Бесконечность простых чисел-близнецов

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #611286 писал(а):

Все правильно, но
почему вы берете в качестве верхнего предела $x$, а не $p_r$?
Для того, чтобы раскрыть неопределенность, необходимо найти асимптотику для
$\varphi_4(M)/M=1/3\prod_5^{p_r}(1-4/p_r)\sim f(x).$

Можно и $p_r$ подставить вместо x результат не изменится. Вообще принято асимптотику писать через x.Посмотрите в Бухштабе, хотя бы формулу Мертенса. Хотя я пишу иногда и $p_r$.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #611245 писал(а):

По Мертенсу:
(1- 1/2)(1- 1/3) \prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {1} {p})=\frac {1} {3}\prod_{5 \leq p \leq x}(1-\frac {1} {p}) \sim e^{-c}/lnx, где с-постоянная Эйлера.
Поэтому \varphi_4(M)/M=\prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {4} {p}) <\prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {1} {p}) \sim 3e^{-c}/lnx.
Переходя к пределу получаем:
$\lim \limits_{x \to\infty} {\prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {4} {p}) } \leq \lim \limits_{x \to\infty} {\prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {1} {p}) }= \lim \limits_{x \to\infty} {3e^{-c}/lnx}=0$

Теперь определим асимптотику \prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {4} {p}):
ln\prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {4} {p}) =\sum_{5 \leq p\leq x} {ln(1-\frac {4} {p}})= -4\sum_{5 \leq p\leq x}{(\frac {1} {p})-4\sum_{5 \leq p\leq x}{(1/2p^2+1/3p^3+...).
Используем формулу:
\sum_{p \leq x}{(\frac {1} {p})=\frac {1} {2}+\frac {1} {3}+\sum_{5 \leq p\leq x}}{(\frac {1} {p})=M+lnln(x)+O(1/lnx), где М-постоянная Мертенса.
Получаем:
ln\prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {4} {p}) =C1-4lnlnx+C2/lnx.
Потенциируем и получаем:
\prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {4} {p}) \sim C/ln^4 x, где С=e^{-4M+3,33...}.

-- 28.08.2012, 16:21 --

vicvolf в сообщении #610527 писал(а):

Количество групп (6,2,6) в ПСВ растет с ростом $p_r$ по формуле $N=4/3\varphi_4(M)$ до бесконечности. Асимптотически количество групп (6,2,6) на интервале $(p_{r+1}, p^2_{r+1})$ определяется по формуле $(p^2_{r+1}-p_{r+1})N/M$. Осталось доказать, что это количество возрастает с ростом $p_r$ неограниченно.

Используя полученную выше асимптотику \prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {4} {p}) \sim C/ln^4 x, где С=e^{-4M+3,33...}, по Лопиталю после 4-х кратного дифферецирования получаем:
$\lim \limits_{x \to \infty} {(p^2_{r+1}-p_{r+1})N/M}=\frac {4} {3}C\lim \limits_{x \to \infty}{\frac {x^2-x} {ln^4 x}=\infty$ ч.т.д.
Таким образом доказано, что количество групп (6,2,6), состоящих из простых чисел, на интервале ($p_{r+1}, p^2_{r+1})$ в ПСВ$(2\cdot3...p_r)$ c ростом $p_r$ неограниченно возрастает, а следовательно среди простых чисел этих групп, как и близнецов бесконечное число.

[Sonic86]

(формулы)

1. Логарифм пишется так: $\ln x$

\ln x

2. Индекс пишется так: $A_{index}$

A_{index}

vicvolf в сообщении #611769 писал(а):

С=e^{-4M+3,33...}.

