, чего ради я Вас в этом убеждаю? Исследованиями в ОТО я никогда не занимался и заниматься не собираюсь, так, любопытствую только. Соответственно, никаких статей, касающихся ОТО, никогда не публиковал и вряд ли когда опубликую. Это Вам нужно заботиться о математической корректности своих статей. Не хотите понимать - дело Ваше, опубликуете ещё одну статью с элементарными математическими ошибками.

pc20b писал(а):

Необходимые условия склейки Лихнеровича : если $f(x^{\mu}) = const$ - уравнение поверхности склейки, то на ней свертка $G_{\mu}^{\nu}f_{,\nu}$ должна быть непрерывна.

$G_{\mu}^{\nu}$ - это тензор Эйнштейна?
Во что превращается условие склейки в Ваших координатах?
Кстати, я просил Вас проверить условие склейки для областей $-2r_f<\tilde r\leqslant 0$ и $\tilde r\geqslant 0$ по поверхности $\tilde r=0$.
Может быть, Вы хотите сделать невозможную склейку? Я не знаю Вашего внутреннего решения и по какой поверхности Вы его хотите приклеивать.

[pc20b]

Someone

Цитата:

Где Вы такое определение взяли? Там никакого условия на якобианы не должно быть.

Зачем его откуда-то брать? Если где-то в области $det (\partial x/\partial \tilde x)=0$, то там исчезает взаимно однозначное соответствие между точками области в двух системах координат : объем базисного параллелотопа становится равным нулю в этих точках, т.е. система координат вырождается. Т.е. исчезает диффеоморфизм. Значит, новая метрика не принадлежит уже классу эквивалентности метрик на данном многообразии и описывает другое пространство.

Цитата:

Любая замена координат, если она взаимно однозначная и не слишком плохая, обеспечивает это автоматически. Ваша совершенно точно обеспечивает. Можете попробовать вычислять длины хоть радиальных линий.

Давайте попробуем.
Радиальная длина в метрике

$$ds^2=A(r)dt^2-\frac{dr^2}{A(r)}-r^2d\sigma ^2$$

равна

$$dl_r=\sqrt {g_{11}}dr=\frac {dr}{\sqrt A}$$

.
Радиальная длина в метрике

$$ds^2=A(r)dt^2-\frac{r_{,\tilde r}^2dr^2}{A(r)}-r^2d\sigma ^2$$

равна

$$dl_{\tilde r}=\sqrt {g_{\tilde 1\tilde 1}}d\tilde r=\frac {|r_{,\tilde r}|d\tilde r}{\sqrt A}$$

.
При неизометрическом преобразовании координат

$$r=\tilde r+\frac {4r_f^2}{2r_f+\tilde r}$$

якобиан равен

$$|r_{,\tilde r}|=1-\frac{4r_f^2}{(2r_f+\tilde r)^2}$$

.
и он зануляется на горловине $\tilde r=0$, которой в старых координатах кривизн соответствовала точка $r=2r_f$.

Т.о., в старых координатах в малой окрестности точки $r=2r_f$ радиальная длина отлична от нуля, а в новых координатах в малой окрестности горловины радиальная длина равна нулю,

$$dl_{\tilde r}=0$$

.

Следовательно, Ваше условие : "Любая замена координат, если она взаимно однозначная и не слишком плохая", - здесь не выполняется.

[Someone]

pc20b писал(а):

Someone

Цитата:

Где Вы такое определение взяли? Там никакого условия на якобианы не должно быть.

Зачем его откуда-то брать? Если где-то в области $det (\partial x/\partial \tilde x)=0$, то там исчезает взаимно однозначное соответствие между точками области в двух системах координат

Далеко не всегда. При Вашей замене взаимная однозначность сохраняется, что проверяется непосредственно, без всяких якобианов. Прямо по определению взаимно однозначного соответствия. Я об этом писал. Что, мне ещё и квадратное уравнение за Вас решить?

pc20b писал(а):

объем базисного параллелотопа становится равным нулю в этих точках

Шут с ним, это имеет более чем отдалённое отношение к взаимной однозначности.

pc20b писал(а):

т

Цитата:

Любая замена координат, если она взаимно однозначная и не слишком плохая, обеспечивает это автоматически. Ваша совершенно точно обеспечивает. Можете попробовать вычислять длины хоть радиальных линий.

Давайте попробуем.
Радиальная длина в метрике

$$ds^2=A(r)dt^2-\frac{dr^2}{A(r)}-r^2d\sigma ^2$$

Это не длина, это квадрат дифференциала.
Вычисления длины не вижу.

По поводу дальнейших рассуждений ещё раз советую: изучайте математический анализ по достаточно серьёзному и подробному учебнику, хоть по трёхтомнику Фихтенгольца.

[pc20b]

Цитата:

$G_{\mu}^{\nu}$ - это тензор Эйнштейна?
Во что превращается условие склейки в Ваших координатах?

Тензор Эйнштейна.

Разрыв $G_0^0$ компоненты тензора Эйнштейна, а следовательно, тензора энергии-импульса, допустим (граница вещество-вакуум), т.к. $f_{,0}=0$, но разрыв величины $G_1^1f_{,1}$, где $f(r)= const$ - уравнение поверхности склейки, недопустим, согласно условию Лихнеровича.

