Внешняя общая касательная двух касающихся окружностей

[Nikolai Moskvitin]

Странно, не правда ли?

[Shtorm]

Что странного?

[Nikolai Moskvitin]

Shtorm в сообщении #627333 писал(а):

Что странного?

то, что гипотеза об окружностях неожиданно обобщилась в гипотезу о кривой. Как это доказывать ?... У меня была мысль доказать для окружностей, а затем каким-то образом разместить их в системе координат, чтобы на основе доказанного с применением каких-нибудь методов (топологических, наверное) доказать это и для кривой.

[Shtorm]

Nikolai Moskvitin, но тогда надо чётко оговорить, что не абы для каких-то функций верно будет утверждение, а для каких-то определённых? Для каких менно функций будет верно?

[Nikolai Moskvitin]

Shtorm в сообщении #627346 писал(а):

Для каких менно функций будет верно?

Трудно ответить! Во-первых, само собой напрашивается, непрерывных. Во-вторых, гладких (не имеющих изломов). В третьих, имеющих более двух точек перегиба. А вот есть ли ещё ограничения, пока не знаю.

-- 05.10.2012, 21:13 --

хотя...если учитывать, что фрагмент кривой, на который не попадают точки касания в указанном построении, можно просто вырезать, наверное, функция не обязательно будет непрерывной... Что-то здесь всё-таки скрывается!

[Shtorm]

Nikolai Moskvitin в сообщении #627354 писал(а):

Во-вторых, гладких (не имеющих изломов).

А вот посмотрите и излом есть и точек перегиба вообще нет.




Или я что-то не так понял?

Nikolai Moskvitin в сообщении #627354 писал(а):

хотя...если учитывать, что фрагмент кривой, на который не попадают точки касания в указанном построении, можно просто вырезать, наверное, функция не обязательно будет непрерывной... Что-то здесь всё-таки скрывается!

Конечно! Ведь Вы начали с двух окружностей и потом сами же сказали, что окружности могут друг друга не касаться! То есть про условие непрерывности можно забыть.

[Nikolai Moskvitin]

Shtorm в сообщении #627365 писал(а):

точек перегиба вообще нет.

Тогда остаются следующие условия: нужно, чтобы было хотя бы две точки максимума(минимума) плюс функции должны быть гладкими хотя бы на двух интервалах, сколь угодно малых, но не нулевых. Как-то так.

[Shtorm]

Nikolai Moskvitin, рассмотрим график функции $y=x^3$
И будем, в рамках Вашей теории, искать внешнюю общую касательную между участком выпуклости вверх и участком выпуклости вниз. Получаем:




И как видите, у данной функции нет ни максимумов, ни минимумов.

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!

Сегодня окончил доказательство (на это понадобилось часа полтора).

Разберём доказательство поэтапно.

Для начала- рекуррентная формула:

$y=R(\frac{xR+(r+\sqrt{r^2-x^2}+a+R)\sqrt{x ^2+(r+\sqrt{(r^2- x^2}+a+R)^2-R^2}}{x^2+(r+\sqrt{r^2-x^2}+a+R)^2}))$ (1)

(о её выводе можете посмотреть выше, именно алгоритм, выражение, которое дано в этой теме перед этим сообщением, получено неправильно, правильно выражение, приведённое здесь).
Подставим в выражение (1) значение x, являющееся предельным: $x_n=r(\frac{\sqrt{a^2+2aR+2ar+4Rr}}{a+R+r})$(2)

Прежде всего, упростим выражение ${x_n}^2+(r+\sqrt{r^2-{x_n}^2}+a+R)^2-R^2$ (3). Оно равно $a^2+2ar+2aR+4Rr$.(4)
Аналогично упростим выражение $r+\sqrt{r^2-{x_n}^2}+a+R$ (5) Оно равно $\frac{a^2+R^2+2aR+2ar+3Rr}{a+R+r}$(6)