Константа не та, поскольку не учтен хвост:

vicvolf в сообщении #611769 писал(а):

$4\sum_{5 \leq p\leq x}{(1/2p^2+1/3p^3+...)$

Вообще, с константами сложно - пока просто на точное значение их забивайте, если оно Вам не важно.

vicvolf в сообщении #611769 писал(а):

$ln\prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {4} {p}) =C1-4lnlnx+C2/lnx$
Потенциируем и получаем:
$\prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {4} {p}) \sim C/ln^4 x, где С=e^{-4M+3,33...}$

Опять же, строго говоря, если $a_n\sim b_n$, то отсюда не следует, что $e^{a_n}\sim e^{b_n}$. Но здесь $\lim\limits_{x\to\infty}\sum\limits_{p\leqslant x}\frac{1}{p} - \ln\ln x - M =0$, поэтому потенцирование асимптотику сохраняет.

vicvolf в сообщении #611769 писал(а):

$O(1/lnx)$

Там $O(\frac{\ln\ln x}{\ln x})$ или даже $O(\frac{\ln ^2\ln x}{\ln x})$.

Но в целом все правильно

[La_Pew]

Toucan:

Спам удален, пользователь забанен

[vorvalm]

По-моему La_Pew попал не в ту тему...
vicvolf
Блестяще!
Асимиптотика для $\varphi_4(M)/M$ найдена точно.
Я шел другим путем и получил тот же результат.
А вот насчет того, что среди простых чисел число этих групп,
как и близнецов, бесконечно, я бы воздержался.
Еще В.Брун доказал, что
$\varphi_2(M)/M\sim A/\ln^2 p_r$, однако
бесконечность близнецов этим не доказана.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #611786 писал(а):

Опять же, строго говоря, если $a_n\sim b_n$, то отсюда не следует, что $e^{a_n}\sim e^{b_n}$. Но здесь $\lim\limits_{x\to\infty}\sum\limits_{p\leqslant x}\frac{1}{p} - \ln\ln x - M =0$, поэтому потенцирование асимптотику сохраняет.

Уточню, после потенциирования:
\prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {4} {p}) =\frac {e^{C_1}} {ln^4(x)}(1+O(\frac {1} {ln^4(x)})) \sim C/ln^4 x.

-- 28.08.2012, 21:24 --

vorvalm в сообщении #611843 писал(а):

Асимиптотика для $\varphi_4(M)/M$ найдена точно.
А вот насчет того, что среди простых чисел число этих групп,
как и близнецов, бесконечно, я бы воздержался.
Еще В.Брун доказал, что
$\varphi_2(M)/M\sim A/\ln^2 p_r$, однако
бесконечность близнецов этим не доказана.

Важно, что я не только нашел эту асимптотику, но и используя полученную выше асимптотику получил результат.
Используя полученную выше асимптотику:\prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {4} {p}) \sim C/ln^4 x, где С=e^{-4M+3,33...}, по Лопиталю после 4-х кратного дифферецирования получаем:
$\lim \limits_{x \to \infty} {(p^2_{r+1}-p_{r+1})N/M}=\frac {4} {3}C\lim \limits_{x \to \infty}{\frac {x^2-x} {ln^4 x}=\infty$ ч.т.д.
Таким образом доказано, что количество групп (6,2,6), состоящих из простых чисел, на интервале ($p_{r+1}, p^2_{r+1})$ в ПСВ$(2\cdot3...p_r)$ c ростом $p_r$ неограниченно возрастает, а следовательно среди простых чисел этих групп, как и близнецов бесконечное число.

-- 28.08.2012, 21:36 --

vorvalm в сообщении #611843 писал(а):

vicvolf
Блестяще!

Спасибо!

-- 28.08.2012, 21:38 --

Sonic86 в сообщении #611786 писал(а):

в целом все правильно

Спасибо!

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #611769 писал(а):

Таким образом доказано, что... среди простых чисел этих групп, как и близнецов бесконечное число.

Довольно смелое заявление.
Какие аргументы против этого?

