Лагранжиан свободных фермионов

[lek]

Munin в сообщении #619304 писал(а):

Не понял. В каком разделе? В конце там Summary in low dimensions, что вообще о другом. А фиксацию группы симметрии от фиксации набора мультиплетов я вообще невооружённым глазом отличить не могу, можете пояснить?

Именно там, в Summary in low dimensions. Верно, не о "внутренних" симметриях. О спинорных представлениях ортогональных (и Лоренца, - это уже в таблице) групп. Но как иллюстрация мысли о том, что выбор набора мультиплетов эквивалентен выбору представления группы симметрий, вполне подходит.

Munin в сообщении #619304 писал(а):

То есть как, сначала мультиплеты, потом глобально-инвариантный лагранжиан для них?

Да.

Munin в сообщении #619304 писал(а):

Э нет, стоп, различайте $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ глобальную и калибровочную. Из первой вообще не "исходят".

Строго говоря, да - не исходят. Но здесь я имел ввиду следующее. Рассмотрим лагранжиан свободного электронного поля $\mathcal{L}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi$.
Легко видеть, что он обладает глобальной $U(1)$-симметрией. Заменим $\partial_{\mu}$ на калибровочно-инвариантную производную $D_{\mu}$, получим локально $U(1)$-инвариантный лагранжиан. Очевидно, что подобной процедуре можно подвергнуть и лагранжиан с глобальной $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$-симметрией.

Munin в сообщении #619304 писал(а):

Всё верно, но этот набор полей становится мультиплетом, только становясь представлением какой-то группы симметрии. Иначе слово "мультиплет" использовать ещё нельзя, рано.

Разумеется.

Munin в сообщении #619304 писал(а):

Простите, но это просто неверно...

Здесь я не все понял. Что касается одного мультиплета, то возражений и противоречий нет. Стандартная запись $SU(3)_{C}\times SU(2)_{L}\times U(1)_{R}$ предполагает, что $SU(3)_{C}$ действует на триплет кварков, $SU(2)_{L}\times U(1)_{R}$ на дублет левых фермионов, а $U(1)_{R}$ на синглет правых фермионов. И это будет так для любого поколения лептонов и кварков. Но затем вы для каждого поколения вводите свою группу симметрий, да еще $SU(3)_{C}$ заменяете на $SU(3)_{C}\times SU(3)_{F}$. Зачем? Я могу лишь предположить, что причина кроется в том, что каждое семейство фермионов, а также лептоны и кварки, преобразуются в непересекающихся подпространствах, и поэтому "генерируют" дополнительные симметрии. В принципе, такой подход вполне допустим (и в этом случае симметрия, разумеется, повышается). Однако, надо иметь ввиду, что при последующем переходе к локальной теории с каждым генератором группы необходимо будет связывать калибровочное поле. И в вашем случае таких полей будет больше, чем в стандартной модели (кстати, именно это я имел ввиду, когда говорил выше о "потери связи" со СМ). Если же ограничиться группой $SU(3)_{C}\times SU(2)_{L}\times U(1)_{R}$, но рассматривать ее (глобальное) представление уже в этом "большом" пространстве, то "лишних" калибровочных полей не возникнет.

[bayak]

lek в сообщении #619350 писал(а):

Однако, надо иметь ввиду, что при последующем переходе к локальной теории с каждым генератором группы необходимо будет связывать калибровочное поле. И в вашем случае таких полей будет больше, чем в стандартной модели (кстати, именно это я имел ввиду, когда говорил выше о "потери связи" со СМ).

Согласитесь, что такой путаницы ("потери связи" со СМ) не произошло бы, если бы мы исходили из симметрий лагранжиана, а не из наборов мультиплетов. Кстати, у Шварца в его "Кванотовая теория поля и топология" глобальные симметрии прописаны именно через перемешивание спиноров в лагранжиане взамодействия.

[Munin]

lek в сообщении #619350 писал(а):

Но здесь я имел ввиду следующее. Рассмотрим лагранжиан свободного электронного поля $\mathcal{L}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi$.
Легко видеть, что он обладает глобальной $U(1)$-симметрией. Заменим $\partial_{\mu}$ на калибровочно-инвариантную производную $D_{\mu}$, получим локально $U(1)$-инвариантный лагранжиан. Очевидно, что подобной процедуре можно подвергнуть и лагранжиан с глобальной $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$-симметрией.

