2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Поле в центре пластины
Сообщение15.08.2012, 16:05 
Заслуженный участник


13/04/11
564
(По мотивам задачи "Греем пластину")

Имеется тонкая круглая металлическая пластина радиуса $R$. К двум точкам на краю пластины припаяли провода, через которые пропускают постоянный ток $I$ (угловой размер дуги между контактами $\alpha$). Найти величину индукции магнитного поля в центре пластины. Поле подводящих проводов не учитывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение16.08.2012, 07:32 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Задача допускает интересное обобщение.

Выберем на пластине произвольно две точки (расстояния от точек до центра пластины $r_1$ и $r_2$, угол между соответствующими радиус-векторами $\alpha$). Припаяем к этим точкам провода и пропустим ток $I$. Чему теперь будет равна индукция магнитного поля в центре пластины?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 09:51 


10/02/11
6786
а краевую задачу соответствующую напишите пожалуйста

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В задаче 1 можно считать, что поле определено током в центре. А в задаче 2 нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 13:41 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Oleg Zubelevich в сообщении #607214 писал(а):
а краевую задачу соответствующую напишите пожалуйста
Что-то не ясно по условию задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 15:05 


10/02/11
6786
ну, понятно, отвечаем вопросом на вопрос :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 16:30 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Если условие задачи понятно, то все прочее пишите сами, рассматривайте это как часть задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 16:58 


10/02/11
6786
Вы ведь помните, какая прошлый раз была история. Задача оказалась некорректной, Вам даже несколько контрпримеров построили. Для того чтоб сделать ее корректной понадобились дополнительные предположения и экзотические теоремы... Я думаю, что сейчас тоже самое наблюдается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 17:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Область: $x^2+y^2<R^2,\quad x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta$
Уравнение: $\nabla(\sigma^{-1}\,\nabla\varphi)=0,\quad\sigma^{-1}=\mathrm{const}$

На $r=R\colon\quad\mathbf{n}\cdot\sigma^{-1}\,\nabla\varphi=0$

1) В точке $(x_0,y_0)\quad r=R,\quad \theta=0\colon\quad\displaystyle\oint\limits_{\substack{(x,y)=(x_0,y_0)+\varepsilon\\|\varepsilon|=\mathrm{const}}}(\mathbf{n}\cdot\sigma^{-1}\,\nabla\varphi)dl=I$

В точке $(x_0,y_0)\quad r=R,\quad \theta=\alpha\colon\quad\displaystyle\oint\limits_{\substack{(x,y)=(x_0,y_0)+\varepsilon\\|\varepsilon|=\mathrm{const}}}(\mathbf{n}\cdot\sigma^{-1}\,\nabla\varphi)dl=-I$

2) В точке $(x_0,y_0)\quad r=r_1,\quad \theta=0\colon\quad\displaystyle\oint\limits_{\substack{(x,y)=(x_0,y_0)+\varepsilon\\|\varepsilon|=\mathrm{const}}}(\mathbf{n}\cdot\sigma^{-1}\,\nabla\varphi)dl=I$

В точке $(x_0,y_0)\quad r=r_2,\quad \theta=\alpha\colon\quad\displaystyle\oint\limits_{\substack{(x,y)=(x_0,y_0)+\varepsilon\\|\varepsilon|=\mathrm{const}}}(\mathbf{n}\cdot\sigma^{-1}\,\nabla\varphi)dl=-I$

Искомые величины:
$B_{\parallel}=\tfrac{4\pi}{2c}\sigma^{-1}\,\nabla\varphi\Bigr|_{r=0}$

$\displaystyle B_{\perp}=\tfrac{1}{c}\iint\limits_{x^2+y^2<R^2}\dfrac{|[(x,y)\,\sigma^{-1}\nabla\varphi]|}{r^3}dx\,dy$

$B=\sqrt{B_{\parallel}^2+B_{\perp}^2}$

Я был неправ, задача 1 не менее сложна, чем задача 2, из-за $B_{\perp}\ne 0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 18:19 


10/02/11
6786
Спасибо, но я не понял по какому множеству берется интеграл
Munin в сообщении #607323 писал(а):
1) В точке $(x_0,y_0)\quad r=R,\quad \theta=0\colon\quad\displaystyle\oint\limits_{\substack{(x,y)=(x_0,y_0)+\varepsilon\\|\varepsilon|=\mathrm{const}}}(\mathbf{n}\cdot\sigma^{-1}\,\nabla\varphi)dl=I$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 18:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Лень было выписывать. Проводим вокруг $(x_0,y_0)$ малую полуокружность (для $r=R$) или окружность (для $r<R$) радиуса $|\varepsilon|.$ По ней и интеграл. Извиняюсь за расхлябанность обозначений, остальное всё распознаётся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 19:39 


10/02/11
6786
распознается-то, распознается. Но я думаю, что ТС имел в виду, что $\varepsilon\to 0$. Дельа-функции какие-то на границе, я так и думал. Подумаю над формальным решением

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #607362 писал(а):
Но я думаю, что ТС имел в виду, что $\varepsilon\to 0$.

Я тоже это имел в виду, то есть $\varepsilon$ малы, $\varepsilon\ll R.$ Но совсем уж стремиться к нулю я постеснялся написать.

Я вот думаю, что ТС имел в виду задачу нахождения $B_{\parallel},$ а ошибочно сформулировал её как задачу нахождения $B.$

-- 18.08.2012 20:54:49 --

Munin в сообщении #607364 писал(а):
Я тоже это имел в виду, то есть $\varepsilon$ малы, $\varepsilon\ll R.$ Но совсем уж стремиться к нулю я постеснялся написать.

Впрочем, в силу сохранения тока это неважно. Вообще можно написать не интегралы, а в явном виде сам градиент, если в пределе:
$\lim\limits_{\substack{\varepsilon\to 0\\\exists\lim\mathbf{n}}}|\varepsilon\mspace{-2mu}|\, \sigma^{-1}\,\nabla\varphi=\dfrac{\pm I}{(1,2)\pi}\mathbf{n}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 19:56 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Munin в сообщении #607323 писал(а):
Искомые величины:
$B_{\parallel}=\tfrac{4\pi}{2c}\sigma^{-1}\,\nabla\varphi\Bigr|_{r=0}$
Вы уверенны в это выражении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле в центре пластины
Сообщение18.08.2012, 20:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Пока да. Если узнаю, в чём моя ошибка, буду неуверен.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: drzewo


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group