1. Интервал $(p_{r+1}^2-p_{r+1}),$ к которому применяется средняя плотность $C/\ln^4 x$
ничем не отличается от других интералов такого же размера в ПСВ.
Взять хотя бы тот же интервал, но $(M-p_{r+1})-(M-p^2_{r+1})$.
Значит и в этом интервале число простых групп растет?
2. Средняя плотность $C/\ln^4 x$ представляет не плотность простых групп,
но плотность всех таких групп в ПСВ.
И с ростом модуля доля простых групп довольно быстро уменьшается
(в несколько раз быстрее, чем число простых чисел среди вычетов ПСВ)
и при достаточно большом модуле доля простых групп будет исчезающе мала.
Следовательно, средняя плотность будет представлять плотность именно не простых групп
и применять ее к определению числа простых групп на любом интервале бессмысленно.
Вот если найти среднюю плотность простых групп в ПСВ, как часть общей плотности этих групп,
то здесь можно было бы и согласиться с их бесконечностью.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #612211 писал(а):

1. Интервал $(p_{r+1}^2-p_{r+1}),$ к которому применяется средняя плотность $C/\ln^4 x$
ничем не отличается от других интералов такого же размера в ПСВ.
Взять хотя бы тот же интервал, но $(M-p_{r+1})-(M-p^2_{r+1})$.
Значит и в этом интервале число простых групп растет?

Да, асимптотика $C/\ln^4 x$ характерезует среднюю плотность групп (6,2,6) в ПСВ, а не только групп среди простых чисел. Но на интервале $p_{r+1}, p^2_{r+1}$ находятся только простые числа, поэтому его не надо сравнивать с интервалом $(M-p_{r+1})-(M-p^2_{r+1})$.

Цитата:

2. Средняя плотность $C/\ln^4 x$ представляет не плотность простых групп,
но плотность всех таких групп в ПСВ.

Согласен.

Цитата:

И с ростом модуля доля простых групп довольно быстро уменьшается
(в несколько раз быстрее, чем число простых чисел среди вычетов ПСВ)
и при достаточно большом модуле доля простых групп будет исчезающе мала.

Возможно, но не интервале $p_{r+1}, p^2_{r+1}$, где находятся одни простые числа.

Цитата:

Следовательно, средняя плотность будет представлять плотность именно не простых групп
и применять ее к определению числа простых групп на любом интервале бессмысленно.

Да, я уже согласился, что это плотность просто групп (6,2,6) и на интервале $p_{r+1}, p^2_{r+1}$ я тоже определяю количество групп (6,2,6). Но в том то и дело, что на этом интервале лежат только одни простые числа, поэтому все эти группы являются простыми числами.
И дальше, когда $p_r$ стремится к бесконечности, то этот интервал превращается во множество всех простых чисел, исключая числа $2,3,.....p_r$, на котором, как я доказал выше, бесконечное число простых групп (6,2,6). Количество таких групп только увеличится, если к ним добавить группы (6,2,6) среди простых чисел $2,3,.....p_r$.

[shwedka]

vicvolf в сообщении #611923 писал(а):

Используя полученную выше асимптотику:\prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {4} {p}) \sim C/ln^4 x, где С=e^{-4M+3,33...}, по Лопиталю после 4-х кратного диффереНцирования получаем:

Применять Лопиталя можно только при условии дифференцируемости обеих функций. У Вас такого в левой части нет.

[vicvolf]

shwedka в сообщении #612422 писал(а):

Применять Лопиталя можно только при условии дифференцируемости обеих функций. У Вас такого в левой части нет.

Я применяю правило Лопиталя к функциям, выражающим асимтотику. Обе указанные функции дифференцируемы нужное число раз на луче x более 2. Моя цель опредеделить только предел отношения асимтотических, а не реальных функций.

[vorvalm]

Я не сомневаюсь, что число простых групп $(6,2,6)$ бесконечно,
но не уверен в правильности вашего доказательства.
Увеличение групп в интервале совершенно не требуется для доказательства их бесконечности.
Достаточно доказать, что в этом интервале есть хотя бы одна группа,
но исходя не из средней плотности групп, но конкретно.
Вы попробуйте усомниться в бескрнечности этих групп и доказать это от противного.
Допустите, что число их конечно и тогда ваша конструкция со средней плотностью развалится.
Кстати, извиняюсь, но асимптотику для $\varphi_4(M)/(M)$
я нашел давно у К.Прахара, теорема 5,5 стр.36,1967г. По этой теореме получается общая формула:
$\varphi_n(M)/M\sim C_n/\ln^n p_r,\;C_n$ - определяется для каждого $n.$
Но я восхищаюсь вашим методом.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #612555 писал(а):

Я не сомневаюсь, что число простых групп $(6,2,6)$ бесконечно,

Я тоже, но это надо было доказать.

