Поле в центре пластины

[Munin]

Значит, у вас получилось так сформулировать задачу, что вы подразумевали одно, а все вокруг воспринимают совершенно другое.

Предлагаю изменить формулировку так:

Цитата:

Имеется тонкая, конечной толщины, круглая металлическая пластина радиуса $R$. К двум точкам на краю пластины припаяли провода, через которые пропускают постоянный ток $I$ (угловой размер дуги между контактами $\alpha$). Найти величину индукции магнитного поля внутри пластины в центре. Поле подводящих проводов не учитывать.

Потому что иначе задача читается так:

Цитата:

Имеется бесконечно тонкая круглая металлическая пластина радиуса $R$. К двум точкам на краю пластины припаяли провода, через которые пропускают постоянный ток $I$ (угловой размер дуги между контактами $\alpha$). Найти величину индукции магнитного поля в центре над пластиной. Поле подводящих проводов не учитывать.

[obar]

Munin в сообщении #607544 писал(а):

Найти величину индукции магнитного поля внутри пластины в центре.

Уточнение "в центре пластины" лишнее. Изменение магнитного поля то толщине пластины порядка $\Delta B\sim B(h/R)$, в то время как отношение продольной и поперечной компонент $B_{\perp}/B_{\parallel}\sim\ln(R/h)$.

[ewert]

Munin в сообщении #607499 писал(а):

Кошмарная формулировка...

Да. Уточнить её, конечно, при желании можно, но в любом варианте выйдет некоторый кошмар. Что-нибудь типа: "... и притом проводки подпаяны зеркально симметрично относительно плоскости симметрии пластины..."

lucien в сообщении #607509 писал(а):

Цитата:

№ 5.4 Определить магнитное поле $B$ в центре однородной тонкой металлической пластинки, имеющей форму равностороннего треугольника со стороной $a$, если через пластинку пропускают ток $I$ (через вершины).

Это уж вообще какой-то бред. Кто конкретно кого впускает, откуда выпускает и вообще при чём тут ОМОН?

[obar]

ewert в сообщении #607551 писал(а):

Да. Уточнить её, конечно, при желании можно, но в любом варианте выйдет некоторый кошмар. Что-нибудь типа: "... и притом проводки подпаяны зеркально симметрично относительно плоскости симметрии пластины..."

Все это совершенно несущественно (см. выше). Единственное трудно устранимое приближение -- "поле подводящих проводов не учитывать."

[ewert]

obar в сообщении #607554 писал(а):

Все это совершенно несущественно (см. выше). Единственное трудно устранимое приближение -- "поле подводящих проводов не учитывать."

Не знаю, насколько существенно поле проводков -- не оценивал. Однако факт, что более-менее зеркальная симметричность поля и то, что оценить нужно напряжённость именно в плоскости симметрии -- принципиально. А это всё в совокупности ни на каком естественном языке естественным образом не формулируемо. Ну разве что на эсперанто.

[Munin]

obar в сообщении #607547 писал(а):

Munin в сообщении #607544 писал(а):

Найти величину индукции магнитного поля внутри пластины в центре.

Уточнение "в центре пластины" лишнее. Изменение магнитного поля то толщине пластины порядка $\Delta B\sim B(h/R)$, в то время как отношение продольной и поперечной компонент $B_{\perp}/B_{\parallel}\sim\ln(R/h)$.

Не знаю, откуда вы это взяли, и что ваши обозначения значат, но ненулевая компонента вдоль пластины над пластиной в пределе бесконечно тонкой пластины имеет место. Это написано в учебниках, с этим согласен ewert.

[ewert]

Munin в сообщении #607570 писал(а):

Не знаю, откуда вы это взяли, и что ваши обозначения значат, но ненулевая компонента вдоль пластины над пластиной в пределе бесконечно тонкой пластины имеет место.

Вероятно, obar имел в виду, что модуль напряжённости при пересечении пластинки (на ненулевом участке) много больше, чем модуль по краям. Честно, на знаю, а оценивать лень -- даже если и так, осмысленности задачке это ни разу не добавляет.

[obar]

Рассмотрите, например, простой случай проводящей ленты толщиной $h$ и ширины $a$. Мгнитное поле на краю ленты

$$ B_{\perp}\sim\frac{jh}{c}\ln(a/h)\,,\quad B_{\parallel}\sim\frac{jh}{c}\,. $$

Ответ "$B=0$" означает, что поле в центре пластины мало в сравнении с типичным полем по пластине (отношение полей $\sim\frac1{\ln(R/h)}$).

[ewert]

obar в сообщении #607581 писал(а):

Ответ "$B=0$" означает, что поле в центре пластины мало в сравнении с типичным полем по пластине (отношение полей $\sim\frac1{\ln(R/h)}$).

