Книжку посоветуйте: group action

[AlexDem]

Вот здесь встречаю запись:

Цитата:

There is a correspondence between left actions and right actions, given by associating the right action $x \cdot g$ with the left action $g \cdot x := x \cdot g^{-1}$.

Непонятен смысл значка "$:=$", ибо подставляю, например, $2 \cdot x \ne x \cdot 2^{-1}$ -- равенства не получается. Хотел посмотреть в какой-нибудь умной книжке, что это за соответствие такое -- что-то не нашёл.

[apriv]

Отчего ж не получается? В этой формуле определено левое действие группы, если задано какое-нибудь правое действие (ну, или наоборот).

[AlexDem]

Ну вот пусть у нас $x \in R$, берём $10$ и пишем: $2 \cdot 10 := 10 \cdot \frac 1 2$, то есть $20 := 5$, т.е. ":=" - это не равенство.

apriv в сообщении #599581 писал(а):

В этой формуле определено левое действие группы, если задано какое-нибудь правое действие

Нет, не какое-нибудь, здесь о соответствии говорится. Какое-нибудь левое действие можно было просто определить: $g' \cdot x$.

[apriv]

AlexDem в сообщении #599572 писал(а):

Непонятен смысл значка "$:=$", ибо подставляю, например, $2 \cdot x \ne x \cdot 2^{-1}$ -- равенства не получается.

А у меня получается. Еще раз, если задано правое действие $G$ на $X$, то определено выражение $x\cdot g$ для всех $g\in G$, $x\in X$. Теперь можно задать новое левое действие $G$ на $X$, положив для всех $g\in G$, $x\in X$ по определению $g\cdot x=x\cdot g^{-1}$. Обратите внимание, что в этом равенстве слева и справа значки точечки $\cdot$ разные — справа это данное нам правое действие, а слева — совершенно другое, задаваемое нами левое действие. То есть, в Вашем примере изначально определено $x\cdot 2^{-1}$, а Вы определяете $2\cdot x$ по этому равенству. Так мы показали, что по каждому правому действию можно построить соответствующее левое действие. Ну и наоборот, по левому действию совершенно аналогично строится правое действие.

[AlexDem]

apriv в сообщении #599591 писал(а):

положив для всех $g\in G$, $x\in X$ по определению $g\cdot x=x\cdot g^{-1}$

А почему левое действие строится как $g \cdot x := x \cdot g^{-1}$, а, например, не как $g \cdot x := x \cdot g$?

[apriv]

AlexDem в сообщении #599599 писал(а):

apriv в сообщении #599591 писал(а):

положив для всех $g\in G$, $x\in X$ по определению $g\cdot x=x\cdot g^{-1}$

А почему левое действие строится как $g \cdot x := x \cdot g^{-1}$, а, например, не как $g \cdot x := x \cdot g$?

Потому что так определенное действие не будет левым действием, поскольку, как правило, $g\cdot h$ не равно $h\cdot g$. Посмотрите на аксиомы для левого и правого действия, чем они отличаются?

[AlexDem]

apriv в сообщении #599601 писал(а):

как правило, $g\cdot h$ не равно $h\cdot g$

А $g \cdot h$ разве всегда равно $h \cdot g^{-1}$? Я привёл пример с $10$, но Вы сказали, что это у меня там точка слева не та. Так и в выражении $g\cdot h = h\cdot g$ она тогда тоже будет не та, что справа.

apriv в сообщении #599601 писал(а):

Посмотрите на аксиомы для левого и правого действия, чем они отличаются?

Только умножением -- слева или справа вроде бы.

[apriv]

AlexDem в сообщении #599606 писал(а):

apriv в сообщении #599601 писал(а):

как правило, $g\cdot h$ не равно $h\cdot g$

А $g \cdot h$ разве всегда равно $h \cdot g^{-1}$? Я привёл пример с $10$, но Вы сказали, что это у меня там точка слева не та. Так и в выражении $g\cdot h = h\cdot g$ она тогда тоже будет не та, что справа.

А $(g\cdot h)^{-1}$ всегда равно $h^{-1}\cdot g^{-1}$.

Цитата:

apriv в сообщении #599601 писал(а):

Посмотрите на аксиомы для левого и правого действия, чем они отличаются?

Только умножением -- слева или справа вроде бы.

Сравните $g\cdot (h\cdot x)=(g\cdot h)\cdot x$ и $(x\cdot h)\cdot g=x\cdot (h\cdot g)$. В первом равенстве написано: если на $x$ сначала подействовать $h$, а потом подействовать $g$, то результат такой же, как если подействовать сразу $gh$. Во втором равенствен написано: если на $x$ сначала подействовать $h$, а потом подействовать $g$, то результат такой же, как если подействовать сразу $hg$. Первое называется левым действием, второе называется правым действием.

