Бесконечность простых чисел-близнецов

[vicvolf]

О бесконечности количества некоторых групп чисел среди простых чисел
Теорема 1
Количество пар близнецов среди простых чисел бесконечно.
Доказательство
Рассмотрим приведенную систему вычетов по модулю $m=\prod_{i=1}^{r}{p_i}}$ - ПСВ(m), где $p_i$ - простое число с номером i.
Число вычетов близнецов в ПСВ(m) определяется по формуле:
$N_2(m)=(3-2)(5-2)....(p_r-2)= \prod_{i=3}^{r}{(p_i-2)}$ (1).
Средняя плотность вычетов близнецов в ПСВ(m) на основании (1) определяется по формуле:
$N_2(m)/m=\prod_{i=3}^{r}{(p_i-2)}/\prod_{i=1}^{r}{p_i}=\prod_{i=3}^{r}{(p_i-2)}/2 \cdot \prod_{i=3}^{r}{p_i}=0,5\prod_{i=3}^{r}{(1-\frac {2} {p_i})}$ (2).
На основании теоремы 23' Бухштаб на отрезке ПСВ(m) $[p_{r+1}, p^2_{r+1}]$ находятся только простые числа: $p_{r+1}, p_{r+2},...p_n<p^2_{r+1}$, поэтому среднее число пар простых чисел близнецов на этом отрезке на основании (2) определяется по формуле:
$(p^2_{r+1}-p_{r+1}) N_2(m)/m=0,5(p^2_{r+1}-p_{r+1}) \prod_{i=3}^{r}{(1-\frac {2} {p_i})}$ (3).
Найдем асимптотику средней плотности вычетов близнецов в ПСВ(m) $(N_2(m)/m)$.
Прологарифмируем и разложим в ряд выражение $\prod_{3 \leq p\leq x}(1-\frac {2} {p})$:
ln \prod_{3 \leq p\leq x}(1-\frac {2} {p}) =\sum_{3 \leq p\leq x} {ln(1-\frac {2} {p}})= -2\sum_{3 \leq p\leq x}{(\frac {1} {p})-2\sum_{3 \leq p\leq x}{(1/2p^2+1/3p^3+...).
Используем формулу:
\sum_{p \leq x}{(\frac {1} {p})=\frac {1} {2}+\sum_{3 \leq p\leq x}}{(\frac {1} {p})=M+lnln(x)+O(1/lnx), где М-постоянная Мертенса.
Получаем:
ln\prod_{3 \leq p\leq x}(1-\frac {2} {p}) =C1-2lnlnx+C2/lnx.
Потенциируем и получаем:
\prod_{3 \leq p\leq x}(1-\frac {2} {p}) =\frac {e^{C_1}} {ln^2(x)}(1+o(1/ln^2(x))).
Поэтому $0,5 \prod_{3 \leq p\leq x}(1-\frac {2} {p}) \sim C/ln^2 x$ (4).
Теперь определим количество пар простых чисел близнецов на отрезке $[p_{r+1}, p^2_{r+1}]$ при стремлении $p_r$ к бесконечности. Для этого надо найти предел, используя полученную асимптотику (4):
$\lim \limits_{x \to \infty}C {\frac {x^2-x} {ln^2 x}$.
Это неопределенность вида $\frac {\infty} {\infty}}$. Функции числителя и знаменателя дважды дифференцируемы, поэтому предел находится по Лопиталю:
$C\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {x^2-x} {ln^2 x}}=C\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {2x^2} {2ln x}=2C\lim \limits_{x \to \infty} {x^2}=\infty$
Когда $p_r$ стремится к бесконечности, то отрезок $[p_{r+1}, p^2_{r+1}]$ становится множеством всех простых чисел, исключая числа $2,3,.....p_r$. На данном множестве простых чисел, как я доказал выше, бесконечное число пар простых чисел близнецов. Количество таких пар только увеличится, если к ним добавить пары простых чисел близнецов среди простых чисел $2,3,.....p_r$ ч.т.д.
Продолжение следует.

