Внешняя общая касательная двух касающихся окружностей

[Shtorm]

Shtorm в сообщении #614353 писал(а):

Если у Вас будет две несовпадающие окружности, то Вы не сможете обойтись уравнением окружности с центром в начале системы координат. Вам понадобится уравнение:

$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$$

где $(x_0, y_0)$ - координаты центра окружности

Уточню свой тезис: Если у Вас две окружности имеют разные центры, то Вам придётся пользоваться этим уравнением.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: адекватизация локализации темы.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #614163 писал(а):

Из точки $(x_0,y_0)$ проводим касательную к окружности, скажем, $x^2+y^2=r^2$. Для этого подставляем $y=y_0+k(x-x_0)$ в уравнение окружности. Получаем квадратное уравнение относительно $x$. ...

Сижу как раз сейчас, размышляю над этим всем делом и вот наткнулся на тот момент, что $(x_0,y_0)$ -точка, лежащая скажем на первой окружности. Мы из этой точки проводим касательную ко второй окружности, а в уравнении касательной $y=y_0+k(x-x_0)$ опять используется точка $(x_0,y_0)$. Если мы подставим сюда ту первую исходную точку - то будет неверно. Надо сменить обозначение. В уравнении касательной должна стоять точка касания со второй окружностью.

[Алексей К.]

В Вашей цитате стоит многоточие (что почти освобождает меня от необходимости цитирования). Перечитайте те буквы, которые Вы замноготочили... Там объяснено.

-- 05 сен 2012, 23:30:38 --

Shtorm в сообщении #615281 писал(а):

а в уравнении касательной $y=y_0+k(x-x_0)$ опять используется точка $(x_0,y_0)$

Потому что задача так поставлена:

Алексей К. в сообщении #614163 писал(а):

Из точки $(x_0,y_0)$ проводим касательную к окружности,

Естественно, что эта точка используется в уравнениях, в решении...

-- 05 сен 2012, 23:39:14 --

"Чтобы прямая была касательной, решение $(x)$ должно быть единственно."

Алексей К. в сообщении #614163 писал(а):

Чтобы решение было единственным, ...

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #615295 писал(а):

В Вашей цитате стоит многоточие (что почти освобождает меня от необходимости цитирования). Перечитайте те буквы, которые Вы замноготочили... Там объяснено.
....

Ваша правда. Извините. Сработала шаблонность моего мышления: воспринял то уравнение чисто как уравнение касательной по определению и соответственно точку - как точку касания в уравнении касательной. А это было просто уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом. И только потом оно превращается в уравнение конкретной касательной для нашего случая.
Я всё ждал, когда ТС что-то напишет, но поскольку пока нет, то я сам выложу начало размышлений, глядишь и автор присоединится.



Пойдут такие две окружности?
Итак, окружности задаются уравнениями:

$(x+1)^2+y^2=1$ - левая (зелёная)

$(x-1)^2+y^2=1$ - правая (коричневая)

Возьмём точку на левой окружности (-2;0). Подставляем её в уравнение прямой и получаем: $y=k(x+2)$ Эта прямая должна касаться второй окружности (правой). Решаем систему, состоящую из уравнения прямой и правой окружности:

$$ \begin{cases} y=k(x+2),&\\ (x-1)^2+y^2=1 \end{cases} $$

Подставляем y из первого уравнения во второе и получаем после группировки слагаемых и вынесения неизвестных за скобки:

$$x^2(1+k^2)+x(4k^2-2)+4k^2=0$$

Находим дискриминант и приравниваем его к нулю:

$$-32k^2+4=0$$

Получаем $k=\pm \sqrt {\frac 18}$
Берём положительное значение, подставляем в уравнение прямой и получаем:

$$y=\sqrt {\frac 18}(x+2)$$

Строим её на рисунке. Пока всё так?
Если всё так, дальше нужно так провести касательную к левой окружности, чтобы она оставалась в верхней полуплоскости. Но затем, третью касательную – получится ли провести, оставаясь в верхней полуплоcкости?

-- Чт сен 06, 2012 01:32:07 --

Сейчас вот подумал, что третья касательная скорей всего коснётся правой окружности - ближе к самой верхней её точке. От неё четвёртая касательная - будет ещё ближе к самой верхней точке левой окружности. И так далее. То есть в пределе получаем касательную, которая проходит через точки (-1;1) и (1;1). Это если мы всегда будем брать касательные только в верхней полуплоскости. Всё правильно рассудил?

