n^n: периодичность последних цифр

[c57]

Но есть задача поинтереснее:Докажите,что последние цифры чисел n^n(n -натуральное) образуют переодическую последовательность

Отделил от этой темы
-- AD

[RIP]

c57 писал(а):

Докажите,что последние цифры чисел n^n(n -натуральное) образуют переодическую последовательность

Период (возможно, не наименьший) легко угадать.

[c57]

У меня как-то не получается

[RIP]

Вам надо найти такое T, что для любого натурального n верно $(n+T)^{n+T}\equiv n^n\pmod{10}$. Удобно рассмотреть это сравнение отдельно по модулю 2 и 5. С малой теоремой Ферма Вы знакомы?

[c57]

По-моему (a^p-1)-1 делится на р где р простое(можно сказать сравнимо с 1 по модулю р)

[RIP]

c57 писал(а):

По-моему (a^p-1)-1 делится на р где р простое(можно сказать сравнимо с 1 по модулю р)

Это только для a, которое не делится на p.

Только лучше было бы написать a^(p-1)-1. А еще лучше почитать http://elib.hackers/forum/viewtopic.php?t=183

Добавлено спустя 4 минуты 6 секунд:

Начнём с простого. Как добиться того, чтобы всегда было $(n+T)^{n+T}\equiv n^n\pmod2$?

[c57]

Т четное

[RIP]

Правильно. Теперь, какие мысли есть насчёт пятёрки?

[c57]

как-то не получается

[RIP]

Рассмотрите отдельно случаи, когда n делится на 5 и когда n не делится на 5. Первый попроще. Какому условию должно удовлетворять T?

[c57]

если n делится то и Т тоже если n не делится то Т тоже делится на 5

Добавлено спустя 17 секунд:

вроде так

[RIP]

c57 писал(а):

если n не делится то Т тоже делится на 5

Этого недостаточно.

[c57]

да как-то больше ничё не лезет в голову

[RIP]

Самое время вспомнить про малую теорему Ферма, предварительно упростив $(n+T)^{n+T}$ (ведь Т делится на 5).

[c57]

Но ведь вы сами сказали что Т не всегда делится на 5