Бесконечность простых чисел-близнецов

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #609450 писал(а):

Если мы знаем общее число N всех (простых и не очень) групп в данной ПСВ,
то надо брать обыкновенную пропорцию. Результат, конечно, будет приближенным.
Например. $M=2310,\;(169-13=156),\;N=4/3\varphi_4(M)=28,$ отсюда
$N_p=28\cdot 156/2310\approx 2.$

Эта формула уже не подходит для M=30030, так как $N_p=252\cdot 272/30030\approx 2$, а не 3.

[vorvalm]

Вы, пожалуйста, не забывайте, что мы имеем дело не с натуральным рядом,
но вычетами ПСВ.
И потом, $N_p=252\cdot 272/30030>2.$

[vorvalm]

Если посмотреть на ряд первых групп (6,2,6) по первым вычетам, то видно, что
одна группа в ПСВ(5#) - 23,
две группы в ПСВ(7#) - 23,53,
_ " _ " _ " в ПСВ(11#) - 23,53,
три группы в ПСВ(13#) - 23,53,263,
три группы в ПСВ(17#) - 23,53,263,
_ " _ " _ " _ "(19#) - _ " _ " _,
три группы в ПСВ(23#) - 53,263,563,
т.к. прибавляется группа 563, но исчезает группа 23, оставаясь среди простых чисел.
Так что рост числа таких групп среди простых чисел доволно медленный и
вообще будет ли он увеличиваться дальше?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #609600 писал(а):

три группы в ПСВ(23#) - 53,263,563,
т.к. прибавляется группа 563, но исчезает группа 23, оставаясь среди простых чисел.
Так что рост числа таких групп среди простых чисел доволно медленный и
вообще будет ли он увеличиваться дальше?

Нижняя граница интервала растет линейно, как $p_r$, а верхняя возрастает, как квадрат этой же величины. Следовательно, разность $p^2_r-p_r$ возрастает с ростом $p_r$, Если количество групп (6,2,6) растет пропорционально длине этого интервала, то количество таких групп является неограниченно возрастающей величиной.

[vorvalm]

Количество групп (6,2,6) в ПСВ ($N=4/3\varphi_4(M)$) растет гораздо быстрее интервала ($p_{r+1}^2-p_{r+1}$).
Но мы рссматриваем число этих групп с простыми вычетами в этом интервале.
Применяя пропорцию, мы используем среднюю плотность ($N/M$) этих групп в ПСВ и относим ее к этому интервалу.
Это было бы правильно, если доказана бесконечность таких групп среди простых чисел.
А пока мы знаем лишь то, что в ПСВ эти группы перемешаны,
причем с ростом $p_r$ относительное число простых групп уменьшается и при $p_r\rightarrow\infty,\;N_p/N\rightarrow 0.$
А если число простых групп конечно, то при определенном модуле
в указанном интервале этих групп не будет, но формула
$N_p=N(p_{r+1}^2-p_{r+1})/M$
будет упорно показывать, что они там есть.

[vicvolf]

Количество групп (6,2,6) в ПСВ растет с ростом $p_r$ по формуле $N=4/3\varphi_4(M)$ до бесконечности. Асимптотически количество групп (6,2,6) на интервале $(p_{r+1}, p^2_{r+1})$ определяется по формуле $(p^2_{r+1}-p_{r+1})N/M$. Осталось доказать, что это количество возрастает с ростом $p_r$ неограниченно.

[vorvalm]

Формула $N_p=(p_{r+1}^2-p_{r+1})N/M$ не асимптотическая,
а просто обыкновенная пропорция.
Доказать неограниченный рост $N_p$ не представляет труда.
А вот доказать, что это будут группы
с простыми числами - проблема.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #610595 писал(а):

Формула $N_p=(p_{r+1}^2-p_{r+1})N/M$ не асимптотическая,

Асимтотическая в сысле того. что справедлива при $p_r$ стремящимся к бесконечности.