Понял, о чём вы, и понял, в чём у вас заминка. Дело в том, что группа симметрии заложена не в исходном $\bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi,$ а как раз в $D_\mu.$ Какую вы её выберете - такая у вас калибровочная симметрия и будет.

lek в сообщении #619350 писал(а):

Стандартная запись $SU(3)_{C}\times SU(2)_{L}\times U(1)_{R}$ предполагает, что $SU(3)_{C}$ действует на триплет кварков, $SU(2)_{L}\times U(1)_{R}$ на дублет левых фермионов, а $U(1)_{R}$ на синглет правых фермионов.

Нет. Она означает, что на любые фермионы действует эта группа целиком, а вот какое представление они образуют - случается по-разному. Поскольку произведение прямое, то представление всей этой группы в целом является произведением представлений отдельных сомножителей. А сама группа относится не к фермионам даже. Она относится к калибровочным полям. Именно в этом смысле она называется симметрией Стандартной Модели - это её калибровочная симметрия.

Познакомиться с разными представлениями частиц при одной и той же группе симметрии вы можете на примере физики адронов. Там, если брать симметрию взаимодействий $SU(2)_I,$ то адроны получаются синглетами, дублетами, триплетами, квадруплетами - уже большое разнообразие. Если рассматривать приближённую симметрию $SU(3)_F$ (с $s$-кварком), то эти представления объединяются в синглеты, октеты и декуплеты. (Больше нельзя, потому что в адроне три кварка, или один кварк и один антикварк.)

lek в сообщении #619350 писал(а):

Однако, надо иметь ввиду, что при последующем переходе к локальной теории с каждым генератором группы необходимо будет связывать калибровочное поле.

Нет. Калибровочные поля возникают там, где возникают. Для калибровочных симметрий да, каждый генератор образует своё поле, так что получается присоединённое представление калибровочных бозонов. Но не все симметрии обязаны "локализоваться", как раз наоборот, многие этого не делают. В результате получаются заряды, сохраняющиеся, но не взаимодействующие. Например, барионный и лептонный. (Из-за перемешивания типа Кабиббо-Кобаяши-Маскавы по отдельности поколения не сохраняются, и этих зарядов не получается четыре или шесть.)

lek в сообщении #619350 писал(а):

Если же ограничиться группой $SU(3)_{C}\times SU(2)_{L}\times U(1)_{R}$, но рассматривать ее (глобальное) представление уже в этом "большом" пространстве, то "лишних" калибровочных полей не возникнет.

Вашим методом, повторяю, можно получить только один комплект фермионов: фундаментальное представление $SU(3)_C$ на фундаментальное представление $SU(2)_T$ на фундаментальное представление $U(1)_Q.$ И таким набором будут только левые компоненты любого одного поколения кварков. То есть, метод хромает. Реально набор фермионных полей другой.

-- 16.09.2012 00:16:49 --

bayak в сообщении #619360 писал(а):

Согласитесь, что такой путаницы ("потери связи" со СМ) не произошло бы, если бы мы исходили из симметрий лагранжиана, а не из наборов мультиплетов.

Да нету там никакой путаницы. А мультиплет - это понятие вторичное от симметрии, вот тут уже точно.

[lek]

bayak в сообщении #619360 писал(а):

Согласитесь...

Не соглашусь... Говорить о симметриях лагранжиана (или "исходить из них") можно лишь тогда, когда он построен. А если нет? Часто именно фиксация группы симметрии и ее представления позволяют выбрать подходящий лагранжиан (один или несколько) из множества возможных.

[Munin]

lek в сообщении #619369 писал(а):

Часто именно фиксация группы симметрии

Угу. Калибровочной симметрии.

[lek]

Munin в сообщении #619366 писал(а):

Какую вы её выберете - такая у вас калибровочная симметрия и будет...

Munin в сообщении #619366 писал(а):

Нет. Она означает, что на любые фермионы действует эта группа целиком, а вот какое представление они образуют - случается по-разному...

Munin в сообщении #619366 писал(а):

Нет. Калибровочные поля возникают там, где возникают...

Munin в сообщении #619366 писал(а):

Вашим методом, повторяю, можно получить только один комплект фермионов...

Munin, у вас весьма своеобразное представление о физике калибровочных полей. Не стандартное, я бы так выразился. Почитайте на досуге книгу "Калибровочные теории в физике элементарных частиц" Ченга и Ли (гл. 8 и 11, как минимум). Скачать можно здесь. Потом, если будет желание, дискуссию можно будет продолжить...

