Тензорное исчисление

[denis_73]

Munin в сообщении #609817 писал(а):

$E_6,$ $E_8,$ Коксетер и октонионы в физике практически не используются. Это скучающие математики от нечего делать берут самые красивые свои математические снежинки, и пытаются их воткнуть в физику. Они не понимают, что в физике не совершается насилия над природой: если природа ещё не позвала этих групп, ну так что ж, значит, не надо. В физике используют $\mathrm{SU}(3),$ $\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{U}(1).$

Я так понимаю, неизвестно, как должна в будущем описываться GUT или теория всего?
Но законы математики и чисел и всякие симметрии между ними вроде бы соблюдаются?
$E_8$ встречается и в теории суперструн (каких-то гетеротических), и, как я понял, связана с октонионами (максимальными гиперкомплексными числами), и в Теории Всего Гаррета Лиси и в GUT (пример - бакалаврская работа «Фермионный мультиплет в модели теории Великого Объединения» В.В. Шакиров).

-- 24.08.2012, 07:47 --

EvilPhysicist в сообщении #609845 писал(а):

denis_73 в сообщении #609812 писал(а):

хотя по CТО тоже не всё понятно, например $E=mc^2$

Ну там вообще-то $E^2 - p^2 c^2 = m^2 c^4 $.

Ну, пусть будет $E_0=mc^2$ или даже $E_0=m_0 c^2$.
Пока что не разобрался, как пришли к такому выводу.

[EvilPhysicist]

denis_73 в сообщении #609847 писал(а):

Ну, пусть будет $E_0=mc^2$ или даже $E_0=m_0 c^2$.

Нет, пусть будет в физике не работает.

denis_73 в сообщении #609847 писал(а):

Пока что не разобрался, как пришли к такому выводу.

Очень просто.
Есть у нас траектория по которой частица движется в пространстве-времени. Пусть уравнение траектории задано параметрически $ (ct(s),x(s),y(s),z(s)) $, где $s $ - натуральный параметр. Для него, как известно из курса не то анализа не то диф.гема справедливо, что $ds^2 = g_{ik}dx^i dx^k $, где $dx^0=ct, dx^1=x, dx^2=y, dx^3=z, g_{ik}=\begin{pmatrix}1 &0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1 \end{pmatrix} $ и то есть $ ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 $, что легко привести к виду $ds^2 = c^2 dt^2\left(1 - \cfrac{1}{c^2}\cfrac{dx^2 + dy^2 + dz^2}{dt^2} \right)=c^2 dt^2 \left( 1 - \cfrac{v^2}{c^2} \right) $ и значит $ ds=c dt \sqrt{1 -\cfrac{v^2}{c^2} }=\cfrac{c dt}{\gamma} $.

Дальше вычислим четырёхмерную скорость $\left(\cfrac{d(ct)}{ds},\cfrac{dx}{ds},\cfrac{dy}{ds},\cfrac{dz}{ds} \right) $ и используя только что полученное соотношение для $ds$ получим $ (\gamma,\cfrac{1}{c} v_x \gamma,\cfrac{1}{c} v_y \gamma,\cfrac{1}{c} v_y \gamma) $ - вектор 4-скорости.

Длинна этого вектора $\sqrt{\gamma^2 - \cfrac{v^2}{c^2}\gamma^2} =1 $. Домножим этот вектор на $m$ получим вектор 4-импульса $(m \gamma, \cfrac{1}{c} mv_x \gamma,\cfrac{1}{c} mv_y \gamma, \cfrac{1}{c} mz \gamma)=(m \cfrac{c^2}{c^2}\gamma, \cfrac{p_x}{c} ,\cfrac{p_y}{c} ,\cfrac{p_z}{c} )=(\cfrac{E}{c^2}, \cfrac{p_x}{c} ,\cfrac{p_y}{c} ,\cfrac{p_z}{c} ) $. Квадрат этого вектора $ \cfrac{E^2}{c^4} - \cfrac{p^2}{c^2}=m^2 $, откуда очевидно исходное соотношение $ E^2 - p^2 c^2 =m^2 c^4 $

[espe]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #609492 писал(а):

Только для определителя нет простой записи.

