Поле в центре пластины

[obar]

Решение. Рассмотрим вначале случай, когда угол $\alpha$ соизмерим с $2\pi$, т.е. $\alpha=2\pi m/n$. Заметим, что по закону Био -- Савара $d\vec{B}\sim[\mathbf{j}\times\mathbf{r}]$, т.е. магнитное поле в каждой точке пластины (в том числе и в центре) перпендикулярно ее плоскости. Воспользуемся теперь принципом суперпозиции (линейной связью между полем и током). Будем поворачивать исходную картинку $n$ раз вокруг своей оси на угол $2\pi/n$. Если наложить друг на друга эти $n$ распределений, то поле в центре возрастет в $n$ раз. При этом получим конфигурацию токов как на рис.2 (через красные кружки ток втекает, через синие -- вытекает).

Теперь мы можем объединить токи в пары иным способом: ($A_1$, $B_1$), ($A_2$, $B_2$) и т.д. Каждая пара токов ($A_i$, $B_i$) расположена на радиусе и не создает магнитного поля в центре пластины. Таким образом, имеем: $nB_0=0$, т.е. поле в центре отсутствует. Случай произвольного угла $\alpha$ получается предельным переходом $n\rightarrow\infty$. В исходной постановке задачи точки $A_i$ и $B_i$ совпадают и ток через пластину не течет.
Ответ: $B_0=0$.

[Munin]

$\operatorname{Rot}\mathbf{B}=\tfrac{4\pi}{c}\mathbf{i}$ (Тамм (49.8))
Составляющая $\mathbf{B},$ параллельная $\mathbf{i},$ равна нулю из-за симметрии задачи относительно плоскости пластины.

[Oleg Zubelevich]

Задача Неймана с дельта-функциями на границе соответствует задаче Дирихле для сопряженной гармонической функции с граничными условиями имеющими разрывы первого рода. Поэтому корректность сводится к тому, что уже обсуждали.
Само решение задачи это уже стандартная техника. Интеграл Шварца, выражение гармонической функции через граничные значения сопряженной функции. Сплошной Лаврентьев Шабат Методы ТФКП

[Munin]

Угу. Вопрос в другом (иначе задача не была бы олимпиадная): можно ли решение задачи упростить? И даже так: можно ли решение задачи упростить настолько, чтобы она стала решаемой, даже если человек не знает полноценных методов решения?

obar доказал, что $B_\perp=0,$ но с $B_\parallel$ ошибся.

[ewert]

Munin в сообщении #607370 писал(а):

$\operatorname{Rot}\mathbf{B}=\tfrac{4\pi}{c}\mathbf{i}$ (Тамм (49.8))

Это, знаете ли, ещё как сказать. Поскольку

obar в сообщении #607369 писал(а):

Воспользуемся теперь принципом суперпозиции (линейной связью между полем и током). Будем поворачивать исходную картинку $n$ раз вокруг своей оси на угол $2\pi/n$.

-- все бы ничего (только поворачивать надо, естественно, не дискретно, а непрерывно), если бы не одна беда: магнитное поле при переходе через бесконечно тонкую пластинку меняется скачком. Так что сама постановка задачи выглядит несколько бессмысленной.

[obar]

Munin в сообщении #607481 писал(а):

obar доказал, что $B_\perp=0,$ но с $B_\parallel$ ошибся.

Что-то я не понял, Вы о чем? По условию пластина тонкая, поэтому векторы $\mathbf{r}$ и $\mathbf{j}$ лежат в одной плоскости. В этом приближении существует лишь поперечная (к пластине) компонента магнитного поля.

ewert в сообщении #607482 писал(а):

магнитное поле при переходе через бесконечно тонкую пластинку меняется скачком.

Магнитное поле не может меняться скачком (дивергенция поля всегда равна нулю).

[ewert]

obar в сообщении #607484 писал(а):

Магнитное поле не может меняться скачком

Не не может, а обязана, если проводящая пластинка бесконечно тонка. Просто по теореме о циркуляции.

[obar]

Вы забываете, что магнитное поле перпендикулярно пластине. Посмотрите еще раз на закон Био -- Сававра.