[Munin]

lek
Я всё стеснялся спросить, по чему вы сами всё это изучали. По Ченгу и Ли? Спасибо, посмотрю, у меня эта книга лежит для справок, насквозь не читал. Я в основном читал по Рубакову, Окуню, Хелзену-Мартину, Пескину-Шрёдеру, Вайнбергу.

Давайте пропустим этот этап, и перейдём к серьёзной формулировке тезисов, со ссылками.

Начну с простого. Лагранжиан $\bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi$ инвариантен относительно $\psi\to e^{i\alpha}\psi,$ то есть имеет глобальную симметрию $U(1).$ Лагранжиан $\bar{\psi}_1(i\gamma^\mu\partial_\mu-m_1)\psi_1+\bar{\psi}_2(i\gamma^\mu\partial_\mu-m_2)\psi_2$ инвариантен относительно $(\psi_1,\psi_2)\to(e^{i\alpha_1}\psi_1,e^{\alpha_2}\psi_2),$ то есть имеет глобальную симметрию $U(1)\times U(1).$ Лагранжиан $\bar{\psi}_1(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi_1+\bar{\psi}_2(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi_2$ инвариантен относительно $\psi\to e^{\frac{i}{2}(\alpha+\beta_a\tau_a)}\psi,$ где $\tau_a$ - матрицы Паули, $a=1,2,3,$ то есть имеет глобальную симметрию $U(2).$ При этом $U(1)\times U(1)\subset U(2).$ При равенстве масс, глобальная симметрия повышается.

Согласны или нет?

Дальше введём векторное калибровочное поле $A^a_\mu,$ $a=1,2,3,$ сначала без фермионных полей, с лагранжианом $\tfrac{1}{2g^2}\operatorname{Tr}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=\tfrac{1}{2g^2}F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu},$ где $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu+[A_\mu,A_\nu]=\partial_\mu A^a_\nu-\partial_\nu A^a_\mu+gf^a_{bc}A^b_\mu A^c_\nu.$ Этот лагранжиан инвариантен относительно $A_\mu\to\omega A_\mu\omega^{-1}+\omega\partial_\mu\omega^{-1},$ где $\omega=e^{\frac{i}{2}\beta_a\tau_a}\in SU(2),$ то есть имеет калибровочную симметрию $SU(2).$ Теперь возьмём одно фермионное поле: $\bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi+\tfrac{1}{2g^2}\operatorname{Tr}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},$ и получим инвариантность относительно $\psi\to\psi,$ $A_\mu\to\omega A_\mu\omega^{-1}+\omega\partial_\mu\omega^{-1},$ то есть теория точно так же калибровочно инвариантна с группой $SU(2).$ Также можно взять два фермионных поля: $\bar{\psi}_1(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi_1+\bar{\psi}_2(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi_2+\tfrac{1}{2g^2}\operatorname{Tr}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ - теория будет калибровочно инвариантна. И наконец, можно взять такой лагранжиан, тоже с двумя фермионными полями,

$$\bar{\psi}_1(i\gamma^\mu[\partial_\mu+ig\tau^a_{11}A^a_\mu]-m)\psi_1+\bar{\psi}_2(i\gamma^\mu[\partial_\mu+ig\tau^a_{22}A^a_\mu]-m)\psi_2-{}$$ $${}-g\bar{\psi}_1\gamma^\mu\tau^a_{12}A^a_\mu\psi_2-g\bar{\psi}_2\gamma^\mu\tau^a_{21}A^a_\mu\psi_1+\tfrac{1}{2g^2}\operatorname{Tr}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}={}$$ $${}=\bar{\psi}(i\gamma^\mu[\partial_\mu+ig\tau^aA^a_\mu]-m)\psi+\tfrac{1}{2g^2}\operatorname{Tr}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},$$

где $\tau_a$ - матрицы Паули. Теперь этот лагранжиан инвариантен уже относительно более сложных преобразований: $\psi\to\omega\psi,$ $A_\mu\to\omega A_\mu\omega^{-1}+\omega\partial_\mu\omega^{-1},$ но группа этих преобразований - по-прежнему всё та же, калибровочная (локальная) $SU(2).$

Согласны или нет?

Итак, имея один и тот же состав фермионных и калибровочного полей, мы имеем разные теории в зависимости от того, к каким представлениям этого калибровочного поля относим фермионы. Да или нет? Зафиксируем сначала этот простой результат.

