Тензорное исчисление

[denis_73]

Существует ли книга по тензорному исчислению для чайников (на школьном уровне, или не для специалистов по математике, физике, механике)?
Нужен самый минимум, как можно более кратко, только чтобы физические формулы понимать.

[EvilPhysicist]

denis_73 в сообщении #609325 писал(а):

на школьном уровне

для школьников - не существует

denis_73 в сообщении #609325 писал(а):

или не для специалистов по математике

для неспециалистов по математики - существуют

denis_73 в сообщении #609325 писал(а):

физике, механике

физика и механика тут вообще не причём

denis_73 в сообщении #609325 писал(а):

Нужен самый минимум, как можно более кратко, только чтобы физические формулы понимать.

Линейную алгебру изучали?

[Diffeomorfizm]

Кочин - Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Думаю, проще не бывает)

[EvilPhysicist]

Дмитриенко, тензорное исчисление.
Вроде бы довольно не сложно, но подход там больше математический.

[Munin]

Тензор - это просто величина с кучей индексов, $T_{ijk}.$ Индексы нумеруют оси пространства, так что вектор обозначается $a_i,$ и имеет компоненты $a_1,a_2,a_3$ (в случае трёхмерного пространства). Эти компоненты можно расположить в столбик или в строчку. Тогда компоненты тензора, у которого много индексов, займут квадрат, куб или так далее. Число индексов называется рангом тензора. Скаляр $s$ - тензор нулевого ранга, вектор $v_i$ - тензор первого ранга, а тензоры высших рангов называются просто тензорами. Тензоры второго ранга - по сути, матрицы. Тензоры бывают для пространств любой размерности, хотя в физике типично встречаются трёхмерные и четырёхмерные.

Названия индексов могут быть любые, но в уравнении, где справа и слева стоят тензоры, названия индексов должны совпадать, потому что от них зависит смысл, какие компоненты указаны. Поэтому надо быть внимательным к индексам, и обращать внимание на их порядок. $A_{ij}=B_{ji}$ - здесь два тензора не равны, а отличаются перестановкой индексов между собой, как при транспонировании матрицы.

Есть некоторые специальные тензоры, которые имеют постоянные имена.
$x_i$ - это координаты текущей точки, то есть в смысле вектора - радиус-вектор, $\mathbf{r}=\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)=(x,y,z).$
$\delta_{ij}$ - "символ Кронекера", у него компоненты равны 1 при $i=j,$ и 0 при $i\ne j.$ В смысле матрицы - единичная матрица, $E=I=1.$
$\varepsilon_{ijk}$ - "символ Леви-Чивиты", у него, наоборот, компоненты не равны 0, только если все индексы разные. Они равны +1 для чётных перестановок индексов (123, 231, 312), и -1 для нечётных перестановок индексов (132, 213, 321). В пространствах другой размерности определяют аналогичный символ с другим количеством индексов, например, в 4-мерном - $e_{ijkm}.$

Операции с тензорами:
1. Тензоры можно складывать и вычитать, умножать на число. Это всё делается покомпонентно.
2. Тензоры можно умножать "в смысле тензорного произведения". При этом просто получается "гиперкуб" большей размерности, а его компоненты - все возможные произведения компонент исходных тензоров: $T_{ijkm}=A_{ij}B_{km},$ и если нужно найти, скажем, $T_{1232},$ то вычисляется произведение $A_{12}B_{32}.$

3. Тензоры можно "сворачивать" по паре индексов. При этом получается тензор меньшей размерности, а вычисляется он вот как:
$C_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{n}T_{ikjk},$
то есть в "слое" коэффициентов, который указывают сворачиваемые индексы (здесь - второй и четвёртый индексы) отбрасываются все недиагональные коэффициенты, а диагональные суммируются. Эта операция настолько часто встречается, что для неё используется сокращённое обозначение:
$C_{ij}=T_{ikjk},$
то есть, просто значка суммы не пишут, а по повторяющейся паре индексов подразумевают суммирование. Это называется "правило Эйнштейна". Индекс, по которому берут сумму - "немой", и не должен совпадать по названию ни с каким "не немым" индексом. Но два немых индекса могут совпадать, если они встречаются в разных одночленах: например,
$T_{ikjk}-T_{kikj}=\left(\sum T_{ikjk}\right)-\left(\sum T_{kikj}\right)$
- это разность двух разных свёрток.