[ewert]

obar в сообщении #607488 писал(а):

Вы забываете, что магнитное поле перпендикулярно пластине.

Вы забываете о том, что понятие магнитного поля на пластинке лишено точного смысла, если пластинка бесконечно тонкая -- именно из-за разрыва.

[obar]

ewert в сообщении #607490 писал(а):

именно из-за разрыва

Разрыва чего?

[ewert]

obar в сообщении #607491 писал(а):

Разрыва чего?

Разрыва напряжённости.

Ладно, конкретнее. Простой пример: рассмотрите бесконечную плоскость, по которой течёт ток в одном направлении, т.е. поле тока однородно. Чему равно магнитное поле над плоскостью?... А под плоскостью?... А на самой плоскости?...

Естественно, для конечной пластинки качественно будет то же самое.

[obar]

Плохой пример. "Бесконечно тонкие" пластины мне не нужны, пластина просто тонкая (так что продольная компонента поля внутри пластины принебрежимо мала в сравнении с поперечной). По закону Био -- Савара

$$ \mathbf{B}=\frac1c\int\frac{[\mathbf{j}\times\mathbf{r}]}{r^3}\,dV $$

где вектор $\mathbf{r}$ направлен от точки интегрирования в точку наблюдения. И ток и радиус-вектор лежат в плоскости пластины. Значит магнитное поле ортогонально ей и непрерывно.

[Munin]

ewert в сообщении #607482 писал(а):

Это, знаете ли, ещё как сказать.

ewert в сообщении #607482 писал(а):

магнитное поле при переходе через бесконечно тонкую пластинку меняется скачком.

Я ровно об этом и написал. См. в Тамме § 49, что такое $\mathrm{Rot}$ - это аналог $\mathrm{rot}$ для описания граничных условий на поверхностях, например, при наличии поверхностных токов. Читается "поверхностный ротор", и получается из циркуляции взятием такого предела, что протяжённость контура вдоль поверхности стремится к нулю, а поперёк - контур всегда охватывает поверхность с обеих сторон.

obar в сообщении #607484 писал(а):

В этом приближении существует лишь поперечная (к пластине) компонента магнитного поля.

Смотря где. На середине пластины по толщине - да. Над пластиной (где было спрошено в задаче) - нет.

А, впрочем, может быть, вы имели в виду "в центре пластины", подразумевая середину и по толщине... Да, тогда я неправильно понял условия. Но мне такая интерпретация не нравится.

obar в сообщении #607484 писал(а):

Магнитное поле не может меняться скачком (дивергенция поля всегда равна нулю).

Зато ротор не равен. Векторное поле определяется не одной только дивергенцией: оно определяется дивергенцией, ротором и гармоническим слагаемым (которое может быть однозначно связано с граничными условиями на бесконечности, и поэтому часто нуль).

ewert в сообщении #607492 писал(а):

Разрыва напряжённости.

obar мог даже подразумевать не бесконечно тонкую пластину, а тонкую, но ненулевой толщины. Кошмарная формулировка...

[lucien]

Похожая задача есть в МФТИ-шном сборнике
В.Г. Лейман, Г.Р. Локшин, В.А. Овчинкин, Э.В Прут "Сборник задач по общему курсу физики. Часть 2"

Цитата:

№ 5.4 Определить магнитное поле $B$ в центре однородной тонкой металлической пластинки, имеющей форму равностороннего треугольника со стороной $a$, если через пластинку пропускают ток $I$ (через вершины).

Указание. Рассмотреть более общий случай - три подводящих провода к вершинам треугольной пластинки. Пустить ток $I$ от $A$ к $B$, такой же ток от $B$ к $C$ и ток $I$ от $C$ к $A$.

Ответ: $B=0$.

[obar]

Munin в сообщении #607499 писал(а):

obar мог даже подразумевать не бесконечно тонкую пластину, а тонкую, но ненулевой толщины. Кошмарная формулировка...

Я не подразумевал, я именно про это и писал "Имеется тонкая круглая металлическая пластина...". Слов "бесконечно тонкая" нигде в формулировке задачи нет.