-- 26.07.2012, 16:14 --

AlexDem в сообщении #599606 писал(а):

Так и в выражении $g\cdot h = h\cdot g$ она тогда тоже будет не та, что справа.

Отчего ж не та? Умножение-то в группе какое было, такое и осталось.

[lek]

AlexDem в сообщении #599572 писал(а):

Вот здесь встречаю запись:

Цитата:

There is a correspondence between left actions and right actions, given by associating the right action $x \cdot g$ with the left action $g \cdot x := x \cdot g^{-1}$.

Непонятен смысл значка "$:=$", ибо подставляю, например, $2 \cdot x \ne x \cdot 2^{-1}$ -- равенства не получается. Хотел посмотреть в какой-нибудь умной книжке, что это за соответствие такое -- что-то не нашёл.

Это конечно не равенство, а скорее соответствие (между двумя представлениями группы).
Пусть $G$ - некоторая группа, $a\in G$ и $X=G$. Через $L_{a}$ и $R_{a}$ обозначим операторы левого и правого умножения на элемент $a$ (в группе $G$) соответственно:

$$ L_{a}:x\to ax,\qquad R_{a}:x\to xa, $$

а символами $L_{G}$ и $R_{G}$ - группы, порожденные всеми такими левыми и (соответственно) правыми операторами. Тогда легко показать, что существуют изомрфизмы:

$$ G\to L_{G}\to R_{G}\quad (a\to L_{a}\to R_{a^{-1}}), $$

где операторы записываются (действуют) слева. Таким образом, поскольку

$$ ax=L_{a}x,\qquad xa^{-1}=R_{a^{-1}}x, $$

запись

$$ ax:=xa^{-1} $$

означает просто, что левое $G\to L_{G}$ и правое $G\to R_{G}$ представления группы $G$ на себе изоморфны (и этот изоморфизм задается отображением $L_{a}\to R_{a^{-1}}$, где $a\in G$).

PS
Случай $X\ne G$ исследуется аналогично (однако вместо изоморфизмов здесь появятся гомоморфизмы)...

[Munin]

AlexDem
Вы, кажется, не обращаете внимания, что $x$ и $g$ берутся из разных множеств. Так что у вас, по сути, не один значок умножения, а три разных. Давайте обозначим их по-разному:
Умножение между собой элементов группы $g,h\in G$: $g\circ h\in G$
Умножение элемента пространства $x\in X$ на элемент группы $g\in G$ №1 - левое действие: $g\triangleright x\in X$
Для него выполняется ассоциативность $g\triangleright (h\triangleright x)=(g\circ h)\triangleright x$
Умножение элемента пространства $x\in X$ на элемент группы $g\in G$ №2 - правое действие: $x\triangleleft g\in X$
Для него выполняется ассоциативность $(x\triangleleft g)\triangleleft h=x\triangleleft (g\circ h)$
Теперь станет видно, что речь идёт о соотношении между двумя разными операциями: $g\triangleright x=x\triangleleft g^{-1}.$

Предлагаемые вами аналогии с числами, соответственно, никуда не годятся. Возьмите разнородные объекты: векторы и числовые множители, векторы и преобразования пространства, или что-нибудь ещё в таком духе.

[AlexDem]

Ща, мне надо всё прочитать и обдумать -- пока спасибо за подсказки ...

[lek]

Munin в сообщении #599669 писал(а):

Теперь станет видно, что речь идёт о соотношении между двумя разными операциями:

Эти две разные операции - суть левое и правое представление группы $G$ на множестве $X$ (т.е. пара гомоморфизмов $G$ в группу преобразований множества $X$).

[apriv]

lek в сообщении #599681 писал(а):

Munin в сообщении #599669 писал(а):

Теперь станет видно, что речь идёт о соотношении между двумя разными операциями:

Эти две разные операции - суть левое и правое представление группы $G$ на множестве $X$ (т.е. пара гомоморфизмов $G$ в группу преобразований множества $X$).

Лучше пусть будет один гомоморфизм, а другой антигомоморфизм :)

[Munin]

Что вы человека заваливаете? :-)

[lek]

apriv в сообщении #599686 писал(а):

антигомоморфизм

Для групп нет смысла вводить этот термин. Поскольку если $x\to\phi(x)$ - антигомоморфизм групп, то $x\to\phi(x)^{-1}$ - гомоморфизм групп (и наоборот).