[vorvalm]

Руст
Да, формулу $p^2\varphi_2(M)/M$ я привел неточно.
Должно быть $(p_{r+1}^2-p_{r+1})\varphi_2(M)/M$
Но у вас $\varphi_2(M)/M\sim C/p^2.$ Это совершенно не правильно. Легко показать, что $\varphi_2(M)/M\sim C/\ln^2(p_r)$
В ПСВ не надо отсеивать вычеты, кратные $p<\sqrt M$.
Они уже отсеяны по модулю М. Достаточно интервала $(p_{r+1}^2,p_{r+1})$.
Безусловно, после сдвига на 0,5М простые числа указанного интервала в основном уже не простые, но если из всех вычетов вычесть модуль М, то в центре такой ПСВ образуется диапазон простых чисел
($-p_{r+1}^2,+p_{r+1}^2$) вместе с близнецами в центре $\pm 1$ и исключая простые числа, входящие модуль.
Совершенно согласен с оценкой роли средней плотности и простых и вычетов ПСВ

[Руст]

vorvalm в сообщении #614011 писал(а):

Руст
Да, формулу $p^2\varphi_2(M)/M$ я привел неточно.
Должно быть $(p_{r+1}^2-p_{r+1})\varphi_2(M)/M$
Но у вас $\varphi_2(M)/M\sim C/p^2.$ Это совершенно не правильно. Легко показать, что $\varphi_2(M)/M\sim C/\ln^2(p_r)$

Я о плотности простых, большое не совпадение с плотностью из интервала до m.

Цитата:

В ПСВ не надо отсеивать вычеты, кратные $p<\sqrt M$.

А простые порядка m надо отсеивать до
этого.

Цитата:

Достаточно интервала $(p_{r+1}^2,p_{r+1})$.

Даже в этом интервале плотность ПСВ не совпадает с средней плотностью до m.

Цитата:

Безусловно, после сдвига на 0,5М простые числа указанного интервала в основном уже не простые, но если из всех вычетов вычесть модуль М, то в центре такой ПСВ образуется диапазон простых чисел

Там вообще может не остаться простых, уж тем более близнецов. Простые и ПСВ там ни как не связаны.

[vicvolf]

Руст в сообщении #614021 писал(а):

vorvalm в сообщении #614011 писал(а):

Руст
Да, формулу $p^2\varphi_2(M)/M$ я привел неточно.
Должно быть $(p_{r+1}^2-p_{r+1})\varphi_2(M)/M$
Но у вас $\varphi_2(M)/M\sim C/p^2.$ Это совершенно не правильно. Легко показать, что $\varphi_2(M)/M\sim C/\ln^2(p_r)$

Я о плотности простых, большое не совпадение с плотностью из интервала до m.

Руст
Это не совсем так. В теореме 1, представленной мною двумя постами выше, получена функция, которая достаточно хорошо описывает количество пар простых близнецов среди простых чисел. Я уже писал об этом.

-- 03.09.2012, 06:25 --

vicvolf в сообщении #613143 писал(а):

Давайте в качестве $p_{r+1}=73$. Тогда на указанном отрезке будут простые числа от 73 до 5323. Подсчитаем сколько здесь будет пар близнецов - 115. А если в качестве $p_{r+1}=71$, то на отрезке от 71 до 5039 будет только 113 пар близнецов. Это очень близко совпадает с доказанной мною асимптотикой количества близнецов на данном отрезке:
\pi_2(x)=\frac {0,398(x^2-x)} {ln^2 x}, где $x=p_{r+1}$.

[vicvolf]

Сделаю одно пояснение к теореме 1.
Я прекрасно понимаю, что плотность близнецов среди простых чисел с ростом номера простого числа падает. Но когда я беру среднее число простых близнецов на отрезке $[p_{r+1}, p^2_{r+1}]$, то с ростом $p_r$ усреднение происходит уже по большему количеству простых чисел. А когда $p_r$ устремляется к бесконечности, то усреднение идет уже по всем простым числам, исключая первые r.