Благодаря свёртке, появляется другое определение тензора: это функция от нескольких векторных аргументов, дающая в результате число, и линейная по всем своим аргументам: $T_{ijk}a_i b_j c_k$ - будет скаляр.

4. Тензоры можно "симметризовать" или "антисимметризовать" по паре индексов, аналогично выделению симметричной и антисимметричной (относительно диагонали) части матрицы . Симметризация:
$S_{ij}=\tfrac{1}{2}(T_{ij}+T_{ji}),$ $S_{ij}=S_{ji}$
обозначается $T_{(ij)}=S_{ij}.$ Антисимметризация:
$A_{ij}=\tfrac{1}{2}(T_{ij}-T_{ji}),$ $A_{ij}=-A_{ji}$
обозначается $T_{[ij]}=A_{ij}.$ Бывает симметризация и антисимметризация не по двум, а по нескольким индексам.

5. Разумеется, от тензоров можно брать производные. Символ частной производной имеет сам по себе тензорный индекс, так что он увеличивает ранг тензора на 1:
$G_{ijk}=\dfrac{\partial}{\partial x_i}T_{jk}.$
Встречаются и полное обозначение, и сокращённые: $\tfrac{\partial}{\partial x_i}T_{jk}=\partial_i T_{jk}=T_{jk,i}.$

На тензорном языке выражаются все хорошо известные операции с векторами и матрицами:
$k\mathbf{a}\to ka_i$
$(\mathbf{ab})\to a_i b_i$
$[\mathbf{ab}]\to \varepsilon_{ijk}a_i b_j$ - а часто не используют $\varepsilon_{ijk},$ и вместо этого считают, что векторное произведение даёт в результате антисимметричный тензор 2 ранга: $[\mathbf{ab}]\to 2a_{[i}b_{j]}$
$|\mathbf{a}|=\sqrt{(\mathbf{aa})}=\sqrt{a_i a_i}$
$\operatorname{grad}\varphi\to \tfrac{\partial}{\partial x_i}\varphi=\varphi_{,i}$
$\operatorname{div}\mathbf{a}\to \tfrac{\partial}{\partial x_i}a_i=a_{i,i}$
$\operatorname{rot}\mathbf{a}\to 2\tfrac{\partial}{\partial x_{[i}}a_{j]}=2a_{[j,i]}=-2a_{[i,j]}$ - обратите внимание на знак.
кроме того, становится возможно выразить полный набор частных производных компонент вектора - тензорную производную $a_{i,j}.$
$Ab\to A_{ij}b_{j}$
$b^{\mathrm{T}}A\to b_{i}A_{ij}$
$A^{\mathrm{T}}\to A_{ji}$
$A^{-1}A=E\to (A^{-1})_{ij}A_{jk}=\delta_{ik}$
$\operatorname{tr}A\to A_{ii}$
Только для определителя нет простой записи.

В дополнение к этому, встречаются в разных ситуациях усложнения, но поскольку я не знаю, какую физическую теорию вы хотите читать, я в них не углубляюсь. Бывают верхние и нижние индексы, латинские и греческие, тензорные и спинорные, пространственные и внутренние; бывают простые и ковариантные производные, бывает свёртка с метрическим тензором. Для начала сойдёт, как я написал, а дальнейшие усложнения лучше осваивать, уже привыкнув к основным обозначениям, потому что эти усложнения сопровождаются новыми сложными понятиями и теориями (например, риманова геометрия), и желательно уже не спотыкаться на формулах, и уметь вчитываться в индексы.

Упражнения:
Верно ли, что $A_{ij}\delta_{jk}B_{km}=A_{ij}B_{jm}$?
Какая физическая формула "зашифрована" здесь: $\tfrac{1}{2}\tfrac{\partial}{\partial x_j}B_{[ij]}-\tfrac{\partial}{\partial t}E_i=J_i$?

[EEater]

Яндекс - мощная вещь. Например, можно прямо набрать "Тензорное исчисление для чайников".

[Himfizik]

(Оффтоп)

EEater в сообщении #609658 писал(а):

Яндекс - мощная вещь.

Что за "продактплэйсмент"?!

[EEater]

Himfizik

(Оффтоп)

Я Яндексами не торгую!