[fizeg]

lek
Munin
Простите, а какая разница как вводятся по учебнику калибровочные поля? Вы я надеюсь не скажете, что всякую истинную согласно интерпретации глобальную симметрию калибровать надо?

[bayak]

fizeg
А могу я Вам задать вопрос не по учебнику? Вот глобальные симметрии задаются прямым произведением специальных унитарных групп, а известно, что унитарная группа преобразований комплексного линейного пространства сохраняет эрмитово скалярное произведение. С другой стороны, группа ортогональных преобразований действительного линейного пространства сохраняет евкдидово скалярное произведение. Множество единичных векторов евклидова $n$-мерного пространства описывает $(n-1)$-мерную сферу. А какое многообразие образует множество единичных векторов овеществлённого эрмитова пространства? Сюда же примыкает следующий вопрос-гипотеза. Верно ли, что всякая унитарная матрица может быть разложена в произведение трёх матриц, где крайние матрицы представляют собой действительные ортогональные матрицы, а средняя это диагональная матрица, все элементы которой комплексные числа с единичным модулем? Если эта гипотеза верна, то множество единичных векторов эрмитова пространства это тор, натянутый на сферу. fizegам (Вам) это интересно?

[Munin]

fizeg
Я-то не скажу. Более того, я скажу, что что бы ни калибровать, можно брать разные представления для полей, взаимодействующих с калибровочным (от синглета - нет взаимодействия - до $n$-плета - фундаментальное представление - до высших мультиплетов, какие ни придут в голову).

Но вот lek неожиданно не согласился. Я хочу прийти к общему знаменателю.

-- 17.09.2012 21:35:09 --

bayak в сообщении #620202 писал(а):

Вот глобальные симметрии задаются прямым произведением специальных унитарных групп

На самом деле, не обязательно именно их. Единственное правило - брать компактную группу Ли. Компактность нужна для перенормируемости. А какую именно группу брать - для реальных частиц дело феноменологии, а для модельных фантазий дело вкуса. Например, известна попытка построить GUT на группе $E_8$ - ни разу не $SU(n).$

bayak в сообщении #620202 писал(а):

А какое многообразие образует множество единичных векторов овеществлённого эрмитова пространства? Сюда же примыкает следующий вопрос-гипотеза. Верно ли, что всякая унитарная матрица может быть разложена в произведение трёх матриц, где крайние матрицы представляют собой действительные ортогональные матрицы, а средняя это диагональная матрица, все элементы которой комплексные числа с единичным модулем? Если эта гипотеза верна, то множество единичных векторов эрмитова пространства это тор, натянутый на сферу. fizegам (Вам) это интересно?

Это всё интересно, но вроде бы, банально. Интересней (лично мне) как геометрия самой группы $SU(n)$ устроена, но это тоже не открытый вопрос - мне тут как-то отвечали на него на форуме.

[lek]

Munin в сообщении #619920 писал(а):

lek
Я всё стеснялся спросить, по чему вы сами всё это изучали. По Ченгу и Ли?

Не только. По одной книге изучить что-то сложно. Поэтому в числе настольных (кроме Ч-Л) книги Окуня, Пескина-Шредера, Вайнберга, Ициксона-Зибера, Славнова-Фаддеева, Гитмана-Тютина, Волошина-Тер-Мартиросяна, Средники (Mark Srednicki), Шварца и Раджарамана. Каждая хороша по своему. В частности, у Ченга-Ли очень отлично изложены теория Вайнберга-Салама (гл. 11-12) и $SU(5)$-модель (гл. 14).

Munin в сообщении #619920 писал(а):

Начну с простого... Теперь возьмём одно фермионное поле ... и получим инвариантность относительно $\psi\to\psi,$ $A_\mu\to\omega A_\mu\omega^{-1}+\omega\partial_\mu\omega^{-1}$

Возражений нет.

Munin в сообщении #619920 писал(а):

то есть теория точно так же калибровочно инвариантна с группой $SU(2).$

А вот здесь стоит остановиться подробнее. Формально вы правы, поскольку поле $\psi$ действительно принимает значения в пространстве представления группы $SU(2)$. Однако это представление - тривиальное и это принципиальный момент. Я всегда считал (и сейчас считаю), что допускать в рассмотрение тривиальное представление калибровочных групп неконструктивно (поскольку таким представлением обладает любая группа Ли), но... вы правы, полностью исключать из рассмотрение их нельзя. А если так, то действительно

Munin в сообщении #619366 писал(а):

группа симметрии заложена не в исходном $\bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi,$ а как раз в $D_\mu.$ Какую вы её выберете - такая у вас калибровочная симметрия и будет.

