n^n: периодичность последних цифр

[RIP]

Я имел в виду, что на Т надо наложить еще какое-то условие. Но на 5 Т должно делиться.

[c57]

ну не знаю

[RIP]

Поскольку T делится на 5, то $(n+T)^{n+T}\equiv n^{n+T}\pmod5$. Поэтому нам надо, чтобы всегда выполнялось $n^{n+T}\equiv n^n\pmod5$, причём можно считать, что n не делится на 5. Посмотрите хорошенько на малую теорему Ферма при p=5 и подумайте, а нельзя ли её как-нибудь использовать?

[c57]

T просто делится на 10 и всё(можно рассмотреть 10 n-1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 для них доказать и всё?)

[ИСН]

T делится не только на 10.

[neo66]

ИСН писал(а):

T делится не только на 10.

А на что оно еще делится?

[c57]

Ну как то не ясно на что ещё ведь надо соединить только для 2 и 5 вот и получается 2*5=10

[ИСН]

На какую цифру кончается семь в седьмой степени?
А - семнадцать в семнадцатой?
И что, где повторяемость через 10?

[c57]

и то и то заканчивается на 7

[ИСН]

Тогда ничем не могу помочь. На моей планете $7^7=823543$.

[neo66]

$T$ еще и на $20$ делится. Вот собака

[ИСН]

На 20 - это следствие. Я-то намекал, что оно делится на 4 (ибо $\varphi(10)=4$), но намеревался продать этот факт подороже. Ну да ладно.

[neo66]

Вероятно, $\forall k=1,\dots$последовательность $a_n = n^n(mod10^k) $ периодическая. Интересно было бы найти период.

[c57]

Ну раз Тделится на 20 то надо рассмотреть 20 чисел от 1 до 20

[neo66]

c57 писал(а):

Ну раз Тделится на 20 то надо рассмотреть 20 чисел от 1 до 20

1) Чем Вам это поможет?
2) А Вы уже разобрались, почему Т делится на 4?