[Himfizik]

(Оффтоп)

EEater в сообщении #609670 писал(а):

Я Яндексами не торгую!

Ну, слава богу!

[Munin]

(Оффтоп)

Не люблю Тындекса. Люблю гугл, а гуглить надо прежде всего по-английски.

[Himfizik]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #609678 писал(а):

Люблю гугл, а гуглить надо прежде всего по-английски.

Во-во... полностью поддерживаю.

[denis_73]

EvilPhysicist в сообщении #609357 писал(а):

denis_73 в сообщении #609325 писал(а):

Нужен самый минимум, как можно более кратко, только чтобы физические формулы понимать.

Линейную алгебру изучали?

А конкретнее?
Это было больше 15 лет назад, как назывались разделы, которые проходили, не помню.
Скорее всего, что-то подобное изучали, но не уверен, что в полном объёме. К тому же, наверно, и не всё помню, т. к. для работы почти всё это не нужно.
Например, матрицы, определители, решение систем линейных уравнений - это было, и если почитать учебники, наверно, смогу вспомнить.
Физика - близко к учебнику Савельева для нефизических специальностей, но квантовая механика, СТО - совсем кратко упоминались.

[denis_73]

Munin в сообщении #609492 писал(а):

В дополнение к этому, встречаются в разных ситуациях усложнения, но поскольку я не знаю, какую физическую теорию вы хотите читать, я в них не углубляюсь. Бывают верхние и нижние индексы, латинские и греческие, тензорные и спинорные, пространственные и внутренние; бывают простые и ковариантные производные, бывает свёртка с метрическим тензором. Для начала сойдёт, как я написал, а дальнейшие усложнения лучше осваивать, уже привыкнув к основным обозначениям, потому что эти усложнения сопровождаются новыми сложными понятиями и теориями (например, риманова геометрия), и желательно уже не спотыкаться на формулах, и уметь вчитываться в индексы.

Спасибо. Буду изучать это ваше сообщение.
А всё-таки, какой по-вашему учебник лучше (из тех, что можно найти бесплатно в электронном виде в Интернете)?
Всё, что «бывает» тоже надо будет потом почитать где-то. Но ещё надо про лагранжеву механику и про спин почитать (кое-где прочёл, что частицы в зависимости от спина называют скалярными, спинорными, векторными, спин-векторными, тензорными и т. д., почему - непонятно)...
В принципе интересуют квантовая механика, стандартная модель (а также GUT, теория всего), КТП, ОТО (хотя по CТО тоже не всё понятно, например $E=mc^2$), космология. Но для этого нужна всякая математика, например, риманова и дифференциальная геометрия, топология, теория групп, в том числе SU(2), SU(3), и всякие группы типа $E_6$ и $E_8$, группа коксетера, октонионы и пр.

[Munin]

denis_73 в сообщении #609812 писал(а):

А всё-таки, какой по-вашему учебник лучше (из тех, что можно найти бесплатно в электронном виде в Интернете)?

Во-первых, в интернете можно найти тонны прекрасных учебников. Весь Колхоз никуда не делся, только стал неудобнее: приходится эти книги искать отдельно через поисковики. А Колхоз - это почти все (ну, 90 %) изданной в советские годы учебной, и масса научной литературы.

Во-вторых, я лично изучал тензоры по Ландау-Лифшицу "Теория поля". И не жалею об этом. Готов рекомендовать её любому, кто хочет понимать физические формулы.

denis_73 в сообщении #609812 писал(а):

Всё, что «бывает» тоже надо будет потом почитать где-то. Но ещё надо про лагранжеву механику и про спин почитать (кое-где прочёл, что частицы в зависимости от спина называют скалярными, спинорными, векторными, спин-векторными, тензорными и т. д., почему - непонятно)...

Про лагранжеву механику - это Ландау-Лифшиц "Механика". Дёшево и сердито.

Про спин - для начала, Ландау-Лифшиц "Квантовая механика", и желательно, нет, просто обязательно, Фейнмановские лекции по физике том 8.