Цитата:

Доказать неограниченный рост $N_p$ не представляет труда.

Не думаю, надо попробовать!

Цитата:

А вот доказать, что это будут группы
с простыми числами - проблема.

На этом интервале все вычеты простые числа!

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #610604 писал(а):

vorvalm в сообщении #610595 писал(а):

Формула $N_p=(p_{r+1}^2-p_{r+1})N/M$ не асимптотическая,

Асимтотическая в сысле того. что справедлива при $p_r$ стремящимся к бесконечности.

Цитата:

По Бухштабу функция $f(x)$ называется асимптотически равной
функции $\omega(x),$ если при $x\rightarrow\infty,$ существует предел отношения $f(x)/\omega(x)$ и этот предел равен 1.
У нас другой функции нет. Функция $N_p$ справедлива при любом $p_r$
Доказать неограниченный рост $N_p$ не представляет труда.

Для доказательства надо представить $(p_{r+1}^2-p_{r+1})=p_{r+1}(p_{r+1}-1),$ пpи этом $p_{r+1}-1>p_r$

На этом интервале все вычеты простые числа!

Да, простые, но группы вычетов (6,2,6) в этом инервале могут и не быть

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #610692 писал(а):

Доказать неограниченный рост $N_p$ не представляет труда.
Для доказательства надо представить $(p_{r+1}^2-p_{r+1})=p_{r+1}(p_{r+1}-1),$ пpи этом $p_{r+1}-1>p_r$

Это недостаточно! Там есть второй множитель (частное произведений) и надо доказать, что предел этого частного не равен 0.

Цитата:

Да, простые, но группы вычетов (6,2,6) в этом инервале могут и не быть

Приведите пример?

[vorvalm]

[quote="vicvolf в сообщении #610712"]
Это недостаточно! Там есть второй множитель (частное произведений) и надо доказать, что предел этого частного не равен 0.

Да, здесь надо проявить смекалку. В числителе мы имеем произведение
$4/3\varphi_4(M_r),$ и $p_r\cdot p_{r+1}$ а в знаменателе $M(p_r)$. При $M>30$ это отношение больше 1



Да, простые, но группы вычетов (6,2,6) в этом инервале могут и не быть

Приведите пример?
Я не утверждаю, но сомневаюсь.

[vicvolf]

vicvolf писал(а):

Там есть второй множитель (частное произведений) и надо доказать, что предел этого частного не равен 0.

Доказал, что предел частного этих произведений равен 0, поэтому получаем неопределенность вида $0 \cdot \infty$ .

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #610838 писал(а):

Доказал, что предел частного этих произведений равен 0, поэтому получаем неопределенность вида $0\cdot\infty$

Здесь надо брать не частное произведений, но произведение отношений
и прежде всего надо найти асимптотику для $\varphi_4(M)/M,$отвлекаясь от коэффициента 4/3,
а затем раскрыть неопределенность.

[vicvolf]

По Мертенсу:
(1- 1/2)(1- 1/3) \prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {1} {p})=\frac {1} {3}\prod_{5 \leq p \leq x}(1-\frac {1} {p}) \sim e^{-c}/lnx, где с-постоянная Эйлера.
Поэтому \varphi_4(M)/M=\prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {4} {p}) <\prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {1} {p}) \sim 3e^{-c}/lnx.
Переходя к пределу получаем:
$\lim \limits_{x \to\infty} {\prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {4} {p}) } \leq \lim \limits_{x \to\infty} {\prod_{5 \leq p\leq x}(1-\frac {1} {p}) }= \lim \limits_{x \to\infty} {3e^{-c}/lnx}=0$

[vorvalm]

Все правильно, но
почему вы берете в качестве верхнего предела $x$, а не $p_r$?
Для того, чтобы раскрыть неопределенность, необходимо найти асимптотику для
$\varphi_4(M)/M=1/3\prod_5^{p_r}(1-4/p_r)\sim f(x).$