1.2 В
имеет место теорема о единственности разложения на простые множители.
Пусть
,
и
рациональные числа, которые меньше
по абсолютной величине.
Рассмотрим норму
.
Если
,
и
одного знака, то очевидно, что эта норма меньше 1 по абсолютной величине.
Предположим что они не одного знака и
.
Рассмотрим три случая:
1.
2.
,
3.
,
1.
В этом случае
и
.
Для того чтобы норма была не меньше 1 по абсолютной величине,
и
должны быть отрицательными и норма получается не больше
по абсолютной величине.
Но если
, то
и норма получается меньше 1 по абсолютной величине.
Если же
, то
и норма всё равно получается меньше 1 по абсолютной величине.
2.
,
,
Предположим:
и
не меньше 1 по абсолютной величине.
Докажем, что это невозможно.
Обозначим
.
Тогда
,
,
.
Имеем:
(1)
(2)
или
(3)
(4)
Помножим (1) на
, (2) на
и сложим оба неравенства.
Сложим (3) и (4).
Получим:
(5)
или
(6)
Неравенство (6) невозможно, так как
.
Найдём максимум функции
(7)
на интервале
.
Производная этой функции равна
c двумя корнями:
и
. Первый корень даёт максимум фунцкии (7) на интервале
. Этот максимум меньше
.
Поэтому (5) невозможно.
3.
,
,
Предположим:
и
не меньше 1 по абсолютной величине.
Докажем, что это невозможно.
Обозначим
.
Тогда
,
,
.
Этот случай совершенно аналогичен случаю 2.
Что и требовалось доказать.
Из доказанного следует, что кольцо
- евклидово по норме, и в нём имеет место теорема о единственности разложения на простые множители.
Что и требовалось доказать.
(Оффтоп)
В связи с переездом, меня 1-2 дня не будет на форуме.