[Руст]

Ребята, вы не понимаете, что средняя плотность некоторого множества ничего не может сказать о количестве членов этого множества в небольшом подмножестве. Чтобы сказать, что количество примерно соответствует длине интервала, умноженному на среднюю плотность надо доказать, что это множество очень хорошо равномерно распределено. Пока, даже не приблизились к доказательству хорошей равномерности в среднем для простых чисел, т.е. количество простых в интервале $(0,x)$ выражается как интеграл $\int_0^x\frac{dx}{\ln x}$ с ошибкой $O(\sqrt x \ln x)$, эквивалентного гипотезе Римана. Все эти ПСВ распределены очень неравномерно.
Например ПСВ_2 (числа х, что (х,М)=(х+2,М)=1) для М=70 в интервале (17, 27) не имеет ни одного элемента числа (18,19,...,26) или сами делятся на простой делитель М или добавленное к ним 2 делится на некоторый простой делитель.

Чтобы понять суть проблемы почитайте для начала хотя бы Прахар "Распределение простых чисел". Там начинается с очень элементарных вещей.

[vorvalm]

[quote="Руст в сообщении #614021"]Там вообще может не остаться простых, уж тем более близнецов.
Простые и ПСВ там ни как не связаны.
Вот здесь надо вернуться к элементарной теории чисел (Бухштаб).
Если $a_n$ - вычет ПСВ(М), то найдется вычет $a_m$ такой, что $a_n+a_m=M.$
Действительно, если $a_{1+k}$ вычет ПСВ(М)($1+k$ - порядковый номер вычета) ,
то $M-a_{1+k}=a_{\varphi(M)-k}$ тоже вычет этой ПСВ(М).
Отсюда,если первый вычет ПСВ(М) равен 1, то последний равен М-1.
Второй вычет равен $p_{r+1}$, предпоследний равен $M-p_{r+1}$ т.д.
Таким образом, при сдвиге вычетов ПСВ на 0,5М в центре такой ПСВ находятся вычеты
$M\pm (1,p_{r+1},p_{r+2},......p_n)<p^2_{r+1}$
Если исключить модуль М из всех вычетов такой ПСВ, то получим указанный ранее диапазон простых чисел

[Руст]

vorvalm в сообщении #614093 писал(а):

Руст в сообщении #614021 писал(а):

Там вообще может не остаться простых, уж тем более близнецов.
Простые и ПСВ там ни как не связаны.
Вот здесь надо вернуться к элементарной теории чисел (Бухштаб).
Если $a_n$ - вычет ПСВ(М), то найдется вычет $a_m$ такой, что $a_n+a_m=M.$
Действительно, если $a_{1+k}$ вычет ПСВ(М)($1+k$ - порядковый номер вычета) ,
то $M-a_{1+k}=a_{\varphi(M)-k}$ тоже вычет этой ПСВ(М).
Отсюда,если первый вычет ПСВ(М) равен 1, то последний равен М-1.
Второй вычет равен $p_{r+1}$, предпоследний равен $M-p_{r+1}$ т.д.
Таким образом, при сдвиге вычетов ПСВ на 0,5М в центре такой ПСВ находятся вычеты
$M\pm (1,p_{r+1},p_{r+2},......p_n)<p^2_{r+1}$
Если исключить модуль М из всех вычетов такой ПСВ, то получим указанный ранее диапазон простых чисел

С симметричностью вычетов ПСВ_1 никто не спорит. Для ПСВ_2 вообще говоря уже и симметричность несколько по иному. Но и это не спор.
Для ПСВ вы могли сразу взять интервал (-М/2,M/2). Соответственно, сразу получаете их симметричность.
Речь идет о том, что их количество в интервале (-x,x) при x<M/2 нельзя оценить не зная об их равномерности распределения. Равномерность в малых по сравнению с модулем М интервалах вообще не имеет места.

