Внешняя общая касательная двух касающихся окружностей

[Nikolai Moskvitin]

Добрый вечер!

Три недели назад у меня возникла следующая гипотеза про две окружности, касающиеся внешним образом.

Если взять на одной из них произвольную точку A, отличную от точки касания, затем из A провести касательную ко второй окружности с точкой касания B, из B снова провести касательную к первой окружности с точкой касания C, затем повторять эту операцию до бесконечности, то предельным случаем будет общая внешняя касательная.
Когда я начал решать, я ввёл систему координат. Затем вспомнил про геометрический смысл производной и наметил такую схему решения: 1)Расположить наиболее удобным образом окружности в системе координат;
2) Найти производную функции, соответствующей дуге полуокружности (чтобы это был график функции, диаметр должен быть на оси x или параллелен ей);
3) Записать уравнение касательной из точки A через угловой коэффициент и координаты точки A.
4) Приравнять уравнения этой прямой и окружности.
5) То же самое проделать уже относительно точки B.
6) Найти предел последовательности, полученной в результате.
Но вот осуществить всё не смог, только пункты 1)-4).

С уважением, Николай

[Алексей К.]

Nikolai Moskvitin в сообщении #613991 писал(а):

4) Приравнять уравнения

Фильтруйте речь, однако

-- 02 сен 2012, 22:10:50 --

В смысле, выражайтесь понятнее.

-- 02 сен 2012, 22:20:39 --

Nikolai Moskvitin в сообщении #613991 писал(а):

Если взять на одной из них произвольную точку A, отличную от точки касания, затем из A провести касательную ко второй окружности

Их (касательных) две. Любую можно брать?

Nikolai Moskvitin в сообщении #613991 писал(а):

из B снова провести касательную к первой окружности с точкой касания C,

Их две. Можно брать любую?

[Shtorm]

Nikolai Moskvitin в сообщении #613991 писал(а):

(чтобы это был график функции, диаметр должен быть на оси x или параллелен ей);
....

Крайне неудачное высказывание. Какова бы ни была окружность всегда можно провести в ней диаметр параллельный оси OX. И выражение "чтобы это был график функции" тоже ни к чему. Окружность можно разбить не только на верхнюю и нижнюю полуокружности, но и на левую и правую - в этом случае выражать x как функцию переменной y и искать производную x по переменной y.

-- Вс сен 02, 2012 21:41:14 --

Nikolai Moskvitin в сообщении #613991 писал(а):

две окружности, касающиеся внешним образом.

...

А рисунок сможете здесь выложить с тремя или четырьмя проведёнными таким образом касательными?

-- Вс сен 02, 2012 21:42:50 --

Nikolai Moskvitin в сообщении #613991 писал(а):

...
6) Найти предел последовательности, полученной в результате.
...

А что будет являться членом последовательности?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #614005 писал(а):

А что будет являться членом последовательности?

Каждая очередная касательная, уж это-то очевидно. И понятие предела здесь вполне естественно. И гипотеза правдоподобно выглядит, если проигнорировать пункты 1)--5). А п. 2) даже не пытаться как-то понять, разумно переформулировать.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #614038 писал(а):

Каждая очередная касательная, уж это-то очевидно. ..

Ну тогда пусть ТС попробует вставить в уравнение касательной переменную предела n.

-- Пн сен 03, 2012 00:13:45 --

Ах, да, чуть не упустил из вида: Производную можно вообще искать от функции заданной неявно. Поэтому вообще можно не заморачиваться с полуокружностями.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #614039 писал(а):

Ну тогда пусть ТС попробует вставить ... переменную

Необязательно её вставлять --- это может быть и рекуррентное соотношение, определение эн-плюс-первой касательной через предыдущую. Или, как мне кажется (без особого обдумывания) эн-плюс-второй через энную. ТС явно сказал, что у него это не получилось, чего же Вы от него требуете? Мне же дело кажется весьма муторным (видится только тупой подход с явными вычислениями), и не хочется возиться (задача не вызывает интереса).
Но ТС вполне может рассчитывать и на уточнение его корявых формулировок, и на предложение какого-то нетупого подхода к решению.

А уж взять для начала две окружности одинакового радиуса, с центрами в $(\pm R,0)$, попытаться для них всё явно-тупо выписать (рассматривая лишь точки касания-$(x,y)$-пересечения с $y>0$), неужели никак?

[Nikolai Moskvitin]

Shtorm в сообщении #614005 писал(а):

А рисунок сможете здесь выложить с тремя или четырьмя проведёнными таким образом касательными?

Смогу, когда научусь. :)

Алексей К. в сообщении #614038 писал(а):

А п. 2) даже не пытаться как-то понять, разумно переформулировать.

А что непонятного? $x^2+y^2=R^2$ (1)
- уравнение окружности; отсюда находим y.$ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$- уравнение касательной. Производную функции (1) можно найти и довольно просто.

Алексей К. в сообщении #613997 писал(а):

Их две. Можно брать любую?

В исходной гипотезе- нет, все точки касания должны быть в одной полуплоскости от линии центров.

[Алексей К.]

Nikolai Moskvitin в сообщении #614066 писал(а):

А что непонятного?

Ну, поздно ночью было непонятно. Когда Вы уже про себя задумали искать касательную, но нам об этом не сообщили, то не сразу понятно --- какая функция, "соответствующая дуге", имеется в виду ("функция, графиком которой является верхняя дуга" не вызвала бы непоняток) и зачем какую-то функцию дифференцировать. А то, что в скобочках про диаметр написано, добило.

