Цитата:

- это тензор Эйнштейна?
Во что превращается условие склейки в Ваших координатах?
Тензор Эйнштейна.
Разрыв

компоненты тензора Эйнштейна, а следовательно, тензора энергии-импульса, допустим (граница вещество-вакуум), т.к.

, но разрыв величины

, где

- уравнение поверхности склейки, недопустим, согласно условию Лихнеровича.
Если приближаться к поверхности склейки со стороны внутреннего решения, то эта величина на горловине

равна нулю за счет условия экстремума

. Также она равна нулю и в общих сферических координатах при

со стороны статического вакуума.
В координатах же кривизн

, т.к. уравнение поверхности склейки

, эта величина со стороны вакуума равна

, т.е. пропорциональна плотности энергии электромагнитного поля на горловине, которая не равна нулю.
Следовательно, условия склейки не выполняются на решении Рейсснера-Нордстрема в координатах кривизн :

,

.
![$$\Longrightarrow G_{\mu}^{\nu}f_{,\nu}\notin [C]$$ $$\Longrightarrow G_{\mu}^{\nu}f_{,\nu}\notin [C]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/f/7bf6f9b17a3aea28c0c3c5314c55eeb782.png)
.
Цитата:
Кстати, я просил Вас проверить условие склейки для областей

и

по поверхности

.
А зачем Вам надо склеивать эти два листа? Первый ведь отрезается.
Цитата:
Может быть, Вы хотите сделать невозможную склейку?
Наоборот, условие состоит в необходимости гладкой склейки. Она возможна, если только соответствующие кривизны 2-поверхностей 4-пространства-времени в месте склейки имеют либо экстремум, либо перегиб. В любом другом случае, если, скажем, как в метрике Рейсснера-Нордстрема в координатах кривизн, 4-кривизна поверхности радиальных сфер монотонно увеличивается при приближении к месту склейки

, не достигая максимума или перегиба, то при склейке с внутренним решением, которое на горловине имеет максимум кривизны этих поверхностей (в состоянии максимального расширения), минимум (в состоянии максимального сжатия), со стороны вакуума появится излом, что недопустимо.
Цитата:
Я не знаю Вашего внутреннего решения и по какой поверхности Вы его хотите приклеивать.
Решение уже выкладывалось выше на стр.3 и 10 :
Рассматривается центрально-симметричная ортогональная нестационарная метрика

,

.
Гравитационное поле задается тензором энергии-импульса, смешанные компоненты которого равны

, отвечающим идеальному пылевидному, в общем случае заряженному веществу с плотностью энергии

и электромагнитному полю с плотностью энергии

.
Общее решение уравнений Эйнштейна-Максвелла зависит от трех произвольных функций от

- интегралов движения. В качестве этих функций можно выбрать электрический заряд

, полную энергию материи

и функцию

,

,

- радиус кривизны,

,

- плотность заряда.
Если заряд постоянный,

, то пыль нейтральна, т.е. незаряжена, электромагнитное поле в сопутствующей пыли системе отсчета представлено радиальным электрическим полем. При

(полузакрытый мир) решение выглядит следующим образом :

,
где

,

- произвольная функция r, определяемая способом измерения времени,

- гравитационный радиус,

- классический (электромагнитный радиус),

- постоянная Эйнштейна.
Это решение при

(

) переходит в известное решение Толмана, в отсутствии вещества - в решение Рейсснера-Нордстрема, при

и в отсутствии вещества - в решение Шварцшильда.
Это решение периодично по времени. Замечательным его свойством является отсутствие точечной сингулярности типа бесконечной гауссовой кривизны 2-сфер, ортогональных радиальной координате

: т.к.

, то при отличном от нуля гравитационном радиусе

(это можно обеспечить всегда) радиус внутренней скалярной кривизны 2-поверхности

нигде и никогда не обращается в нуль :

.
А т.к. поле

, то тем самым гравитация, т.е. кривизна пространства-времени, устраняет кулоновскую расходимость поля классического точечного заряда в пространстве-времени Минковского.
Вторым замечательным свойством данного решения является наличие в этом нестационарном мире статической 3-гиперповерхности (

) при

:

,

,
где

. Из условия статичности следует

.
Откуда, после подстановки этих условий в данное решение, следует, что радиус 2-кривизны этой статической радиальной сферы всегда равен удвоенному классическому радиусу

,
т.е. отношению квадрата заряда к полной энергии внутреннего мира на данной сфере, равной, по определению энергии покоя :

.
Это ещё одно замечательное свойство решения : гравитационное поле, т.е. кривое пространство-время, формирует электрический заряд и его электрическое поле на классическом радиусе, на котором традиционно считалось его влияние ничтожно малым из-за того, что при

, т.е. потенциальная энергия гравитационного поля намного меньше энергии электромагнитного поля. Из-за этого пространство-время считалось практически плоским, т.е. пространством Минковского.
Как видим, это не так : пространство внутри заряда сугубо неевклидово, внутри него - большой нестационарный мир, топология нетривиальна. А малость гравитационного поля во внешнем мире связана как раз с почти полной замкнутостью внутреннего мира из-за сильного гравитационного "дефекта массы" - уменьшения наблюдаемой полной энергии засчет кривизны пространства-времени внутри.
2) Теперь рассмотрим задачу склейки внутреннего нестационарного мира с внешним вакуумным статическим миром Рейсснера-Нордстрема. Она может быть произведена только через эту статическую гиперповерхность

.
4- кривизна радиальных сфер равна :

.
Если рассматривать эволюцию внутреннего мира от состояния максимального расширения, то в 3-пространстве при стремлении

к

эта кривизна будет возрастать, достигая максимума на статической сфере. Т.е. эта сфера - горловина - экстремальная неособая поверхность. Таким образом, условие экстремума кривизны на поверхности заряда - горловине - месте его будущей склейки с вакуумным миром, не нарушающее физические условия (причинность, неотрицательность плотностей энергии, ...) при

, где h - горловина, будет таким :

,

.
3) Отсюда следует, что радиус 2-гауссовой кривизны радиальных сфер на горловине также достигает экстремума (если не накладывать на плотность пыли

никаких дополнительных условий) :

.
А уже отсюда, учитывая, что

при

, получаем, что на горловине определитель метрического тензора обращается в нуль. Следовательно, на ней сферическая система координат (и, кстати, очевидно, любая другая, кроме систем координат, привязанных к свободно падающим наблюдателям) неизбежно вырождается.
О чем это говорит? Т.к.

- это якобиан преобразования от произвольных координат к декартовым, это просто означает, что горловина - принципиально даже локально неевклидовый объект : на ней даже в малой окрестности пространство не плоское. В частности, будут стремиться к нулю все длины вдоль радиальной координаты.
Это - неизбежное и допустимое свойство данной геометрии. Т.к. все её геометрические характеристики (кривизны) и соответствующие им физические величины (масса, плотности энергии пыли и электромагнитного поля, напряженность электрического поля) конечны. Т.е. данная особенность - чисто координатная, не отражается на геометрии и на физике.