В Вашей цитате стоит многоточие (что почти освобождает меня от необходимости цитирования). Перечитайте те буквы, которые Вы замноготочили... Там объяснено.
....
Ваша правда. Извините. Сработала шаблонность моего мышления: воспринял то уравнение чисто как уравнение касательной по определению и соответственно точку - как точку касания в уравнении касательной. А это было просто уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом. И только потом оно превращается в уравнение конкретной касательной для нашего случая.
Я всё ждал, когда ТС что-то напишет, но поскольку пока нет, то я сам выложу начало размышлений, глядишь и автор присоединится.
![Изображение](http://s48.radikal.ru/i119/1209/d3/756feebdc76f.gif)
Пойдут такие две окружности?
Итак, окружности задаются уравнениями:
![$(x+1)^2+y^2=1$ $(x+1)^2+y^2=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/6/cc65ccd6e26ec0f29df0c7be34919a0882.png)
- левая (зелёная)
![$(x-1)^2+y^2=1$ $(x-1)^2+y^2=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/2/ce2b1eee4cb6966e08e25439d1a5587d82.png)
- правая (коричневая)
Возьмём точку на левой окружности (-2;0). Подставляем её в уравнение прямой и получаем:
![$y=k(x+2)$ $y=k(x+2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/5/ca5befea8f9695527094543d058d9ea382.png)
Эта прямая должна касаться второй окружности (правой). Решаем систему, состоящую из уравнения прямой и правой окружности:
![$$
\begin{cases}
y=k(x+2),&\\
(x-1)^2+y^2=1
\end{cases}
$$ $$
\begin{cases}
y=k(x+2),&\\
(x-1)^2+y^2=1
\end{cases}
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/3/4a35cbed4e6618f1d1bfc36b1def00ff82.png)
Подставляем y из первого уравнения во второе и получаем после группировки слагаемых и вынесения неизвестных за скобки:
![$$x^2(1+k^2)+x(4k^2-2)+4k^2=0$$ $$x^2(1+k^2)+x(4k^2-2)+4k^2=0$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/e/8ae35d6720962aed6b1df7919249fb8082.png)
Находим дискриминант и приравниваем его к нулю:
![$$-32k^2+4=0$$ $$-32k^2+4=0$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/4/944f8e80ace4a4f5cef0e8b946e792cd82.png)
Получаем
![$k=\pm \sqrt {\frac 18}$ $k=\pm \sqrt {\frac 18}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/5/7a5f6ae9ccb6af023ca481f29c426e7082.png)
Берём положительное значение, подставляем в уравнение прямой и получаем:
![$$y=\sqrt {\frac 18}(x+2)$$ $$y=\sqrt {\frac 18}(x+2)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/e/02ef28b615c64c97a0315714d4878ee482.png)
Строим её на рисунке. Пока всё так?
Если всё так, дальше нужно так провести касательную к левой окружности, чтобы она оставалась в верхней полуплоскости. Но затем, третью касательную – получится ли провести, оставаясь в верхней полуплоcкости?
-- Чт сен 06, 2012 01:32:07 --Сейчас вот подумал, что третья касательная скорей всего коснётся правой окружности - ближе к самой верхней её точке. От неё четвёртая касательная - будет ещё ближе к самой верхней точке левой окружности. И так далее. То есть в пределе получаем касательную, которая проходит через точки (-1;1) и (1;1). Это если мы всегда будем брать касательные только в верхней полуплоскости. Всё правильно рассудил?