Если приближаться к поверхности склейки со стороны внутреннего решения, то эта величина на горловине $R(t,r)=R_h$ равна нулю за счет условия экстремума $R'_h=0$. Также она равна нулю и в общих сферических координатах при $R\neq r$ со стороны статического вакуума.

В координатах же кривизн $R=r$, т.к. уравнение поверхности склейки $r-2r_f=0$, эта величина со стороны вакуума равна $\frac {8\pi k}{c^4}\varepsilon _{fh}$, т.е. пропорциональна плотности энергии электромагнитного поля на горловине, которая не равна нулю.

Следовательно, условия склейки не выполняются на решении Рейсснера-Нордстрема в координатах кривизн :

$$G_1^1f_{_,1}_{int}=0$$

,

$$G_1^1f_{,1}_{ext}\neq 0$$

.

$$\Longrightarrow G_{\mu}^{\nu}f_{,\nu}\notin [C]$$

.

Цитата:

Кстати, я просил Вас проверить условие склейки для областей $-2r_f<\tilde r\leqslant 0$ и $\tilde r\geqslant 0$ по поверхности $\tilde r=0$.

А зачем Вам надо склеивать эти два листа? Первый ведь отрезается.

Цитата:

Может быть, Вы хотите сделать невозможную склейку?

Наоборот, условие состоит в необходимости гладкой склейки. Она возможна, если только соответствующие кривизны 2-поверхностей 4-пространства-времени в месте склейки имеют либо экстремум, либо перегиб. В любом другом случае, если, скажем, как в метрике Рейсснера-Нордстрема в координатах кривизн, 4-кривизна поверхности радиальных сфер монотонно увеличивается при приближении к месту склейки $r=2r_f$, не достигая максимума или перегиба, то при склейке с внутренним решением, которое на горловине имеет максимум кривизны этих поверхностей (в состоянии максимального расширения), минимум (в состоянии максимального сжатия), со стороны вакуума появится излом, что недопустимо.

Цитата:

Я не знаю Вашего внутреннего решения и по какой поверхности Вы его хотите приклеивать.

Решение уже выкладывалось выше на стр.3 и 10 :

Рассматривается центрально-симметричная ортогональная нестационарная метрика

$$ds^2=e^{\nu} d {\tau}^2-e^{\lambda} d r^2-R^2 (\tau,r)d \sigma^2$$

, $d \sigma^2=d \theta^2+sin^2 \theta d \varphi^2$.
Гравитационное поле задается тензором энергии-импульса, смешанные компоненты которого равны

$$diag(\varepsilon_s+\varepsilon_f,\varepsilon_f,-\varepsilon_f,-\varepsilon_f)$$

, отвечающим идеальному пылевидному, в общем случае заряженному веществу с плотностью энергии $\varepsilon_s(\tau,r)$ и электромагнитному полю с плотностью энергии $\varepsilon_f(\tau,r)$.

Общее решение уравнений Эйнштейна-Максвелла зависит от трех произвольных функций от $r$ - интегралов движения. В качестве этих функций можно выбрать электрический заряд $Q(r)$, полную энергию материи $E(r)$ и функцию $f(r)=e^{-\lambda / 2}R'+qQ/R$, $R'=\partial R/ \partial r$, $R$ - радиус кривизны, $q=\rho_f /\varepsilon_s$,$\rho_f$ - плотность заряда.


Если заряд постоянный, $Q=Q_0=const=e$, то пыль нейтральна, т.е. незаряжена, электромагнитное поле в сопутствующей пыли системе отсчета представлено радиальным электрическим полем. При $f^2<1$ (полузакрытый мир) решение выглядит следующим образом :

$$R=\frac {R_g} {2(1-f^2)} (1-\delta cos(\eta))$$

$$\tau-\tau_r=\frac {R_g} {2(1-f^2)^{3/2}} (\eta-\delta sin(\eta))$$

,

где $\delta=\sqrt {1-4R_f(1-f^2)/R_g}$, $\tau_r(r)$ - произвольная функция r, определяемая способом измерения времени, $R_g=\kappa E/4\pi$ - гравитационный радиус, $R_f=Q^2/2E$ - классический (электромагнитный радиус), $\kappa$ - постоянная Эйнштейна.

Это решение при $Q_0=0$ ($\delta=1$) переходит в известное решение Толмана, в отсутствии вещества - в решение Рейсснера-Нордстрема, при $Q_0=0$ и в отсутствии вещества - в решение Шварцшильда.

Это решение периодично по времени. Замечательным его свойством является отсутствие точечной сингулярности типа бесконечной гауссовой кривизны 2-сфер, ортогональных радиальной координате $r$ : т.к. $\delta <1$, то при отличном от нуля гравитационном радиусе $R_g(r)$ (это можно обеспечить всегда) радиус внутренней скалярной кривизны 2-поверхности $r=const, \tau =const$ нигде и никогда не обращается в нуль : $R(\tau,r)\neq 0$.

А т.к. поле $E_r=Q_0/R^2$, то тем самым гравитация, т.е. кривизна пространства-времени, устраняет кулоновскую расходимость поля классического точечного заряда в пространстве-времени Минковского.