Запишем также выражение $x_nR$: $x_nR=\frac{rR(\sqrt{a^2+2aR+2ar+4Rr})}{a+R+r} $(7)
Воспользуемя тем, что $3Rr=4Rr+Rr-Rr$.(8) Тогда выражение (1) примет вид: $R\frac{(a^2+R^2+2aR+2ar+4Rr)\sqrt{a^2+2aR+2ar+4Rr}}{(a+R+r)(a^2+2aR+2ar+4Rr+R^2)} $(9)
После сокращения получаем: $y=R\frac{\sqrt{a^2+2aR+2ar+4Rr}}{a+R+r}$(10)
(10) является выражением для предела $y$. В силу симметричности выражений для $x$ и $y$, достаточно в (10) заменить $R$ на $r$ и получится выражение для предела $x$. Доказано.

заодно можно заметить, что если выражения для двух зависимых величин симметричны, можно по пределу для одной величины судить о пределе другой велтичины (если только он существует).

С уважением, Николай

[Nikolai Moskvitin]

Shtorm в сообщении #627918 писал(а):

как видите, у данной функции нет ни максимумов, ни минимумов.

видимо, остаётся одно-единственное условие: фунция должна быть гладкой хотя бы на двух интервалах, сколь угодно малых, но не нулевых.

[Алексей К.]

Nikolai Moskvitin в сообщении #640214 писал(а):

Воспользуемя тем, что $3Rr=4Rr+Rr-Rr$.(8)

А нельзя ли этот же трюк с деньгами проделать? Ну типа было у человека 4 Rr., я Rrубль добавил, Rrубль отнял, и убедил его, что 3 Rr. у него должно остаться?

[Nikolai Moskvitin]

Алексей К. в сообщении #640293 писал(а):

А нельзя ли этот же трюк с деньгами проделать? Ну типа было у человека 4 Rr., я Rrубль добавил, Rrубль отнял, и убедил его, что 3 Rr. у него должно остаться?

Алексей. К., я запутался! Но эту ошибку легко устранить, написав $3Rr+Rr=4Rr$. :)

[Nikolai Moskvitin]

Nikolai Moskvitin в сообщении #640214 писал(а):

выражения для двух зависимых величин симметричны

Доказательство всё же не окончено, поскольку выражения не симметричны. Смотрите ещё раз внимательно рисунок.



-- 05.11.2012, 21:32 --

Думаю, что оконченным доказательство будет после применения соотношения:
$\frac{y_n}{x_n}=\frac{R}{r}$, а значит, по пределу одной величины можно судить о пределу для другой. И не надо мучиться,проделывая все те же шаги...

[Nikolai Moskvitin]

Сегодня утром доказал аналогичное утверждение про внутреннюю общую касательную двух окружностей.
Пусть даны две окружности, одна вне другой, с центрами $O_1$ и $O_2$ сооветственно. На прямой $O_1O_2$ построены их диаметры$AB$и $CD$. На первой из них выбрана произвольная точка $E$, из неё проведена касательная ко второй окружности $EF$, но $E$ и $F$ теперь лежат по разную сторону от прямой $O_1O_2$. Из $F$ проведена касательная к первой окружности $FG$, причём $G$ и $F$ также лежат по разную сторону от линии центров. Доказать, что предельной прямой будет внутренняя общая касательная.
Я это доказал. Подумал о том, что можно обобщить на эллипсы с помощью проективной геометрии, а вот что делать дальше...?

-- 09.11.2012, 11:45 --

[Nikolai Moskvitin]

См. тему: topic64297.html
Если ещё добавить фигуры, эквивалентные эллипсу по проективным свойствам, параболу и гиперболу, получаем доказанное утверждение для этих кривых. Таким образом, кривая в посте post627918.html#p627918 также обладает этим свойством. Дальше наверное можно использовать именно параболу, которую, насколько я знаю, используют в наилучших приближениях к кривой.