[Nikolai Moskvitin]

Спасибо,Shtorm!

Shtorm в сообщении #615335 писал(а):

Возьмём точку на левой окружности (-2;0).

Это только частный случай. В гипотезе точка произвольная, только с соблюдением указанных ранее ограничений.

Shtorm в сообщении #615335 писал(а):

То есть в пределе получаем касательную, которая проходит через точки (-1;1) и (1;1)

Может, задать предел для k? (то есть задать k, стремящееся к нулю, и написать последовательность дискриминантов. :):):)). Кстати, объясните, на каком основании можно приравнивать дискриминант к нулю. Потому что это касательная?

ps Заодно скажите, как писать пределы.

[Shtorm]

Nikolai Moskvitin в сообщении #615794 писал(а):

.....
Это только частный случай. В гипотезе точка произвольная, только с соблюдением указанных ранее ограничений.

Попытаемся пока с конкретными точками поработать. А потом может легче будет обобщить на произвольную точку.

Nikolai Moskvitin в сообщении #615794 писал(а):

Может, задать предел для k? (то есть задать k, стремящееся к нулю, и написать последовательность дискриминантов. :):):)).

Это всё нужно тщательно продумать. Угловой коэффициент стремится к нулю - одна последовательность. И к значениею $R$ стремится ордината точек касания - вторая последовательность.

Nikolai Moskvitin в сообщении #615794 писал(а):

Кстати, объясните, на каком основании можно приравнивать дискриминант к нулю. Потому что это касательная?

Да. Мы же решаем систему из двух уравнений: уравнение окружности и уравнение прямой. Прямая может пересекать окружность в двух точках - тогда дискриминант положительный. Прямая может вообще не иметь общих точек с окружностью - тогда дискриминант отрицательный. И прямая может иметь одну общую точку с окружностью (наш случай) - тогда дискриминант равен нулю.

-- Пт сен 07, 2012 15:43:08 --

Nikolai Moskvitin в сообщении #615794 писал(а):

ps Заодно скажите, как писать пределы.

Например такой предел

$$\lim \limits_{x\to +\infty}f(x)$$

Нажмите цитату на моём сообщении и посмотрите

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #615908 писал(а):

Попытаемся пока с конкретными точками поработать. А потом может легче будет обобщить на произвольную точку.

Вы на первой итерации взяли "хорошую" (не "произвольную") точку на первой окружности. Получили точку на второй окружности. Точнее почти получили --- Вы подробно расписали получение $k$, а задачу первой итерации даже не завершили, ибо искомую точку касания не выписали. Вторая итерация будет состоять в получении точки на первой окружности. И эта точка уже будет "плохая", какими-то гадкими формулами описываться будет, хуже, чем "произвольная". И с этой гадкой точки Вы начнёте третью итерацию.

Так не лучше ли взять сразу, на первой итерации, произвольную точку?

В качестве "одной итерации" лучше взять пару перечисленный действий. Типа каждая $i$-ая итерация начинается с очередной точки на первой окружности.

[Nikolai Moskvitin]

Добрый день!

Предлагаю другую схему решения:
1) Взять на одной из окружностей произвольную точку $A$.
2)Пусть диаметр первой окружности-$ CD$, второй- $DE$. Задать расстояние $AF$ от $A$ до $AC$ как неизвестное ($x$); задать радиусы окружностей $R_1$ и $ R_2$ (первый радиус соответствует окружности с центром $O_1$).
3)Определить длину касательной AB, дважды применив теорему Пифагора (через $R_1$, $R_2$, $x$)
4) Определить $\sin{\angle{FO_2B}}$
5) Определить расстояние $BG$ до диаметра $DE$
6) Повторить 1)-5) для точки B.
7) Рассмотреть задачу, чему равно расстояние от точки касания общей внешней касательной до линии центров через $R_1 $и $R_2$.
8) Задать предел для $x$, при этом выражение, содержащее $x$, должно стремиться к длине отрезка общей внешней касательной.

С уважением, Николай

[Алексей К.]