Вторым замечательным свойством данного решения является наличие в этом нестационарном мире статической 3-гиперповерхности ($h$) при $r=r_h$ :

$$R=R_h$$

,

$$R _h\dot{ }=0$$

,

где $\dot{ } =\partial t$. Из условия статичности следует

$$\delta _h=0, (1-f_h^2)=R_{gh}^2/4R_c^2$$

.

Откуда, после подстановки этих условий в данное решение, следует, что радиус 2-кривизны этой статической радиальной сферы всегда равен удвоенному классическому радиусу

$$R_h = 2R_{fh}$$

,

т.е. отношению квадрата заряда к полной энергии внутреннего мира на данной сфере, равной, по определению энергии покоя :

$$r=r_h : R_h=e^2/E_h=e^2/m_0c^2$$

.

Это ещё одно замечательное свойство решения : гравитационное поле, т.е. кривое пространство-время, формирует электрический заряд и его электрическое поле на классическом радиусе, на котором традиционно считалось его влияние ничтожно малым из-за того, что при $e>>\sqrt km_0$ $R_{gh}<<R_{fh}$, т.е. потенциальная энергия гравитационного поля намного меньше энергии электромагнитного поля. Из-за этого пространство-время считалось практически плоским, т.е. пространством Минковского.

Как видим, это не так : пространство внутри заряда сугубо неевклидово, внутри него - большой нестационарный мир, топология нетривиальна. А малость гравитационного поля во внешнем мире связана как раз с почти полной замкнутостью внутреннего мира из-за сильного гравитационного "дефекта массы" - уменьшения наблюдаемой полной энергии засчет кривизны пространства-времени внутри.

2) Теперь рассмотрим задачу склейки внутреннего нестационарного мира с внешним вакуумным статическим миром Рейсснера-Нордстрема. Она может быть произведена только через эту статическую гиперповерхность $R=R_h$.

4- кривизна радиальных сфер равна :

$$_0K_r^{(4)}=\frac {1-e^{-\lambda}R'^2+e^{-\nu}R \dot { }^2}{R^2}$$

.

Если рассматривать эволюцию внутреннего мира от состояния максимального расширения, то в 3-пространстве при стремлении $r$ к $r_h$ эта кривизна будет возрастать, достигая максимума на статической сфере. Т.е. эта сфера - горловина - экстремальная неособая поверхность. Таким образом, условие экстремума кривизны на поверхности заряда - горловине - месте его будущей склейки с вакуумным миром, не нарушающее физические условия (причинность, неотрицательность плотностей энергии, ...) при $r=r_h$, где h - горловина, будет таким :

$_0K_r^{(4)}>0$, $_0K_r^{(4)}'=0$.

3) Отсюда следует, что радиус 2-гауссовой кривизны радиальных сфер на горловине также достигает экстремума (если не накладывать на плотность пыли $\varepsilon _s$ никаких дополнительных условий) :

$$R'_h=0$$

.

А уже отсюда, учитывая, что $e^{\lambda _ h}=R'^2/f^2=0$ при $e>\sqrt km_0$, получаем, что на горловине определитель метрического тензора обращается в нуль. Следовательно, на ней сферическая система координат (и, кстати, очевидно, любая другая, кроме систем координат, привязанных к свободно падающим наблюдателям) неизбежно вырождается.

О чем это говорит? Т.к. $\sqrt{-g}$ - это якобиан преобразования от произвольных координат к декартовым, это просто означает, что горловина - принципиально даже локально неевклидовый объект : на ней даже в малой окрестности пространство не плоское. В частности, будут стремиться к нулю все длины вдоль радиальной координаты.

Это - неизбежное и допустимое свойство данной геометрии. Т.к. все её геометрические характеристики (кривизны) и соответствующие им физические величины (масса, плотности энергии пыли и электромагнитного поля, напряженность электрического поля) конечны. Т.е. данная особенность - чисто координатная, не отражается на геометрии и на физике.

[Someone]

pc20b писал(а):

Цитата:

Кстати, я просил Вас проверить условие склейки для областей $-2r_f<\tilde r\leqslant 0$ и $\tilde r\geqslant 0$ по поверхности $\tilde r=0$.

А зачем Вам надо склеивать эти два листа? Первый ведь отрезается.

Мне не нужно их склеивать, они уже склеены. Я хочу знать, выполняется ли для них условие склейки, то есть, правильно ли они склеены.

Остальное посмотрю позже.

[pc20b]

Someone
Пока набивался ответ на Ваши последующие вопросы, появился Ваш комментарий к предыдущим, который, извините, свидетельствует, что Вы не понимаете и торопитесь :

Цитата:

Цитата:

Цитата:

Цитата:
Где Вы такое определение взяли? Там никакого условия на якобианы не должно быть

Зачем его откуда-то брать? Если где-то в области $det (\partial x/\partial \tilde x)=0$, то там исчезает взаимно однозначное соответствие между точками области в двух системах координат

Далеко не всегда. При Вашей замене взаимная однозначность сохраняется, что проверяется непосредственно, без всяких якобианов. Прямо по определению взаимно однозначного соответствия. Я об этом писал. Что, мне ещё и квадратное уравнение за Вас решить?

