2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 20:06 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Решение. Рассмотрим вначале случай, когда угол $\alpha$ соизмерим с $2\pi$, т.е. $\alpha=2\pi m/n$. Заметим, что по закону Био -- Савара $d\vec{B}\sim[\mathbf{j}\times\mathbf{r}]$, т.е. магнитное поле в каждой точке пластины (в том числе и в центре) перпендикулярно ее плоскости. Воспользуемся теперь принципом суперпозиции (линейной связью между полем и током). Будем поворачивать исходную картинку $n$ раз вокруг своей оси на угол $2\pi/n$. Если наложить друг на друга эти $n$ распределений, то поле в центре возрастет в $n$ раз. При этом получим конфигурацию токов как на рис.2 (через красные кружки ток втекает, через синие -- вытекает).
Изображение
Теперь мы можем объединить токи в пары иным способом: ($A_1$, $B_1$), ($A_2$, $B_2$) и т.д. Каждая пара токов ($A_i$, $B_i$) расположена на радиусе и не создает магнитного поля в центре пластины. Таким образом, имеем: $nB_0=0$, т.е. поле в центре отсутствует. Случай произвольного угла $\alpha$ получается предельным переходом $n\rightarrow\infty$. В исходной постановке задачи точки $A_i$ и $B_i$ совпадают и ток через пластину не течет.
Ответ: $B_0=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
$\operatorname{Rot}\mathbf{B}=\tfrac{4\pi}{c}\mathbf{i}$ (Тамм (49.8))
Составляющая $\mathbf{B},$ параллельная $\mathbf{i},$ равна нулю из-за симметрии задачи относительно плоскости пластины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение19.08.2012, 11:29 


10/02/11
6786
Задача Неймана с дельта-функциями на границе соответствует задаче Дирихле для сопряженной гармонической функции с граничными условиями имеющими разрывы первого рода. Поэтому корректность сводится к тому, что уже обсуждали.
Само решение задачи это уже стандартная техника. Интеграл Шварца, выражение гармонической функции через граничные значения сопряженной функции. Сплошной Лаврентьев Шабат Методы ТФКП :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение19.08.2012, 12:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Угу. Вопрос в другом (иначе задача не была бы олимпиадная): можно ли решение задачи упростить? И даже так: можно ли решение задачи упростить настолько, чтобы она стала решаемой, даже если человек не знает полноценных методов решения?

obar доказал, что $B_\perp=0,$ но с $B_\parallel$ ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение19.08.2012, 12:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #607370 писал(а):
$\operatorname{Rot}\mathbf{B}=\tfrac{4\pi}{c}\mathbf{i}$ (Тамм (49.8))

Это, знаете ли, ещё как сказать. Поскольку

obar в сообщении #607369 писал(а):
Воспользуемся теперь принципом суперпозиции (линейной связью между полем и током). Будем поворачивать исходную картинку $n$ раз вокруг своей оси на угол $2\pi/n$.

-- все бы ничего (только поворачивать надо, естественно, не дискретно, а непрерывно), если бы не одна беда: магнитное поле при переходе через бесконечно тонкую пластинку меняется скачком. Так что сама постановка задачи выглядит несколько бессмысленной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение19.08.2012, 12:52 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Munin в сообщении #607481 писал(а):
obar доказал, что $B_\perp=0,$ но с $B_\parallel$ ошибся.
Что-то я не понял, Вы о чем? По условию пластина тонкая, поэтому векторы $\mathbf{r}$ и $\mathbf{j}$ лежат в одной плоскости. В этом приближении существует лишь поперечная (к пластине) компонента магнитного поля.
ewert в сообщении #607482 писал(а):
магнитное поле при переходе через бесконечно тонкую пластинку меняется скачком.
Магнитное поле не может меняться скачком (дивергенция поля всегда равна нулю).

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение19.08.2012, 12:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
obar в сообщении #607484 писал(а):
Магнитное поле не может меняться скачком

Не не может, а обязана, если проводящая пластинка бесконечно тонка. Просто по теореме о циркуляции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение19.08.2012, 13:02 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Вы забываете, что магнитное поле перпендикулярно пластине. Посмотрите еще раз на закон Био -- Сававра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение19.08.2012, 13:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
obar в сообщении #607488 писал(а):
Вы забываете, что магнитное поле перпендикулярно пластине.

