Поле в центре пластины

[obar]

(По мотивам задачи "Греем пластину")

Имеется тонкая круглая металлическая пластина радиуса $R$. К двум точкам на краю пластины припаяли провода, через которые пропускают постоянный ток $I$ (угловой размер дуги между контактами $\alpha$). Найти величину индукции магнитного поля в центре пластины. Поле подводящих проводов не учитывать.

[obar]

Задача допускает интересное обобщение.

Выберем на пластине произвольно две точки (расстояния от точек до центра пластины $r_1$ и $r_2$, угол между соответствующими радиус-векторами $\alpha$). Припаяем к этим точкам провода и пропустим ток $I$. Чему теперь будет равна индукция магнитного поля в центре пластины?

[Oleg Zubelevich]

а краевую задачу соответствующую напишите пожалуйста

[Munin]

В задаче 1 можно считать, что поле определено током в центре. А в задаче 2 нельзя.

[obar]

Oleg Zubelevich в сообщении #607214 писал(а):

а краевую задачу соответствующую напишите пожалуйста

Что-то не ясно по условию задачи?

[Oleg Zubelevich]

ну, понятно, отвечаем вопросом на вопрос

[obar]

Если условие задачи понятно, то все прочее пишите сами, рассматривайте это как часть задачи.

[Oleg Zubelevich]

Вы ведь помните, какая прошлый раз была история. Задача оказалась некорректной, Вам даже несколько контрпримеров построили. Для того чтоб сделать ее корректной понадобились дополнительные предположения и экзотические теоремы... Я думаю, что сейчас тоже самое наблюдается.

[Munin]

Область: $x^2+y^2<R^2,\quad x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta$
Уравнение: $\nabla(\sigma^{-1}\,\nabla\varphi)=0,\quad\sigma^{-1}=\mathrm{const}$

На $r=R\colon\quad\mathbf{n}\cdot\sigma^{-1}\,\nabla\varphi=0$

1) В точке $(x_0,y_0)\quad r=R,\quad \theta=0\colon\quad\displaystyle\oint\limits_{\substack{(x,y)=(x_0,y_0)+\varepsilon\\|\varepsilon|=\mathrm{const}}}(\mathbf{n}\cdot\sigma^{-1}\,\nabla\varphi)dl=I$

В точке $(x_0,y_0)\quad r=R,\quad \theta=\alpha\colon\quad\displaystyle\oint\limits_{\substack{(x,y)=(x_0,y_0)+\varepsilon\\|\varepsilon|=\mathrm{const}}}(\mathbf{n}\cdot\sigma^{-1}\,\nabla\varphi)dl=-I$

2) В точке $(x_0,y_0)\quad r=r_1,\quad \theta=0\colon\quad\displaystyle\oint\limits_{\substack{(x,y)=(x_0,y_0)+\varepsilon\\|\varepsilon|=\mathrm{const}}}(\mathbf{n}\cdot\sigma^{-1}\,\nabla\varphi)dl=I$

В точке $(x_0,y_0)\quad r=r_2,\quad \theta=\alpha\colon\quad\displaystyle\oint\limits_{\substack{(x,y)=(x_0,y_0)+\varepsilon\\|\varepsilon|=\mathrm{const}}}(\mathbf{n}\cdot\sigma^{-1}\,\nabla\varphi)dl=-I$

Искомые величины:
$B_{\parallel}=\tfrac{4\pi}{2c}\sigma^{-1}\,\nabla\varphi\Bigr|_{r=0}$

$\displaystyle B_{\perp}=\tfrac{1}{c}\iint\limits_{x^2+y^2<R^2}\dfrac{|[(x,y)\,\sigma^{-1}\nabla\varphi]|}{r^3}dx\,dy$

$B=\sqrt{B_{\parallel}^2+B_{\perp}^2}$

Я был неправ, задача 1 не менее сложна, чем задача 2, из-за $B_{\perp}\ne 0.$

[Oleg Zubelevich]

Спасибо, но я не понял по какому множеству берется интеграл

Munin в сообщении #607323 писал(а):

1) В точке $(x_0,y_0)\quad r=R,\quad \theta=0\colon\quad\displaystyle\oint\limits_{\substack{(x,y)=(x_0,y_0)+\varepsilon\\|\varepsilon|=\mathrm{const}}}(\mathbf{n}\cdot\sigma^{-1}\,\nabla\varphi)dl=I$

[Munin]

Лень было выписывать. Проводим вокруг $(x_0,y_0)$ малую полуокружность (для $r=R$) или окружность (для $r<R$) радиуса $|\varepsilon|.$ По ней и интеграл. Извиняюсь за расхлябанность обозначений, остальное всё распознаётся?

[Oleg Zubelevich]

распознается-то, распознается. Но я думаю, что ТС имел в виду, что $\varepsilon\to 0$. Дельа-функции какие-то на границе, я так и думал. Подумаю над формальным решением

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #607362 писал(а):

Но я думаю, что ТС имел в виду, что $\varepsilon\to 0$.

Я тоже это имел в виду, то есть $\varepsilon$ малы, $\varepsilon\ll R.$ Но совсем уж стремиться к нулю я постеснялся написать.

Я вот думаю, что ТС имел в виду задачу нахождения $B_{\parallel},$ а ошибочно сформулировал её как задачу нахождения $B.$

-- 18.08.2012 20:54:49 --

Munin в сообщении #607364 писал(а):

Я тоже это имел в виду, то есть $\varepsilon$ малы, $\varepsilon\ll R.$ Но совсем уж стремиться к нулю я постеснялся написать.

Впрочем, в силу сохранения тока это неважно. Вообще можно написать не интегралы, а в явном виде сам градиент, если в пределе:
$\lim\limits_{\substack{\varepsilon\to 0\\\exists\lim\mathbf{n}}}|\varepsilon\mspace{-2mu}|\, \sigma^{-1}\,\nabla\varphi=\dfrac{\pm I}{(1,2)\pi}\mathbf{n}.$

[obar]

Munin в сообщении #607323 писал(а):

Искомые величины:
$B_{\parallel}=\tfrac{4\pi}{2c}\sigma^{-1}\,\nabla\varphi\Bigr|_{r=0}$

Вы уверенны в это выражении?

[Munin]

Пока да. Если узнаю, в чём моя ошибка, буду неуверен.