Nikolai Moskvitin в сообщении #616634 писал(а):

задать радиусы окружностей $R_1$ и $ R_2$ (первый радиус соответствует окружности с центром $O_1$).

Вы пишете так, как будто у нас перед глазами лежит тот же чертёж, что и у Вас перед глазами. Конфигурация простая, вполне можно обойтись и без чертежа. Не вызвало бы таких возражений описание типа
"Пусть окружность радиуса $r_1$ с центром в точке $O_1$ внешним образом касается окружности радиуса $r_2$ с центром $O_2$. Обозначим точку касания $D$. Построим диаметры $CD$ и $DE$..."

И что значит "задать радиусы" (да ещё и во втором пункте)? Радиусы "заданы" самой постановкой задачи.

И зачем в схеме п. 4, если схема более к этому синусу не обращается? Если это, допустим, понадобится в п.5, то там много чего понадобится, и тогда 4) есть часть подзадачи 5) (в детали не вникал).

Цитата:

Задать расстояние $AF$ от $A$ до $AC$ как неизвестное ($x$);

Расстояние от $A$ до $AC$ (кем бы ни были эти $A$, $C$ и $AC$) известно и равно нулю.

Короче, уж больно коряво описано.

[Shtorm]

Nikolai Moskvitin, сейчас попытался изобразить на рисунке то, что Вы написали, но меня поставила в тупик вот эта Ваша фраза:

Nikolai Moskvitin в сообщении #616634 писал(а):

Задать расстояние $AF$ от $A$ до $AC$ как неизвестное

Тут вероятно описка. Что Вы имели ввиду? А вообще можно, например, нарисовать рисунок на бумаге, сфотографировать его и выложить сюда. Как выкладывать графический файл - я Вас научил (по крайней мере я надеюсь).

[Nikolai Moskvitin]

Shtorm в сообщении #616683 писал(а):

Что Вы имели ввиду?

От $A$ до $CD$.

Shtorm в сообщении #616683 писал(а):

Как выкладывать графический файл - я Вас научил (по крайней мере я надеюсь).

Нарисовать на том сайте, на который Вы дали ссылку?

[Shtorm]

Nikolai Moskvitin в сообщении #616687 писал(а):

Нарисовать на том сайте, на который Вы дали ссылку?

В предыдущем моём сообщении я имел ввиду, что можно нарисовать вручную на листе бумаги шариковыми ручками или карандашами, затем сфотографировать этот рисунок цифровым фотоаппаратом или сотовым телефоном, а уже полученный графический файл с рисунком - закачать на тот сайт и оттуда дать ссылку, как я писал в инструкциях. Но если Вы нарисуете программно на каком-то сайте и дадите ссылку туда или ещё каким-то образом - тоже будет весьма кстати. Лучше по крайней мере, чем вообще без рисунка.

[Алексей К.]

Нарисовать на своём компьютере. С помощью каких-то там прибамбасов. Ручки, бумаги и сканера, на худой конец.
Выложить на тот сайт (или на другой, их кучи; Dropbox, например, и без рекламы, и хранение под Вашим контролем).
Всё это полезно знать, безотносительно к форуму, ежели интернетом пользуетесь. Но в данной теме с данным рисунком ---

Алексей К. в сообщении #616676 писал(а):

Конфигурация простая, вполне можно обойтись и без чертежа.

[Nikolai Moskvitin]

Доброе утро!

Я столкнулся с весьма сомнительным равенством, то ли в силу неправильности метода, то ли в силу неправильной гипотезы.
Пусть расстояния от A и B до линии центров равны x и y. Тогда:

$y={R_2}(\frac{xR_1+(R_1+\frac{\sqrt{4{R_1}^2-x^2}}{2})\sqrt{x^2+(R_1+\frac{\sqrt{4{R_1}^2-x^2}}{2}+R_2)^2-{R_2}^2}}{x^2+(R_1+\frac{\sqrt{4{R_1}^2-x^2}}{2}+R_2)^2})$

Я подумал, что если задать $x$, стремящееся к $ \frac{2\sqrt{R_1R_2}R_1}{R_1+R_2}$, то y должен стремиться к $\frac{2\sqrt{R_1R_2}R_2}{R_1+R_2}$, но тут как раз и вышло очень странно: появились четвёртые степени, которые никак не сокращаются.

С уважением, Николай