Нет, нет взаимной однозначности, если якобиан нулится (см., например, Дубровин, Новиков, Фоменко. Современная геометрия, Ч.I,1.4).

Цитата:

Цитата:

c20b писал(а):
объем базисного параллелотопа становится равным нулю в этих точках

Шут с ним, это имеет более чем отдалённое отношение к взаимной однозначности.

Наоборот, прямое имеет отношение.

Ну а дальше Вы просто проигнорировали ответ, прервав его на "взлёте" :

Цитата:

Цитата:

Цитата:

Можете попробовать вычислять длины хоть радиальных линий.

Давайте попробуем.
Радиальная длина в метрике

$$ds^2=A(r)dt^2-\frac{dr^2}{A(r)}-r^2d\sigma ^2$$

Это не длина, это квадрат дифференциала.
Вычисления длины не вижу.

Оно было ниже, даже без запятой ***:

Цитата:

Давайте попробуем.
Радиальная длина в метрике

$$ds^2=A(r)dt^2-\frac{dr^2}{A(r)}-r^2d\sigma ^2$$

равна

$$dl_r=\sqrt {g_{11}}dr=\frac {dr}{\sqrt A}$$

.
Радиальная длина в метрике

$$ds^2=A(r)dt^2-\frac{r_{,\tilde r}^2dr^2}{A(r)}-r^2d\sigma ^2$$

равна

$$dl_{\tilde r}=\sqrt {g_{\tilde 1\tilde 1}}d\tilde r=\frac {|r_{,\tilde r}|d\tilde r}{\sqrt A}$$

.
При неизометрическом преобразовании координат

$$r=\tilde r+\frac {4r_f^2}{2r_f+\tilde r}$$

якобиан равен

$$|r_{,\tilde r}|=1-\frac{4r_f^2}{(2r_f+\tilde r)^2}$$

.
и он зануляется на горловине $\tilde r=0$, которой в старых координатах кривизн соответствовала точка $r=2r_f$.

Т.о., в старых координатах в малой окрестности точки $r=2r_f$ радиальная длина отлична от нуля, а в новых координатах в малой окрестности горловины радиальная длина равна нулю,

$$dl_{\tilde r}=0$$

.

Следовательно, Ваше условие : "Любая замена координат, если она взаимно однозначная и не слишком плохая", - здесь не выполняется.

*** Речь идет о радиальных длинах в бесконечно малой окрестности горловины. Т.е. о бесконечно малых длинах.

Цитата:

По поводу дальнейших рассуждений ещё раз советую: изучайте математический анализ по ...

Исправлено.

Добавлено спустя 35 минут 8 секунд:

Someone

Цитата:

Кстати, я просил Вас проверить условие склейки для областей $-2r_f<\tilde r\leqslant 0$ и $\tilde r\geqslant 0$ по поверхности $\tilde r=0$.

А зачем Вам надо склеивать эти два листа? Первый ведь отрезается.

Мне не нужно их склеивать, они уже склеены. Я хочу знать, выполняется ли для них условие склейки, то есть, правильно ли они склеены.

Условие склейки радиальных сфер на них выполняется.

P.S. О незанулении якобиана преобразования можно взглянуть, скажем здесь :
http://elementy.ru/blogs/users/sergeygubanov/6872

"Специально обращаю внимание специалистов по ОТО на то, что я говорю про 3х-мерное пространство.

Множество точек трёхмерного пространства можно перенумеровать приписав каждой точке три вещественных числа {x1, x2, x3} – её номер. Эти числа называют координатами точки. Любые функции заданные на множестве точек пространства, стало быть, являются функциями от трёх чисел {x1, x2, x3} – функциями координат. Понятно, что перенумеровывать точки пространства можно разными способами – расстояния между точками не могут изменится только лишь от того, что точки перенумеровали по другому. Можно сколько угодно раз переходить от одной нумерации точек (от одних координат) к другой нумерации точке (к другим координатам) – физически от этого ничего не изменится. На функции преобразования координат x’ = f(x) дифференциальная геометрия накладывает лишь условия дифференцируемости и отличие от нуля якобиана".

P.P.S. Someone, насколько можно понять, Вас смущает лишь то, что в приведенном примере вырожденного преобразования зануление якобиана происходит на границе области, что, в силу непрерывности функций, не сказывается на глобальных величинах. Можно согласиться, что пример, возможно, неудачный. Т.к. речь идет о принципе (неполноте координат кривизн в вакууме), то придется попытаться привести пример получше.

[Someone]

pc20b писал(а):

Цитата:

При Вашей замене взаимная однозначность сохраняется, что проверяется непосредственно, без всяких якобианов. Прямо по определению взаимно однозначного соответствия. Я об этом писал. Что, мне ещё и квадратное уравнение за Вас решить?

Нет, нет взаимной однозначности, если якобиан нулится (см., например, Дубровин, Новиков, Фоменко. Современная геометрия, Ч.I,1.4).