Цитата:

но не уверен в правильности вашего доказательства.

Конкретно, что не верно?

Цитата:

Увеличение групп в интервале совершенно не требуется для доказательства их бесконечности.
Достаточно доказать, что в этом интервале есть хотя бы одна группа,
но исходя не из средней плотности групп, но конкретно.
Вы попробуйте усомниться в бескрнечности этих групп и доказать это от противного.
Допустите, что число их конечно и тогда ваша конструкция со средней плотностью развалится.

Я повторяю, что я согласен, что число групп (6,2,6) среди простых чисел бесконечно и даже это доказал.

Цитата:

Кстати, извиняюсь, но асимптотику для $\varphi_4(M)/(M)$
я нашел давно у К.Прахара, теорема 5,5 стр.36,1967г. По этой теореме получается общая формула:
$\varphi_n(M)/M\sim C_n/\ln^n p_r,\;C_n$ - определяется для каждого $n.$

К сожалению, до Прахара так и не добрался, поэтому для n=4 доказал самостоятельно. Аналогично доказывается и для произвольного n. Теорема Прахара доказывает справедливость моих выкладок.

Цитата:

Но я восхищаюсь вашим методом.

Спасибо! Метод заключается в применении найденной плотности групп чисел к интервалу, где находятся только простые числа.

-- 30.08.2012, 16:46 --

vorvalm в сообщении #611843 писал(а):

Еще В.Брун доказал, что
$\varphi_2(M)/M\sim A/\ln^2 p_r$, однако
бесконечность близнецов этим не доказана.

А если применить данную плотность к интервалу, где находятся только простые числа, то бесконечность близнецов будет доказана.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #612615 писал(а):

Метод заключается в применении найденной плотности групп чисел к интервалу, где находятся только простые числа.

Вот именно это меня и смущает.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #612622 писал(а):

vicvolf в сообщении #612615 писал(а):

Метод заключается в применении найденной плотности групп чисел к интервалу, где находятся только простые числа.

Вот именно это меня и смущает.

Этот метод тем и хорош, что когда $p_r$ стремится к бесконечности, то этот интервал превращается во множество всех простых чисел, исключая числа $2,3,.....p_r$, на котором бесконечное число простых групп с плотностью $\varphi_n(M)/M\sim C_n/\ln^n p_r$. Количество таких групп только увеличится, если к ним добавить группы среди простых чисел $2,3,.....p_r$. Аналогично доказывается, что число групп такой плотности среди простых чисел бесконечно.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #612636 писал(а):

Этот метод тем и хорош, что когда $p_r$ стремится к бесконечности, то этот интервал превращается во множество всех простых чисел, исключая числа $2,3,.....p_r$, на котором бесконечное число простых групп с плотностью $\varphi_n(M)/M\sim C_n/\ln^n p_r$. Количество таких групп только увеличится, если к ним добавить группы среди простых чисел $2,3,.....p_r$. Аналогично доказывается, что число групп такой плотности среди простых чисел бесконечно.

Ну здесь вы явно переборщили.
Интервал $p_{r+1}^2-p_{r+1}$ никогда не может быть множеством всех простых чисел,
(вместе с $2,3,...p_r$)
т.к. при $p_r\rightarrow\infty$ он составляет мизерную часть ПСВ.
В ПСВ есть простое число $p_x\leqslant M-1.$
Например, при относительно небольшом модуле $M(13\#)$ это число равно 30029, а интервал всего (17,289)
И потом, на каком основании вы считаете, что указанные группы равномерно распределены В ПСВ.
Они вполне могут сосредоточиться и вне этого интервала, места достаточно.
Это надо доказать или опровеpгнуть.