Мне по-прежнему лень вдумываться; но вот сами оцените: если так, то смогли бы Вы сформулировать свою задачку на естественном языке?... (т.е. на таком, который заведомо не требовал бы никакого додумывыния)

Для сравнения: предыдущая Ваша задачка (насчёт просто Дирихле) была достаточно разумной; не считая того, что предполагаемый народ был не подготовлен к ней. А тут гораздо хуже, тут просто невозможно её внятно даже и сформулировать, не прибегая к совершенно занудным оговоркам.

[obar]

ewert в сообщении #607582 писал(а):

А тут гораздо хуже, тут просто невозможно её внятно даже и сформулировать, не прибегая к совершенно занудным оговоркам

Оставляю за собой право не согласиться. Симметрия задачи срабатывает лишь для центральной области (размером $\sim h$), где поле $B_0=B_{\parallel}\sim\frac{jh}{c}$. В остальной же области пластины $B\simeq B_{\perp}\sim\frac{jh}{c}\ln(R/h)\gg B_0$.

[svv]

obar в сообщении #607369 писал(а):

Теперь мы можем объединить токи в пары иным способом: ($A_1$, $B_1$), ($A_2$, $B_2$) и т.д. Каждая пара токов ($A_i$, $B_i$) расположена на радиусе и не создает магнитного поля в центре пластины.

Это если соединять $A_i$ и $B_i$. Но в исходной конфигурации два подводящих провода не обязательно располагались на одном радиусе, поэтому и соединять надо со сдвигом, $A_i$ и $B_{i+m}$.

Способ соединения важен, он влияет на величину магнитного поля в центре. Проиллюстрирую это на упрощенных примерах.

Сначала соединим каждый $A_i$ с соответствующим $B_i$ тонким прямым проводником (позволяя токам течь только по проводникам, но не по пластине). Токи потекут по радиусам: $A_1 \to B_1$, $A_2\to B_2$ и так далее, и в центре пластины не будет магнитного поля.

Теперь соединим подводящие провода тонкими проводниками иначе: $A_1\to B_2$, $A_2 \to B_3$ и так далее до $A_n\to B_1$ (для определенности, скажем, по логарифмическим спиралям). У токов появится составляющая $j_\varphi$, к тому же имеющая постоянный знак (там, где она ненулевая), и она будет создавать $B_z\neq 0$ в центре.

Разница между чисто радиальными и "закрученными" токами наглядна и в случае непрерывного распределения ($n\to\infty$, теперь специальных проводников нет, ток течет по пластине):

В этом случае "закрученные" токи (рис. 1) будут суперпозицией:
радиальных токов $j_\rho\neq 0, j_\varphi=0$ (рис. 2), создающих нулевое $B_z$ в центре пластины, и
кольцевых токов $j_\rho=0, j_\varphi\neq 0$ (рис. 3), явно создающих $B_z\neq 0$ в центре.

[obar]

svv в сообщении #607880 писал(а):

Это если соединять $A_i$ и $B_i$. Но в исходной конфигурации два подводящих провода не обязательно располагались на одном радиусе, поэтому и соединять надо со сдвигом, $A_i$ и $B_{i+m}$.

Способ соединения важен, он влияет на величину магнитного поля в центре

Способ соединения не важен. Это следует из единственности решения уравнения Лапласа при заданных граничных условиях.

svv в сообщении #607880 писал(а):

У токов появится составляющая $j_\varphi$, к тому же имеющая постоянный знак

Нет, при несимметричном подключении токи каждой пары будут обтекать центр с разных сторон -- $j_\varphi$ не имеет постоянный знак.

[svv]

Да, согласен. Постоянное $j_\varphi$ на любой окружности $\rho=\operatorname{const}$ означало бы и постоянное $E_\varphi$, а это противоречит потенциальности электрического поля.

Выходит, заставить течь токи так, как на моем рис. 1, можно лишь насильно (например, разделив пластину на отдельные спиральные проводящие дорожки). Там поле в центре будет, но это уже другая задача, а в Вашем примере токи так не потекут.

[svv]

obar
Давайте рассмотрим вместо диска проводящую плоскость (ну, или тонкую бесконечную пластину). Как и в исходной задаче, у нас есть подводящие провода $A$ и $B$, и нас интересует $B_z$ в произвольной точке $O$ на плоскости.

Выберем $O$ центром вращения и проведем рассуждения, аналогичные Вашим. Результатом будет нулевое $B_z$ в точке $O$, а следовательно, и в произвольной точке. По-моему, это удивительно.

Вы подтверждаете результат?

[obar]

svv в сообщении #608025 писал(а):

Вы подтверждаете результат?

Да, подтверждаю. В случае бесконечной пластины можно привести и более простые рассуждения. Рассмотрим вначале одну подводящую точку (токи утекают на бесконечность). Из симметрии ясно, что поле $B_z$ в любой точке равно нулю. Теперь остается добавить вторую точку и применить принцип суперпозиции.

-- Пн авг 20, 2012 13:40:06 --

В данной задаче не составляет труда найти и продольную составляющую поля на поверхности пластины, т.к. она определяется лишь локальным током (током через саму эту точку).