Исследование гипотезы Гильбрайта

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #596304 писал(а):

При m>6 получаем следующую схему разностей в треугольнике Гильбрайта на интервале от 0 до 1,5m:
$p_{r+1}-1$ 4 2 ... 2 4 $p_{r+1}-1$ 2 $p_{r+1}-1…$

Это неверно при $m=210$: строка разностей тогда имеет вид:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 11 & 13 & 17 & \cdots \\ 10 & 2 & 4 & . & \cdots \end{pmatrix} $$

т.е. $p_{r+1}-1, 2, 4$, а не $p_{r+1}-1, 4, 2$. Более того - у Вас 3-я строка разностей вычислена до 5-го члена, для этого надо знать строку 1-х разностей до 7-го члена, у Вас же она выписана только до 3-го члена.
Т.е. если общее описание "уголков" треугольника Гилбрайта есть, то оно не такое. Кроме того (как я предполагаю, но не доказываю), ИС1 может находится сколь угодно низко.

vicvolf в сообщении #596304 писал(а):

Далее на интервале 0,5m до 1,5m находится число «4», поэтому ИС2 находится ниже.

Тоже не доказано. С чего Вы взяли это?

[vorvalm]

В общем виде строки ИС в ПСВ выделить сложно, т.к. нам известны вычеты:

$1,p_{r+1};\;\;0,5M\pm2^n...<2p_{r+1}.\;\;n\in N$

[Sonic86]

vorvalm в сообщении #596521 писал(а):

В общем виде строки ИС в ПСВ выделить сложно, т.к. нам известны вычеты:

$1,p_{r+1};\;\;0,5M\pm2^n...<2p_{r+1}.\;\;n\in N$

Я знаю, что сложно Это не оправдание плохим доказательствам.
Я вообще не уверен, что это утверждение верно - максимальный пробел в ПСВ растет быстрее, чем $p_{r+1}-1$ (гуглить функцию Якобсталя).

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #596320 писал(а):

vicvolf в сообщении #596304 писал(а):

При m>6 получаем следующую схему разностей в треугольнике Гильбрайта на интервале от 0 до 1,5m:
$p_{r+1}-1$ 4 2 ... 2 4 $p_{r+1}-1$ 2 $p_{r+1}-1…$

Это неверно при $m=210$: строка разностей тогда имеет вид:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 11 & 13 & 17 & \cdots \\ 10 & 2 & 4 & . & \cdots \end{pmatrix} $$

т.е. $p_{r+1}-1, 2, 4$, а не $p_{r+1}-1, 4, 2$. Более того - у Вас 3-я строка разностей вычислена до 5-го члена, для этого надо знать строку 1-х разностей до 7-го члена, у Вас же она выписана только до 3-го члена.

Все верно! Я это знаю! Я и написал, что это попытка доказательства. В ней еще не все учтено.

Цитата:

Кроме того (как я предполагаю, но не доказываю), ИС1 может находится сколь угодно низко.

А вот это не верно. Для nПСВ$_m$ для фиксированного m ИС1 находится в определенной строке разностей. А вот для для простых чисел с увеличением их номера ИС действительно будет находиться сколь угодно низко. Причина заключается в том, что в nПСВ$_m$ максимальные разности не увеличиваются при одной величине модуля, а в простых числах с максимальная разность с увеличением номера числа возрастает.

vicvolf в сообщении #596304 писал(а):

Далее на интервале 0,5m до 1,5m находится число «4», поэтому ИС2 находится ниже.

Цитата:

Тоже не доказано. С чего Вы взяли это?

Все очень просто- 4 не может находится в строке ИС по определению, а если на интервале от 0,5m до 1,5m есть 4, то значит это строка не ИС2, а ИС2 находится ниже (существование ее уже было доказано выше).

-- 18.07.2012, 19:07 --

vorvalm в сообщении #596521 писал(а):

В общем виде строки ИС в ПСВ выделить сложно, т.к. нам известны вычеты:
$1,p_{r+1};\;\;0,5M\pm2^n...<2p_{r+1}.\;\;n\in N$

Но можно. Я покажу далее одну схему.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #596691 писал(а):

а если на интервале от 0,5m до 1,5m есть 4

А если ее там нету?

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #596578 писал(а):

vorvalm в сообщении #596521 писал(а):

Я знаю, что сложно Это не оправдание плохим доказательствам.

Не надо так строго! Мы здесь работаем над доказательствами, которых пока нет. Никто не говорит, что они уже в окончательном виде. Поэтому и обращаемся за советами!

[Sonic86]

(Оффтоп)

vicvolf в сообщении #596695 писал(а):

Не надо так строго! Мы здесь работаем над доказательствами, которых пока нет. Никто не говорит, что они уже в окончательном виде. Поэтому и обращаемся за советами!

Типа "Теорема доказана на 50%"?

З.Ы. Не знаю, как Вам, но по-моему, гипотеза Гилбрайта - это нечто некрасивое А может мы что-то не так делаем...

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #596693 писал(а):

vicvolf в сообщении #596691 писал(а):

а если на интервале от 0,5m до 1,5m есть 4

А если ее там нету?