Мы с Вами ходим по кругу. Ещё раз повторяю: в Вашем случае взаимная однозначность преобразования $r=\tilde r+\frac{4r_f^2}{\tilde r+2r_f}$, $\tilde r\geqslant 0$, проверяется непосредственно. Каждому значению $\tilde r\geqslant 0$ соответствует единственное значение $r\geqslant 2r_f$ (формула написана выше), и наоборот, каждому значению $r\geqslant 2r_f$ соответствует единственное значение $\tilde r\geqslant 0$, которое можно найти по формуле

$$\tilde r=\frac 12\left(r-2r_f+\sqrt{(r-2r_f)(r+6r_f)}\right)\text{.}$$

Формула эта получается, если решить уравнение $r=\tilde r+\frac{4r_f^2}{\tilde r+2r_f}$, $r\geqslant 2r_f$, относительно $\tilde r$ при условии $\tilde r\geqslant 0$. После умножения на $\tilde r+2r_f$ исходное уравнение приводится к к квадратному уравнению $\tilde r^2-(r-2r_f)\tilde r-2r_f(r-2r_f)=0$. По теореме Виета, при $r>2r_f$ это уравнение имеет один корень $\tilde r_1>0$ и один корень $\tilde r_2<0$, а при $r=2r_f$ получается $\tilde r_1=\tilde r_2=0$.

Я не понимаю, почему эти вычисления для Вас оказались непосильными. А ссылаясь на книгу, нужно хорошо понимать, что там написано.

pc20b писал(а):

Цитата:

Кстати, я просил Вас проверить условие склейки для областей $-2r_f<\tilde r\leqslant 0$ и $\tilde r\geqslant 0$ по поверхности $\tilde r=0$.

А зачем Вам надо склеивать эти два листа? Первый ведь отрезается.

Мне не нужно их склеивать, они уже склеены. Я хочу знать, выполняется ли для них условие склейки, то есть, правильно ли они склеены.

Условие склейки радиальных сфер на них выполняется.

В общем-то, я этого и ожидал, и это очень плохо. Я же Вам писал, что в вырождающейся системе координат условия склейки тоже вырождаются и не обеспечивают правильной склейки.

Ваша замена координат, если её рассматривать в области $\tilde r>-2r_f$, дважды покрывает "внешнюю" область $r\geqslant 2r_f$, то есть, области $-2r_f<\tilde r\leqslant 0$ и $\tilde r\geqslant 0$ - это одна и та же область $r\geqslant 2r_f$. То есть, "склеены" два экземпляра области $r\geqslant 2r_f$ по сфере $r=2r_f$. Как это выглядит и что там с гладкостью?

[pc20b]

Someone

Цитата:

При Вашей замене взаимная однозначность сохраняется, что проверяется непосредственно, без всяких якобианов.

Вы немного тоже, очевидно, не понимаете. Одной взаимной однозначности систем координат мало.

Задача другая : какие метрики описывают одно и то же пространство? Ответ известен : даже если рассматриваются взаимно однозначные преобразования координат, $x^{\mu}\leftrightarrow x^{\tilde \mu}$, метрический тензор должен быть один :
$g_{\tilde \mu\tilde \nu}=x^{\mu}_{,\tilde \mu}x^{\nu}_{,\tilde \nu}g_{\mu \nu}$. Отсюда видно, что накладываются условия также и на первые производные однозначных функций $x^{\mu}(x^{\tilde \nu})$, а именно, отсутствие зануления якобианов в любой точке области : $det (\partial \tilde x/\partial x)\neq 0$ и $det(\partial x/\partial \tilde x)\neq 0$. Т.е. преобразования в классе эквивалентности метрик должны быть невырожденными.
Вот что Вы почему-то не хотите прокомментировать.

Выходит, на гладком многообразии неравенство нулю якобианов прямого и обратного преобразования гарантирует взаимную однозначность преобразований координат (меток на пространстве), а обратное - не всегда.***


*** Если это так, то не требует ли уточнения высказывание, приведенное в книге Дубровина, Новикова, Фоменко. Современная геометрия,1986, с.37 :
"При этом мы, конечно, требуем, чтобы функции $x^i(z^1,...,z^n)$ и обратные им функции $z^j(x^1,...,x^n)$ были гладкими. Тогда якобианы $det(\partial x/\partial z)$ и $det(\partial z/\partial x)$ нигде не обращаются в нуль".

Только сейчас чуть выше Вы показали, что это не так : рассмотренное преобразование взаимно однозначное, функции гладкие, а якобиан нулится.

Или, всё же, если Вас процитировать,

Цитата:

А ссылаясь на книгу, нужно хорошо понимать, что там написано.

?

[Someone]

pc20b писал(а):

Someone

Цитата:

При Вашей замене взаимная однозначность сохраняется, что проверяется непосредственно, без всяких якобианов.

Вы немного тоже, очевидно, не понимаете. Одной взаимной однозначности систем координат мало.

"Мало" для чего? Вы же сами выбрали преобразование координат, в котором якобиан кое-где обращается в ноль. Постарайтесь всё-таки понять, что обе системы координат описывают один и тот же объект. Этому объекту абсолютно чихать на наши системы координат. Он остаётся самим собой, какую бы систему координат на нём ни взять. Выбирая плохие системы координат, мы создаём проблемы не этому объекту, а себе.
Тем не менее, мы можем вычислять длины кривых как в первоначальной системе координат, так и в Вашей. Результаты всегда будут одинаковые. Я Вам уже предлагал это сделать, но оказалось, что Вы не понимаете, что такое длина кривой, и путаете её с дифференциалом.

pc20b писал(а):

Вот что Вы почему-то не хотите прокомментировать.