Далее каких-либо замечаний или возражений нет...

[fizeg]

bayak
У меня в данный момент голова не очень хорошо варит, но по-моему так можно представить далеко не всякую унитарную матрицу. Фактически вы говорите, что для любой унитарной матрицы можно выбрать собственные вектора так, что все их координаты будут вещественными. По-моему это неправда

[lek]

fizeg в сообщении #620148 писал(а):

Простите, а какая разница как вводятся по учебнику калибровочные поля? Вы я надеюсь не скажете, что всякую истинную согласно интерпретации глобальную симметрию калибровать надо?

Разница не принципиальная, а методологическая... Глобальную (непрерывную) симметрию локализовать можно, но не всегда это надо делать.

Munin в сообщении #620210 писал(а):

Я-то не скажу. Более того, я скажу, что что бы ни калибровать, можно брать разные представления для полей, взаимодействующих с калибровочным (от синглета - нет взаимодействия - до -плета - фундаментальное представление - до высших мультиплетов, какие ни придут в голову).

Но вот lek неожиданно не согласился. Я хочу прийти к общему знаменателю.

Присоединяюсь с такой формулировкой: можно брать любое представление, которое допускает данная калибровочная группа.

[bayak]

fizeg
Про собственные вектора ничего не скажу, но размерность сцепленного произведения двух вышеуказанных ортогональных групп с одной диагональной группой совпадает с размерностью унитарной группы.

[Munin]

lek в сообщении #620268 писал(а):

Присоединяюсь с такой формулировкой: можно брать любое представление, которое допускает данная калибровочная группа.

Ну разумеется, представление именно этой калибровочной группы имеется в виду.

fizeg в сообщении #620245 писал(а):

Фактически вы говорите, что для любой унитарной матрицы можно выбрать собственные вектора так, что все их координаты будут вещественными.

Мне так не показалось. Я взял матрицу поворота 2-плоскости на действительный угол, её с. в. очевидно комплексные, а под конструкцию bayak подходит.

-- 17.09.2012 23:56:01 --

lek в сообщении #620225 писал(а):

Не только. По одной книге изучить что-то сложно. Поэтому в числе настольных (кроме Ч-Л) книги Окуня, Пескина-Шредера, Вайнберга, Ициксона-Зибера, Славнова-Фаддеева, Гитмана-Тютина, Волошина-Тер-Мартиросяна, Средники (Mark Srednicki), Шварца и Раджарамана. Каждая хороша по своему.

Почти совпадает с моим списком, Рубакова и Вайнберга я назвал. Зюбер - опечатка. Средницки не читал. Емельянов "Стандартная модель и её расширения" посмотрите, интересно. Коноплёва-Попов, Прохоров-Шабанов, Поляков... нет, это уже не о том. Остальное более специальное.

lek в сообщении #620225 писал(а):

Однако это представление - тривиальное и это принципиальный момент.

Я всего лишь выбрал его для простоты, чтобы меньше возиться с формулами. Я мог взять вместо пары тривиальное - фундаментальное какую-нибудь другую пару представлений, без тривиального. От этого будет просто меняться правило преобразования соответствующего поля (в моём примере фермионного). То, что в СМ все фермионы преобразуются по фундаментальному представлению - всего лишь одно из совпадений, и строго говоря, это неверно (я уже говорил, что синглет $\SU(3)_С$ на дублет $SU(2)_T\times U(1)_Q$ не даёт фундаментального представления $\SU(3)_С\times SU(2)_T\times U(1)_Q,$ имеющего размерность 6).

-- 18.09.2012 00:01:52 --

P. S. У меня есть тёмный момент. Всё, что я изложил, относится к так называемому минимальному взаимодействию, которое выглядит таким образом: $\mathcal{L}_{\mathrm{basic}}+\mathcal{L}_{\mathrm{gauge}},$ и всё взаимодействие основных полей с калибровочным осуществляется через $D_\mu$ (действующей соответственно выбранному представлению калибровочной группы). А бывают ли неминимальные взаимодействия, но при этом по-прежнему калибровочно-инвариантные?