Почему так частицы называют - это очень просто. Волновая функция частицы со спином 0 изменяется так же, как скаляр; со спином 1 - как вектор; со спином 2 - как тензор; и вообще со спином $n$ - как тензор $n$-го ранга. Это всё частицы с целым спином (бозоны). Бывают частицы с полуцелым спином (фермионы). Для них свои представления: волновая функция частицы со спином 1/2 изменяется как спинор (для трёхмерного пространства это два комплексных числа); со спином 3/2 - как спинор 3 ранга; и вообще со спином $n/2$ - как спинор $n$-го ранга. Спиноры чётных рангов однозначно соответствуют тензорам, например, спинор ранга 2 - вектору. Поэтому частиц для младших спинов приняты короткие жаргонные названия: 0 - скаляр, 1/2 - спинор, 1 - вектор, 2 - тензор. А вот почему спиноры играют такую роль - это вам в учебники.

denis_73 в сообщении #609812 писал(а):

В принципе интересуют...

Крутой список, но там много разных этажей. До квантовой механики добраться легко, если знаете линейную алгебру и дифференциальные уравнения (желательно ещё гамильтонову и лагранжеву механику). А Стандартная Модель основана на целой пирамиде этажей: квантовая механика, СТО, КТП, калибровочные поля и их квантование, экспериментальный зоопарк частиц.

Математика, конечно, частенько нужна, но так же частенько всю необходимую математику просто приводят в физическом учебнике. Например, учебники Ландау-Лифшица в этом плане самодостаточны.

Квантовая механика:
Ландау-Лифшиц "Квантовая механика"
Фейнмановские лекции по физике, том 8-9
Фейнман, Хибс "Квантовая механика и интегралы по траекториям"
СТО:
Ландау-Лифшиц "Теория поля"
ОТО (требует СТО):
Мизнер-Торн-Уилер "Гравитация"
Ландау-Лифшиц "Теория поля"
Калибровочные поля:
Рубаков "Классические калибровочные поля"
КТП (требует КМ, СТО):
Фейнман "Квантовая электродинамика"
Пескин-Шрёдер "Квантовая теория поля"
Стандартная Модель:
Хелзен-Мартин "Кварки и лептоны"
популярно о Стандартной Модели и GUT, космологии: Окунь "Физика элементарных частиц"
Космология (требует ОТО):
Мизнер-Торн-Уилер
Вайнберг "Гравитация и космология"
Зельдович, Новиков "Строение и эволюция Вселенной"
Долгов, Зельдович, Сажин "Космология ранней Вселенной"

$E_6,$ $E_8,$ Коксетер и октонионы в физике практически не используются. Это скучающие математики от нечего делать берут самые красивые свои математические снежинки, и пытаются их воткнуть в физику. Они не понимают, что в физике не совершается насилия над природой: если природа ещё не позвала этих групп, ну так что ж, значит, не надо. В физике используют $\mathrm{SU}(3),$ $\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{U}(1).$

[EvilPhysicist]

denis_73 в сообщении #609777 писал(а):

А конкретнее?

А конкретнее, что такое линейное пространство помните?
Вам Munin уже коротенько объяснил, что такое тензор, но мне думается, что будет правильнее объяснить вам про тензорную алгебру.

denis_73 в сообщении #609812 писал(а):

Но ещё надо про лагранжеву механику и про спин почитать

Про ларгранжеву механику есть у Ландау, у Арнольда (математические методы классической механики).
Спин - отдельная тема, для того, чтобы в ней разбираться надо знать что такое спиноры и алгебра Клифферда(последнее не необходимо, но достаточно).

denis_73 в сообщении #609812 писал(а):

кое-где прочёл, что частицы в зависимости от спина называют скалярными, спинорными, векторными, спин-векторными, тензорными и т. д., почему - непонятно

Не от спина.
Сначала вам прийдётся разобраться с электродинамикой, например по тому же Ландау. Потом с классической теорией поля например по Рубакову "Классические калибровочные поля".

denis_73 в сообщении #609812 писал(а):

В принципе интересуют квантовая механика, стандартная модель (а также GUT, теория всего), КТП, ОТО (хотя по CТО тоже не всё понятно, например $E=mc^2$), космология

Широкий круг. Впрочем, как я вижу Munin вам уже всего насоветовал.
От себя добавлю, что можете почитать Степаньяца "Классическая теория поля", там в общем-то и немного электродинамики и классическая теория поля и ОТО и стандартная модель.

denis_73 в сообщении #609812 писал(а):

хотя по CТО тоже не всё понятно, например $E=mc^2$

Ну там вообще-то $E^2 - p^2 c^2 = m^2 c^4 $.