Изометричность двух многообразий означает, что между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором длины соответствующих друг другу кривых совпадают (точнее, если на одном многообразии задана спрямляемая кривая, то соответствующая ей кривая на другом многообразии тоже спрямляемая и имеет такую же длину). Якобианы тут ни при чём.

Но у нас-то многообразие одно (чего Вы никак не хотите понять), просто системы координат на нём разные.

pc20b писал(а):

Выходит, на гладком многообразии неравенство нулю якобианов прямого и обратного преобразования гарантирует взаимную однозначность преобразований координат (меток на пространстве), а обратное - не всегда.

Если есть прямое и обратное преобразования, то они оба автоматически взаимно однозначны. И никакие якобианы здесь ни при чём. Взаимная однозначность вообще не связана ни с какой гладкостью или с якобианами.
Если есть только прямое преобразование, то любая его гладкость и неравенство нулю якобиана не гарантируют взаимной однозначности.
Наоборот, из взаимной однозначности не следует ни неравенство нулю якобиана, ни даже какая-нибудь гладкость.

pc20b писал(а):

Если это так, то не требует ли уточнения высказывание, приведенное в книге Дубровина, Новикова, Фоменко. Современная геометрия,1986, с.37 :
"При этом мы, конечно, требуем, чтобы функции $x^i(z^1,...,z^n)$ и обратные им функции $z^j(x^1,...,x^n)$ были гладкими. Тогда якобианы $det(\partial x/\partial z)$ и $det(\partial z/\partial x)$ нигде не обращаются в нуль".

Только сейчас чуть выше Вы показали, что это не так : рассмотренное преобразование взаимно однозначное, функции гладкие, а якобиан нулится.

Неправда. У Вас обратное преобразование не гладкое: $\frac{d\tilde r(2r_f)}{dr}$ не существует (я написал здесь обыкновенную производную, а не частную, поскольку фактически $\tilde r$ зависит только от одной переменной $r$.

[pc20b]

Someone

Цитата:

Цитата:

Вы немного тоже, очевидно, не понимаете. Одной взаимной однозначности систем координат мало.

"Мало" для чего? Вы же сами выбрали преобразование координат, в котором якобиан кое-где обращается в ноль. Постарайтесь всё-таки понять, что обе системы координат описывают один и тот же объект. Этому объекту абсолютно чихать на наши системы координат. Он остаётся самим собой, какую бы систему координат на нём ни взять. Выбирая плохие системы координат, мы создаём проблемы не этому объекту, а себе.

У Вас обратное преобразование не гладкое: $\frac{d\tilde r(2r_f)}{dr}$ не существует

В общем-то всё, наверно, правильно. С дополнением, что две системы координат с нулящимся кое-где якобианом могут не описывать один объект. Осталось лишь уточнить, что значит "плохие" системы координат и "какие проблемы" мы создаем себе, работая в них.

Итак, одной взаимной однозначности преобразований координат, чтобы обе метрики описывали одно пространство, недостаточно : необходимо, чтобы преобразования в обе стороны были гладкими и ни одна из метрик не была вырождена. Только в этом случае они будут описывать одно пространство. Последнему требованию соответствует требование необращения в нуль якобианов прямого и обратного преобразований - в этом случае матрицы метрических коэффициентов в тех и других координатах будут невырождены.

В рассматриваемом примере вакуумной метрики Рейсснера-Нордстрема в координатах кривизн и попытки её преобразовать ситуация другая :
- во-первых, из-за наличия горизонта событий $g_{00}=0$ при определенном соотношении между входящими в метрику константами ($e<\sqrt km_0$) ряд функций ($g_{11}$, например) теряют гладкость в некоторых точках вне истинной сингулярности $r=0$, а также из-за того, что в координатах кривизн положено $-g_{22} =r^2$, эти координаты не могут описать свойства геометрии, связанные с условием $g_{22}'=0$, возникает вопрос : описывает ли данная метрика в группе произвольных допустимых преобразований общее вакуумное гравитационное поле произвольного невращающегося сферически симметричного заряженного тела (теорема Биркгофа), или это частное решение для точечного источника или черной дыры, которое к тому же описывает лишь часть пространства;

- во-вторых, если совершить преобразование координат с нулящимся "где-то" в области якобианом, при котором новая метрика удовлетворяет уравнениям Эйнштейна, и при котором, и это заранее очевидно, по определению в общем случае возникает пространство, не эквивалентное исходному (функции не гладкие, новая метрика вырождена в точках зануления якобиана), описываемому метрикой Рейсснера-Нордстрема, возникает вопрос : "шире" или "уже" это пространство, чем исходное, и есть ли в новой метрике экстремум (или перегиб) кривизны радиальных сфер (или это чисто координатный эффект) ? (в точке $r=2r_f$ первоначальной метрики, что необходимо для склейки с внутренним решением).

Хотелось бы услышать Ваш комментарий по такой постановке задачи.