$\det A_{ij}=\varepsilon^{ijk}A_{1i}A_{2j}A_{3k}=\frac{1}{3!}\varepsilon^{klm}\varepsilon^{ijk}A_{ki}A_{lj}A_{mk}$

[EvilPhysicist]

(Оффтоп)

espe в сообщении #609864 писал(а):

$\det A_{ij}=\varepsilon^{ijk}A_{1i}A_{2j}A_{3k}=\frac{1}{3!}\varepsilon^{klm}\varepsilon^{ijk}A_{ki}A_{lj}A_{mk}$

А разве не $\det A_{ij} = \varepsilon^{ijk} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma} A_{i\alpha} A_{j\beta} C_{k\gamma} $?
$\det \begin{pmatrix} 1& 0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix} =\det \begin{pmatrix} 1 &0 \\0&1 \end{pmatrix} = 1 $, а по вашей формуле $\det \begin{pmatrix} 1& 0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix} = \cfrac{1}{3!} \varepsilon^{123} \varepsilon^{123}1*1*1 = \cfrac{1}{6} $

[espe]

(Оффтоп)

По повторяющимся индексам подразумевается суммирование. У Вас его нет.

[epros]

espe в сообщении #609871 писал(а):

По повторяющимся индексам подразумевается суммирование. У Вас его нет.

Формула EvilPhysicist - правильная почти правильная (всё же непонятно, почему почему последний сомножитель - какое-то $C$). Кстати, если знать, что символ Леви-Чивиты преобразуется как тензорная плотность, то из этой формулы сразу становится очевидно, почему корень из определителя метрики преобразуется как скалярная плотность. Но относительно множителя $\frac{1}{n!}$ это правильно, конечно.

[EvilPhysicist]

espe в сообщении #609871 писал(а):

По повторяющимся индексам подразумевается суммирование. У Вас его нет.

Есть, просто там все элементы матрицы, кроме диагональных нули я их опустил.

epros в сообщении #609873 писал(а):

всё же непонятно, почему почему последний сомножитель - какое-то $C$

Мозг упорно мне говорил писать $ ABC $, вместо $AAA $.

[lek]

Вообще то правильно будет так:

$\det A\equiv\det (A_{ps})= \frac{1}{6}\varepsilon^{ijk} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma} A_{i\alpha} A_{j\beta} A_{k\gamma} $

Кстати, нет ли у кого ссылки на источник, где приведены формулы умножения для тензоров высших рангов типа $\varepsilon_{i_1i_2\dots i_p}\varepsilon_{j_1j_2\dots j_s}=(?)$ с произвольно совпадающими индексами?

[epros]

EvilPhysicist в сообщении #609876 писал(а):

Мозг упорно мне говорил писать $ ABC $, вместо $AAA $.

Я так подумал, что может это $C$ как раз и есть $\frac{1}{n!} A$. Там же при суммировании каждое слагаемое вида $A_{i j} A_{k l} A_{m n}$ входит в сумму в количестве, равном числу перестановок пар $(i j), (k l), (m n)$. А в формуле определителя вхождение такого слагаемого - единственное. Поэтому и нужно поделить на число перестановок.

[EvilPhysicist]

epros в сообщении #609881 писал(а):

Там же при суммировании каждое слагаемое вида $A_{i j} A_{k l} A_{m n}$ входит в сумму в количестве, равном числу перестановок пар

Да, я как раз понял, что ошибся.

[espe]

lek в сообщении #609878 писал(а):

Кстати, нет ли у кого ссылки на источник, где приведены формулы умножения для тензоров высших рангов типа $\varepsilon_{i_1i_2\dots i_p}\varepsilon_{j_1j_2\dots j_s}=(?)$ с произвольно совпадающими индексами?

$p=s$? Для 4-х мерного пространства Минковского и 3-х мерного Евклида формулы написаны в ЛЛ-2 в сносках к §6 (у меня на стр.35 и 36 соответственно). Для произволных пространств можно написать по аналогии.

[lek]

espe в сообщении #609896 писал(а):

Для произволных пространств можно написать по аналогии.

Я имел ввиду общий случай умножения двух полностью антисимметричных единичных тензоров не обязательно одного ранга (и не обязательно из одного пространства):

$$\varepsilon_{i_1\dots i_rj_1\dots j_{p-r}}\varepsilon_{i_1\dots i_rk_1\dots k_{s-r}}=(?),\qquad \text{где}\qquad \{j_1,\dots,j_{p-r}\}\cap\{k_1,\dots,k_{s-r}\}=\emptyset.$$

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #609845 писал(а):

Вам Munin уже коротенько объяснил, что такое тензор, но мне думается, что будет правильнее объяснить вам про тензорную алгебру.

А давайте. Я уложился (на моём мониторе) на два экрана с мелочью.

denis_73 в сообщении #609847 писал(а):

Я так понимаю, неизвестно, как должна в будущем описываться GUT или теория всего?
Но законы математики и чисел и всякие симметрии между ними вроде бы соблюдаются?