А главное --- мне, например, и в голову бы не пришло (ни ночью, ни утром) считать какие-то производные для нахождения уравнения касательной к данной окружности, проходящей через заданную точку (именно такие ведь касательные у Вас фигурируют).

Nikolai Moskvitin в сообщении #613991 писал(а):

из A провести касательную ко второй окружности с точкой касания B,

Как Вы собираетесь искать угловой коэффициент через производную, не зная пока координат точки В?
Он, вместе с координатами точки касания, должен находиться из условия касания, т.е. "При каком $k$ общая точка единственна?" Какие тут производные?

[Nikolai Moskvitin]

Алексей К. в сообщении #614151 писал(а):

Как Вы собираетесь искать угловой коэффициент через производную, не зная пока координат точки В?

Можно и неизвестную задать.

[Алексей К.]

Из точки $(x_0,y_0)$ проводим касательную к окружности, скажем, $x^2+y^2=r^2$. Для этого подставляем $y=y_0+k(x-x_0)$ в уравнение окружности. Получаем квадратное уравнение относительно $x$. Чтобы решение было единственным, приравниваем к нулю дискриминант. Получаем квадратное уравнение относительно $k$. Находим две касательные. Если изначально центры двух окружностей были расположены на оси абсцисс по разные стороны от оси ординат, то можно ожидать, что нас интересуют только касательные $y=kx+b$ с $b=y_0-kx_0>0$. По этому признаку можно (наверное) выбрать один из корней $k_{1,2}$.

Не думаю, что начальное условие касания двух заданных окружностей существенно.

[Nikolai Moskvitin]

Спасибо, Алексей!

Алексей К. в сообщении #614163 писал(а):

Не думаю, что начальное условие касания двух заданных окружностей существенно.

У меня ещё была идея, почему я и начал мудрить с производной, а не справедливо ли это для любой кривой, имеющей более двух точек перегиба? Строже:

Пусть дана кривая, имеющая более двух точек перегиба. Если обозначить промежуток от абсциссы одной точки перегиба (A) до абсциссы следующей точки перегиба (B) как [a], а промежуток от абсциссы точки B до абсциссы следующей точки перегиба как [b], то требуется доказать или опровергнуть следующее построение: из любой точки на отрезке [a] проводится касательная к области кривой на отрезке [b]; из точки касания проводится касательная к области кривой на отрезке [a]; эта комбинация продолжается до бесконечности; тогда предельной прямой будет общая касательная областей.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #614044 писал(а):

Shtorm в сообщении #614039 писал(а):

Ну тогда пусть ТС попробует вставить ... переменную

Необязательно её вставлять --- это может быть и рекуррентное соотношение, определение эн-плюс-первой касательной через предыдущую. Или, как мне кажется (без особого обдумывания) эн-плюс-второй через энную. ...

Ага. Я это и имел ввиду, говоря вставить переменную n. А по-другому-то наверное и не получится.

Nikolai Moskvitin в сообщении #614066 писал(а):

А что непонятного? $x^2+y^2=R^2$ (1)
- уравнение окружности; отсюда находим y.$ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$- уравнение касательной. Производную функции (1) можно найти и довольно просто.

Если у Вас будет две несовпадающие окружности, то Вы не сможете обойтись уравнением окружности с центром в начале системы координат. Вам понадобится уравнение:

$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$$

где $(x_0, y_0)$ - координаты центра окружности

[Алексей К.]

Nikolai Moskvitin в сообщении #614326 писал(а):

тогда предельной прямой будет общая касательная областей.

Мне, наверное, завтрашнее короткое утро не поможет.
Надо будет дождаться пары выходных, чтобы понять, что такое "общая касательная областей" ("областей кривой", как я понимаю; кусков кривой, что ли?).

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #614151 писал(а):

А главное --- мне, например, и в голову бы не пришло (ни ночью, ни утром) считать какие-то производные для нахождения уравнения касательной к данной окружности, проходящей через заданную точку (именно такие ведь касательные у Вас фигурируют).
.....
Как Вы собираетесь искать угловой коэффициент через производную, не зная пока координат точки В?
Он, вместе с координатами точки касания, должен находиться из условия касания, т.е. "При каком $k$ общая точка единственна?" Какие тут производные?

Да. Если ТС будет идти тем путём которым он шёл, то получится, что в каждой последующей касательной через n нужно будет выражать и угловой коэффициент и координаты точек касания. Поэтому мне в голову приходит следующий способ:
Уравнение

$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$$

переписать в виде

$$x^2+ y^2+Ax+By+C=0$$

и для этого уравнения окружности использовать уравнение касательной

$$\left( \frac A2+x_1 \right )x+\left(\frac B2+y_1 \right)y+\left(\frac A2x_1+ \frac B2y_1+C \right)=0$$

где $(x_1, y_1)$ - точка касания

Это уравнение касательной содрал из Википедии

[Shtorm]

Nikolai Moskvitin в сообщении #614066 писал(а):

Shtorm в сообщении #614005 писал(а):

А рисунок сможете здесь выложить с тремя или четырьмя проведёнными таким образом касательными?

Смогу, когда научусь. :)

Это легче чем отыскать рекурентную формулу для Ваших касательных.

Вот прочитайте по ссылкам.

post609749.html#p609749

topic61868.html

-- Пн сен 03, 2012 22:30:51 --

Nikolai Moskvitin в сообщении #614066 писал(а):

В исходной гипотезе- нет, все точки касания должны быть в одной полуплоскости от линии центров.

С учётом такого уточнения очень бы хотелось взглянуть на рисунок.