Добавлено спустя 1 час 6 минут 40 секунд:

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
Если это так, то не требует ли уточнения высказывание, приведенное в книге Дубровина, Новикова, Фоменко. Современная геометрия,1986, с.37 :
"При этом мы, конечно, требуем, чтобы функции $x^i(z^1,...,z^n)$ и обратные им функции $z^j(x^1,...,x^n)$ были гладкими. Тогда якобианы $det(\partial x/\partial z)$ и $det(\partial z/\partial x)$ нигде не обращаются в нуль".

Только сейчас чуть выше Вы показали, что это не так : рассмотренное преобразование взаимно однозначное, функции гладкие, а якобиан нулится.

Неправда. У Вас обратное преобразование не гладкое:

Да, это верно. Вы правы. Если функции и обратные им гладкие, то якобианы нигде не обращаются в нуль. Но тогда возникает, очевидно, такая ситуация : что, гладкие диффеоморфизмы в принципе не могут описать ситуацию типа экстремума какой-то геометрической величины (т.к. в противном случае стала бы возможной такая ситуация, что какая-то строка (либо столбец) матрицы Якоби состояла бы из нулевых элементов)?
Т.е. в строго римановой метрике без вырождения экстремум не опишешь?

Не прокомментируете ли Вы и этот вопрос.

Добавлено спустя 48 минут 24 секунды:

Someone

Цитата:

Тем не менее, мы можем вычислять длины кривых как в первоначальной системе координат, так и в Вашей. Результаты всегда будут одинаковые. Я Вам уже предлагал это сделать, но оказалось, что Вы не понимаете, что такое длина кривой, и путаете её с дифференциалом.

Длины в касательном пространстве, определяемые дифференциалом $ds^2 =g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$, связаны с длинами на многообразии $dL=\sqrt {|g(\partial{ }/\partial t,\partial{ }/\partial t|}{ }dt$ вдоль кривой $\gamma (t)$, если метрика невырождена (Хокинг, Эллис. Крупномасштабная структура пространства-времени, 1977, с.48). В нашем случае она вырождена при $\tilde r=0$. Правда, лишь на границе (горловине), вблизи которой радиальная длина в данной системе координат стремится к нулю.

В связи с предыдущим вопросом возникает вопрос, а может ли на горловине как экстремальной поверхности быть по-другому ...***

*** Спросили у верблюда :
- Отчего у тебя шея кривая? - Отвечает верблюд :
- А вы видели чего-нибудь прямое?
((с)- восточная мудрость)

[Someone]

pc20b писал(а):

В общем-то всё, наверно, правильно. С дополнением, что две системы координат с нулящимся кое-где якобианом могут не описывать один объект.

Интересно, как это две системы координат, заданные на одном объекте, могут не описывать один объект?

pc20b писал(а):

Осталось лишь уточнить, что значит "плохие" системы координат и "какие проблемы" мы создаем себе, работая в них.

Ну, например, в Вашей системе координат условия склейки вырождаются, и то, что Вы так "успешно" склеиваете, в действительности не склеивается вообще. Например, два листа $-2r_f<\tilde r\leqslant 0$ и $\tilde r\geqslant 0$. Объект, падающий к центру в таком пространстве-времени, натыкается на поверхность $\tilde r=0$ и вдруг, с какого-то перепугу, отскакивает и мчится вверх. Вот именно такая склейка у Вас получается, только замаскированная вырожденной системой координат:

pc20b писал(а):

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=60252#60252
Берем конус, разрезаем его по поверхности z=const>0 и склеиваем две одинаковые не содержащие вершины половинки. Получаем излом.

pc20b писал(а):

Итак, одной взаимной однозначности преобразований координат, чтобы обе метрики описывали одно пространство, недостаточно

Меня особо восхищает это "итак". Такое впечатление, что Вы вообще не понимаете, что я Вам пишу.

pc20b писал(а):

...

Хотелось бы услышать Ваш комментарий по такой постановке задачи.

Я уже столько комментировал эти вопросы, что больше не хочу.

pc20b писал(а):

Но тогда возникает, очевидно, такая ситуация : что, гладкие диффеоморфизмы в принципе не могут описать ситуацию типа экстремума какой-то геометрической величины (т.к. в противном случае стала бы возможной такая ситуация, что какая-то строка (либо столбец) матрицы Якоби состояла бы из нулевых элементов)?
Т.е. в строго римановой метрике без вырождения экстремум не опишешь?

Не прокомментируете ли Вы и этот вопрос.

Прокомментирую. Вы пишете полную ерунду. Если экстремум есть, он прекрасно описывается в невырожденной римановой метрике, причём, годится любая невырожденная система координат, покрывающая точку экстремума.

Я думаю, что дальнейшее обсуждение смысла не имеет, пока Вы не ликвидируете в достаточной степени пробелы в своём математическом образовании. Берите подробный и серьёзный курс математического анализа (например, трёхтомник Г.М.Фихтенгольца) и штудируйте до полного просветления. Там и про длину кривой найдёте, и про замену переменной в интеграле, и про экстремумы. Может быть, у кого-то ещё возникнет желание Вас переубедить, а у меня такого желания больше нет.