Вы забываете о том, что понятие магнитного поля на пластинке лишено точного смысла, если пластинка бесконечно тонкая -- именно из-за разрыва.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение19.08.2012, 13:08 
Заслуженный участник


13/04/11
564
ewert в сообщении #607490 писал(а):
именно из-за разрыва
Разрыва чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение19.08.2012, 13:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
obar в сообщении #607491 писал(а):
Разрыва чего?

Разрыва напряжённости.

Ладно, конкретнее. Простой пример: рассмотрите бесконечную плоскость, по которой течёт ток в одном направлении, т.е. поле тока однородно. Чему равно магнитное поле над плоскостью?... А под плоскостью?... А на самой плоскости?...

Естественно, для конечной пластинки качественно будет то же самое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение19.08.2012, 13:22 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Плохой пример. "Бесконечно тонкие" пластины мне не нужны, пластина просто тонкая (так что продольная компонента поля внутри пластины принебрежимо мала в сравнении с поперечной). По закону Био -- Савара
$$
\mathbf{B}=\frac1c\int\frac{[\mathbf{j}\times\mathbf{r}]}{r^3}\,dV
$$
где вектор $\mathbf{r}$ направлен от точки интегрирования в точку наблюдения. И ток и радиус-вектор лежат в плоскости пластины. Значит магнитное поле ортогонально ей и непрерывно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение19.08.2012, 13:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #607482 писал(а):
Это, знаете ли, ещё как сказать.

ewert в сообщении #607482 писал(а):
магнитное поле при переходе через бесконечно тонкую пластинку меняется скачком.

Я ровно об этом и написал. См. в Тамме § 49, что такое $\mathrm{Rot}$ - это аналог $\mathrm{rot}$ для описания граничных условий на поверхностях, например, при наличии поверхностных токов. Читается "поверхностный ротор", и получается из циркуляции взятием такого предела, что протяжённость контура вдоль поверхности стремится к нулю, а поперёк - контур всегда охватывает поверхность с обеих сторон.

obar в сообщении #607484 писал(а):
В этом приближении существует лишь поперечная (к пластине) компонента магнитного поля.

Смотря где. На середине пластины по толщине - да. Над пластиной (где было спрошено в задаче) - нет.

А, впрочем, может быть, вы имели в виду "в центре пластины", подразумевая середину и по толщине... Да, тогда я неправильно понял условия. Но мне такая интерпретация не нравится.

obar в сообщении #607484 писал(а):
Магнитное поле не может меняться скачком (дивергенция поля всегда равна нулю).

Зато ротор не равен. Векторное поле определяется не одной только дивергенцией: оно определяется дивергенцией, ротором и гармоническим слагаемым (которое может быть однозначно связано с граничными условиями на бесконечности, и поэтому часто нуль).

ewert в сообщении #607492 писал(а):
Разрыва напряжённости.

obar мог даже подразумевать не бесконечно тонкую пластину, а тонкую, но ненулевой толщины. Кошмарная формулировка...

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение19.08.2012, 14:04 
Аватара пользователя


10/01/12
314
Киев
Похожая задача есть в МФТИ-шном сборнике
В.Г. Лейман, Г.Р. Локшин, В.А. Овчинкин, Э.В Прут "Сборник задач по общему курсу физики. Часть 2"
Цитата:
№ 5.4 Определить магнитное поле $B$ в центре однородной тонкой металлической пластинки, имеющей форму равностороннего треугольника со стороной $a$, если через пластинку пропускают ток $I$ (через вершины).

Указание. Рассмотреть более общий случай - три подводящих провода к вершинам треугольной пластинки. Пустить ток $I$ от $A$ к $B$, такой же ток от $B$ к $C$ и ток $I$ от $C$ к $A$.

Ответ: $B=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение19.08.2012, 14:18 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Munin в сообщении #607499 писал(а):
obar мог даже подразумевать не бесконечно тонкую пластину, а тонкую, но ненулевой толщины. Кошмарная формулировка...

Я не подразумевал, я именно про это и писал "Имеется тонкая круглая металлическая пластина...". Слов "бесконечно тонкая" нигде в формулировке задачи нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group