[vicvolf]

Руст в сообщении #614089 писал(а):

Ребята, вы не понимаете, что средняя плотность некоторого множества ничего не может сказать о количестве членов этого множества в небольшом подмножестве. Чтобы сказать, что количество примерно соответствует длине интервала, умноженному на среднюю плотность надо доказать, что это множество очень хорошо равномерно распределено.

Если уже пошел разговор о необходимости равномерного распределения и плотности простых чисел и ПСВ, то наиболее подходяще использовать термины и теоремы теории вероятности. В теории вероятности есть закон больших чисел, который утверждает, что среднее значение достаточно большого числа выборок из фиксированного распределения (не обязательно равномерного) близко к теоретическому среднему этого распределения. В теореме 1 я делаю интервал $p_{r+1}, p^2_{r+1}$ сколь угодно большим.

[Руст]

Цитата:

Если уже пошел разговор о необходимости равномерного распределения и плотности простых чисел и ПСВ, то наиболее подходяще использовать термины и теоремы теории вероятности. В теории вероятности есть закон больших чисел, который утверждает, что среднее значение достаточно большого числа выборок из фиксированного распределения (не обязательно равномерного) близко к теоретическому среднему этого распределения. В теореме 1 я делаю интервал $p_{r+1}, p^2_{r+1}$ сколь угодно большим.

Причем тут теория вероятности. Вы берете среднюю плотность, определенную на М - произведении простых меньше х. При этом $\ln M=x(1+o(1))$ - - известная вещь. Соответственно ваш интервал имеет длину $x^2(1+o(1))=(\ln M)^2(1+o(1))$. Простые числа и то имеют пробелы порядка $ln^2x$ и не доказано, что они не имеют пробелов порядка $\sqrt x$. Ваши ПСВ, в особенности ПСВ_2 распределены еще более неравномерно, чем простые числа. Речь идет именно об этом. Вы пока не доказали даже то, что в интервале $(M/4,3M/4)$ есть хотя бы один вычет ПСВ_2 (т.е x и x+2 взаимно просты с М). Начните хотя бы с этого.

[vicvolf]

Да, именно так, но в теореме 1 я беру среднюю плотность близнецов по всей ПСВ(М). Средняя плотность близнецов с ростом x падает по формуле $c/ln^2 x$. Таким образом, в начале ПСВ на отрезке $p_{r+1}, p^2_{r+1}$ средняя плотность близнецов выше средней плотности близнецов по всей ПСВ(М). Следовательно, беря на этом отрезке среднюю плотность близнецов по всей ПСВ(М), я ее занижаю по сравнению со средней на отрезке. Однако, не смотря на занижение средней плотности на этом отрезке, и дальше считая что такая заниженная плотность близнецов сохраняется везде среди простых чисел я в результате все таки получаю бесконечное число пар близнецов, что доказывает утверждение.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #614267 писал(а):

Реальная плотность близнецов с ростом x падает, как я показал, по формуле $c/\ln^2x$

Эта формула Виго Бруна (1920г.)

[Руст]

Реальная плотность пока никем не вычислена и даже не доказано, что она существует. Есть только оценка сверху для них. Нижняя оценка тривиальная - 0.

[vicvolf]

Руст в сообщении #614298 писал(а):

Реальная плотность пока никем не вычислена и даже не доказано, что она существует. Есть только оценка сверху для них. Нижняя оценка тривиальная - 0.

Подправил.

[megamix62]

vicvolf в сообщении #614301 писал(а):

Руст в сообщении #614298 писал(а):

Реальная плотность пока никем не вычислена и даже не доказано, что она существует. Есть только оценка сверху для них. Нижняя оценка тривиальная - 0.

$P^k({n+1})-P^k({n})<1 ? $
где $k=1/2$, $P({n+1}),P({n})$ - простые числа