P.S. Вопрос к физикам. А что, уровень рецензирования в ЖЭТФ упал настолько низко, что публикуются работы с элементарными математическими ошибками?

pc20b писал(а):

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=61116#61116
ПРЕДЛОЖЕНИЕ №1.
...
Доказательство 2 (ЖЭТФ 128, 2, 2005, с. 300).
...

[pc20b]

Someone,
Где здесь (http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=61116#61116 ) ошибки :

Цитата:

Внутреннее сферически симметричное решение можно без особенностей склеить с внешним вакуумным статическим решением только через горловину $(h)$ - гладкую экстремальную статическую в сопутствующей системе отсчета сферу, на которой :

$$_0K^{(4)}_{rh} >0, _0K^{(4)}_{rh}'=0$$

.
Здесь

$$_0K^{(4)}_{rh} $$

- 4-кривизна 2-поверхности, ортогональной координатам $t$ и $r$, на горловине; $'$ - производная по $r$.

Последнее условие экстремума, если не накладывать на плотность энергии вещества во внутреннем мире никаких дополнительных условий, можно выполнить только при

$$R_h'=0$$

.
Этому условию координаты кривизн не удовлетворяют. Поэтому решение уравнений, полученное в них, не может быть гладко склеено с внутренним решением.

Добавлено спустя 45 минут 29 секунд:

Someone

Цитата:

Интересно, как это две системы координат, заданные на одном объекте, могут не описывать один объект?

Во-первых, две системы координат, даже заданные на одном объекте, могут описывать разные части одного объекта. А могут и вообще ничего не описывать.
Во-вторых, если системы координат связаны вырожденными преобразованиями с нулящимся на части области якобианом, т.е. диффеоморфизма нет, то откуда следует, что эти метрики описывают один объект?

Цитата:

Вашей системе координат условия склейки вырождаются, и то, что Вы так "успешно" склеиваете, в действительности не склеивается вообще. Например, два листа $-2r_f<\tilde r\leqslant 0$ и $\tilde r\geqslant 0$. Объект, падающий к центру в таком пространстве-времени, натыкается на поверхность $\tilde r=0$ и вдруг, с какого-то перепугу, отскакивает и мчится вверх. Вот именно такая склейка у Вас получается, только замаскированная вырожденной системой координат:

Нет, не так : никто эти два листа не склеивал : склеивался лист $\tilde r\geqslant 0$ с внутренним решением. Склеить этот лист со вторым листом Вы попросили.

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
Итак, одной взаимной однозначности преобразований координат, чтобы обе метрики описывали одно пространство, недостаточно

Я уже столько комментировал эти вопросы, что больше не хочу.

За комментарии спасибо. Извините, больше к Вам вопросов не будет.

[Someone]

pc20b писал(а):

Someone,
Где здесь (http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=61116#61116 ) ошибки :

Цитата:

...

Я Вам всё время об этом толкую, но Вы не понимаете. Изучайте математический анализ. Разберётесь с математическим анализом, тогда и ошибки увидите.

pc20b писал(а):

Someone

Цитата:

Интересно, как это две системы координат, заданные на одном объекте, могут не описывать один объект?

Во-первых, две системы координат, даже заданные на одном объекте, могут описывать разные части одного объекта. А могут и вообще ничего не описывать.

Ваша система координат описывает часть области, покрываемой страндартной системой координат.

pc20b писал(а):

Во-вторых, если системы координат связаны вырожденными преобразованиями с нулящимся на части области якобианом, т.е. диффеоморфизма нет, то откуда следует, что эти метрики описывают один объект?

Оттуда, что они заданы на одном объекте. То есть, по определению.

pc20b писал(а):

Цитата:

В Вашей системе координат условия склейки вырождаются, и то, что Вы так "успешно" склеиваете, в действительности не склеивается вообще. Например, два листа $-2r_f<\tilde r\leqslant 0$ и $\tilde r\geqslant 0$. Объект, падающий к центру в таком пространстве-времени, натыкается на поверхность $\tilde r=0$ и вдруг, с какого-то перепугу, отскакивает и мчится вверх. Вот именно такая склейка у Вас получается, только замаскированная вырожденной системой координат:

Нет, не так : никто эти два листа не склеивал : склеивался лист $\tilde r\geqslant 0$ с внутренним решением. Склеить этот лист со вторым листом Вы попросили.

Я попросил Вас проверить, выполняется ли условие склейки для двух областей в Вашей системе координат, заданных неравенствами $-2r_f<\tilde r\leqslant 0$ и $\tilde r\geqslant 0$, и получил ответ:

pc20b писал(а):

Условие склейки радиальных сфер на них выполняется.

Между тем, эти две Ваших области соответствуют одной и той же области решения Рейснера - Нордстрёма $r\geqslant 2r_f$. Если же считать, что у нас имеются два экземпляра этой области, то склейка получается такая же, как в Вашем примере с конусом. Или даже прямо в примере с решением Рейснера - Нордстрёма.

В общем, всё упирается в математический анализ.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Я Вам всё время об этом толкую, но Вы не понимаете. Изучайте математический анализ. Разберётесь с математическим анализом, тогда и ошибки увидите..

Someone Я думаю, что к физикам нельзя предъявлять такие требования, а в данном
конкретном случае, особенно