2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Поле в центре пластины
Сообщение15.08.2012, 16:05 
Заслуженный участник


13/04/11
564
(По мотивам задачи "Греем пластину")

Имеется тонкая круглая металлическая пластина радиуса $R$. К двум точкам на краю пластины припаяли провода, через которые пропускают постоянный ток $I$ (угловой размер дуги между контактами $\alpha$). Найти величину индукции магнитного поля в центре пластины. Поле подводящих проводов не учитывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение16.08.2012, 07:32 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Задача допускает интересное обобщение.

Выберем на пластине произвольно две точки (расстояния от точек до центра пластины $r_1$ и $r_2$, угол между соответствующими радиус-векторами $\alpha$). Припаяем к этим точкам провода и пропустим ток $I$. Чему теперь будет равна индукция магнитного поля в центре пластины?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 09:51 


10/02/11
6786
а краевую задачу соответствующую напишите пожалуйста

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В задаче 1 можно считать, что поле определено током в центре. А в задаче 2 нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 13:41 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Oleg Zubelevich в сообщении #607214 писал(а):
а краевую задачу соответствующую напишите пожалуйста
Что-то не ясно по условию задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 15:05 


10/02/11
6786
ну, понятно, отвечаем вопросом на вопрос :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 16:30 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Если условие задачи понятно, то все прочее пишите сами, рассматривайте это как часть задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 16:58 


10/02/11
6786
Вы ведь помните, какая прошлый раз была история. Задача оказалась некорректной, Вам даже несколько контрпримеров построили. Для того чтоб сделать ее корректной понадобились дополнительные предположения и экзотические теоремы... Я думаю, что сейчас тоже самое наблюдается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 17:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Область: $x^2+y^2<R^2,\quad x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta$
Уравнение: $\nabla(\sigma^{-1}\,\nabla\varphi)=0,\quad\sigma^{-1}=\mathrm{const}$

На $r=R\colon\quad\mathbf{n}\cdot\sigma^{-1}\,\nabla\varphi=0$

1) В точке $(x_0,y_0)\quad r=R,\quad \theta=0\colon\quad\displaystyle\oint\limits_{\substack{(x,y)=(x_0,y_0)+\varepsilon\\|\varepsilon|=\mathrm{const}}}(\mathbf{n}\cdot\sigma^{-1}\,\nabla\varphi)dl=I$

В точке $(x_0,y_0)\quad r=R,\quad \theta=\alpha\colon\quad\displaystyle\oint\limits_{\substack{(x,y)=(x_0,y_0)+\varepsilon\\|\varepsilon|=\mathrm{const}}}(\mathbf{n}\cdot\sigma^{-1}\,\nabla\varphi)dl=-I$

2) В точке $(x_0,y_0)\quad r=r_1,\quad \theta=0\colon\quad\displaystyle\oint\limits_{\substack{(x,y)=(x_0,y_0)+\varepsilon\\|\varepsilon|=\mathrm{const}}}(\mathbf{n}\cdot\sigma^{-1}\,\nabla\varphi)dl=I$

В точке $(x_0,y_0)\quad r=r_2,\quad \theta=\alpha\colon\quad\displaystyle\oint\limits_{\substack{(x,y)=(x_0,y_0)+\varepsilon\\|\varepsilon|=\mathrm{const}}}(\mathbf{n}\cdot\sigma^{-1}\,\nabla\varphi)dl=-I$

Искомые величины:
$B_{\parallel}=\tfrac{4\pi}{2c}\sigma^{-1}\,\nabla\varphi\Bigr|_{r=0}$

$\displaystyle B_{\perp}=\tfrac{1}{c}\iint\limits_{x^2+y^2<R^2}\dfrac{|[(x,y)\,\sigma^{-1}\nabla\varphi]|}{r^3}dx\,dy$

$B=\sqrt{B_{\parallel}^2+B_{\perp}^2}$

Я был неправ, задача 1 не менее сложна, чем задача 2, из-за $B_{\perp}\ne 0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 18:19 


10/02/11
6786
Спасибо, но я не понял по какому множеству берется интеграл
Munin в сообщении #607323 писал(а):
1) В точке $(x_0,y_0)\quad r=R,\quad \theta=0\colon\quad\displaystyle\oint\limits_{\substack{(x,y)=(x_0,y_0)+\varepsilon\\|\varepsilon|=\mathrm{const}}}(\mathbf{n}\cdot\sigma^{-1}\,\nabla\varphi)dl=I$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 18:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Лень было выписывать. Проводим вокруг $(x_0,y_0)$ малую полуокружность (для $r=R$) или окружность (для $r<R$) радиуса $|\varepsilon|.$ По ней и интеграл. Извиняюсь за расхлябанность обозначений, остальное всё распознаётся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 19:39 


10/02/11
6786
распознается-то, распознается. Но я думаю, что ТС имел в виду, что $\varepsilon\to 0$. Дельа-функции какие-то на границе, я так и думал. Подумаю над формальным решением

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #607362 писал(а):
Но я думаю, что ТС имел в виду, что $\varepsilon\to 0$.

Я тоже это имел в виду, то есть $\varepsilon$ малы, $\varepsilon\ll R.$ Но совсем уж стремиться к нулю я постеснялся написать.

Я вот думаю, что ТС имел в виду задачу нахождения $B_{\parallel},$ а ошибочно сформулировал её как задачу нахождения $B.$

-- 18.08.2012 20:54:49 --

Munin в сообщении #607364 писал(а):
Я тоже это имел в виду, то есть $\varepsilon$ малы, $\varepsilon\ll R.$ Но совсем уж стремиться к нулю я постеснялся написать.

Впрочем, в силу сохранения тока это неважно. Вообще можно написать не интегралы, а в явном виде сам градиент, если в пределе:
$\lim\limits_{\substack{\varepsilon\to 0\\\exists\lim\mathbf{n}}}|\varepsilon\mspace{-2mu}|\, \sigma^{-1}\,\nabla\varphi=\dfrac{\pm I}{(1,2)\pi}\mathbf{n}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 19:56 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Munin в сообщении #607323 писал(а):
Искомые величины:
$B_{\parallel}=\tfrac{4\pi}{2c}\sigma^{-1}\,\nabla\varphi\Bigr|_{r=0}$
Вы уверенны в это выражении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 20:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Пока да. Если узнаю, в чём моя ошибка, буду неуверен.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group