Да, неизвестно, как в будущем будут описываться физические теории. Зато известно, что это будут физические теории, а значит, они будут построены исходя из экспериментальных данных, а не из того, чего математики напридумывают.

Насчёт симметрий заранее сказать нельзя. В физике несколько раз оказывалось, что изначально предполагавшаяся симметрия оказалась в конце концов экспериментом опровергнутой.

Даже на законы чисел полагаться нельзя. Например, есть гипотеза, что наше пространство на микроскопическом уровне на самом деле устроено в соответствии с некоммутативной геометрией, а значит - не работает обычная таблица умножения.

Всё это для физики должен выяснить эксперимент. Нет эксперимента - нет великих открытий и теории всего.

denis_73 в сообщении #609847 писал(а):

$E_8$ встречается и в теории суперструн (каких-то гетеротических), и, как я понял, связана с октонионами (максимальными гиперкомплексными числами), и в Теории Всего Гаррета Лиси и в GUT

Всё это пока гипотезы, и даже гипотезы на гипотезах (в самих гетеротических струнах $E_8$ нет, но её можно туда пристроить - опять же, от желания скучающего математика сделать покрасивше). Теория Гаррета Лиси - тоже очень натянутая идея, и большого внимания и развития не получила. Уточню: не получила большого внимания в науке. А получила - среди ненаучной публики. Но удачно себя разрекламировать, и сделать действительно серьёзное научное открытие - вещи абсолютно разные. Очень неприятно, когда реклама делает известными пустышек.

espe
Да, конечно, спасибо большое! Вот моя башка дырявая.

lek в сообщении #609878 писал(а):

Кстати, нет ли у кого ссылки на источник, где приведены формулы умножения для тензоров высших рангов типа $\varepsilon_{i_1i_2\dots i_p}\varepsilon_{j_1j_2\dots j_s}=(?)$ с произвольно совпадающими индексами?

http://en.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita_symbol
Формула (8)

$$\varepsilon_{i_1\ldots i_k\,i_{k+1}\ldots i_n}\varepsilon^{i_1\ldots i_k\,j_{k+1}\ldots j_n}= k!(n-k)!\,\delta_{[i_{k+1}}{}^{j_{k+1}}\ldots\delta_{i_n]}{}^{j_n}$$

-- 24.08.2012 15:33:11 --

lek в сообщении #610025 писал(а):

не обязательно одного ранга (и не обязательно из одного пространства)

А, простите, если разных рангов (и как следствие разных пространств) или разных пространств, то каков смысл такого умножения? У них же будут просто несовместимые, несворачиваемые между собой индексы. (Между собой все индексы такого тензора должны быть одинаковые.)

-- 24.08.2012 15:37:08 --

EvilPhysicist в сообщении #609845 писал(а):

От себя добавлю, что можете почитать Степаньяца "Классическая теория поля"

Чё-то его нигде скачать нельзя.

[lek]

Munin, благодарю. Эту формулу я встречал. Не могу найти подобное выражение для произведения

$$\varepsilon_{i_1\ldots i_k\,i_{k+1}\ldots i_p}\varepsilon^{i_1\ldots i_k\,j_{k+1}\ldots j_s}= (?)$$

в случае, когда $p\ne s$.

Munin в сообщении #610044 писал(а):

А, простите, если разных рангов (и как следствие разных пространств) или разных пространств, то каков смысл такого умножения? У них же будут просто несовместимые, несворачиваемые между собой индексы. (Между собой все индексы такого тензора должны быть одинаковые.)

Здесь имеет смысл говорить не о разных пространствах, а о двух пересекающихся подпространствах одного "большого" пространства. В этом случае строить произведения тензоров разного ранга вполне допустимо. Вот пример такого произведения (в базовом 11-мерном пространстве Минковского):

$$\varepsilon_{i_1i_2i_3i_4}\varepsilon^{i_1i_2i_3j_1\dots j_8}=-6\delta_{i_4}^{j_8}\varepsilon^{j_1\dots j_7}.$$

[Munin]

$p$ указывает размерность пространства, в котором определён первый символ, и его индексы принимают значения $1\ldots p.$ Для второго символа, соответственно, индексы будут принимать значения $1\ldots s.$ Ни по каким индексам свернуть это произведение будет нельзя (как нельзя, например, найти произведение трёхмерного вектора с четырёхмерным), то есть единственный возможный вариант $k=0.$ То же, если индексов поровну, но они просто относятся к разным пространствам.