Алгоритм получения номеров строк ИС для m>6
При m>6 для первых простых чисел получаем следующий треугольник Гильбрайта:
1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4
2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 0 4 4 2
0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 4 0 2
0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 4 2
0 0 0 2 0 0 0 2 0 2 0 2 2
0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 2 0
0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 2
2 2 2 2 2 2 0 0 0 2
0 0 0 0 0 2 0 0 2
0 0 0 0 2 2 0 2
0 0 0 2 0 2 2
0 0 2 2 2 0
0 2 0 0 2
2 2 0 2
0 2 2
2 0
2
Рис. 5а Треугольник Гильбрайта при m>6 для первых простых чисел
Из рис. 5а видно, что при m=30, на интервале от 0 до m ИС1 находится во 2-ой строке разностей. На интервале от 0,5m до 1,5m ИС2 находится в 3-ей строке разностей.
Теперь покажем, что для m=210 на интервале от 0 до m ИС1 находится в 9-ой строке разностей, а ИС2 ниже. Справа расположим колонку из рис 5а, находящуюся под числом «11», начинающуюся с числа «2». Левее числа «2» расположим число 10=6+4, затем число «2», а затем снова число «10» и заполним треугольник разностей до тех пор, пока в колонке под числом «11» не получится число «2»:
.. 1 11 13
10 2 10 2
8 8 8 2
0 0 6 0
0 6 6 0
6 0 6 0
6 6 6 2
0 0 4 0
0 4 4 2
4 0 2 0
Рис 5б Треугольник разностей для m=210
Число «2» действительно получилось в 9 строке разностей. Это положение ИС1. В той же строке находится число «4», поэтому ИС2 находится ниже.
Теперь покажем, что для m=2310 на интервале от 0 до m ИС1 находится в 7-ой строке разностей, а ИС2 ниже. Справа расположим колонку из рис 5а, находящуюся под числом «13», начинающуюся с числа «4». Левее числа «4» расположим число 12=10+2, затем число «2», а затем снова число «12» и заполним треугольник разностей до тех пор пока в колонке под числом «13» не получится число «2»:

.. 1 13 17
12 2 12 4
10 10 8 2
0 2 6 0
2 4 6 0
2 2 6 2
0 4 4 2
4 0 2 2
Рис 5в Треугольник разностей для m=2310
Число «2» действительно получилось в 7 строке разностей. Это положение ИС1. В той же строке находится число «4», поэтому ИС2 находится ниже.
Аналогично показывается, что для m=30030 ИС1 находится в 14 строке разностей, для m=510510 ИС1 находится в 10 строке разностей, а ИС2 находится ниже и.т.д.

Готов ответить на вопросы.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #596578 писал(а):

vorvalm в сообщении #596521 писал(а):

Я вообще не уверен, что это утверждение верно - максимальный пробел в ПСВ растет быстрее, чем $p_{r+1}-1$ (гуглить функцию Якобсталя).

Не нашел в гугле! Можно ссылку?

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #596823 писал(а):

Не нашел в гугле! Можно ссылку?

Вот нашел: A048670
Гуглить по словам "Jacobsthal function"

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #596853 писал(а):

vicvolf в сообщении #596823 писал(а):

Не нашел в гугле! Можно ссылку?

Вот нашел: A048670
Гуглить по словам "Jacobsthal function"

Спасибо! Но это первые разности между простыми числами, а не ПСВ. Максимум этих разностей неуклонно возрастает с увеличением номера, а в ПСВ - не меняется, поэтому ИС в ПСВ находится на фиксированном месте в зависимости от модуля. Все понятно в моем последнем сообщении? В треугольнике (таблице) разностей сочетаются фрагмент ПСВ на интервале от 0 до m и на интервале от 0,5m до 1,5m.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #596920 писал(а):

Но это первые разности между простыми числами

Это неверно. Определение последовательности там написано.
Короче, смысл в том, что наибольшая разность между последовательными элементами ПСВ находится не с краю, а в середине.

vicvolf в сообщении #596759 писал(а):

Алгоритм получения номеров строк ИС для m>6

Алгоритм посмотрел. Ничего умнее, кроме "посчитаем последовательно строки разностей, пока не уткнемся в ИС" не увидел.

(Оффтоп)

На рисунках у Вас не треугольники, а прямоугольники.

vicvolf в сообщении #596759 писал(а):

Число «2» действительно получилось в 9 строке разностей. Это положение ИС1.

Это умозаключение неверно. С чего Вы решили, что если "с краю" треугольника все числа стали $\leqslant 2$, то и во всей строк числа вдруг оказываются $\leqslant 2$? Повторюсь: самые большие пробелы находятся не "с краю".

vicvolf в сообщении #596759 писал(а):

Число «2» действительно получилось в 7 строке разностей. Это положение ИС1.

Аналогичная ошибка.

Короче - так можно долго рассуждать. Пишите нормальное четкое доказательство. Если используете недоказанные утверждения - выделяйте их, что ли.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #596973 писал(а):

vicvolf в сообщении #596759 писал(а):

Число «2» действительно получилось в 9 строке разностей. Это положение ИС1.

Это умозаключение неверно. С чего Вы решили, что если "с краю" треугольника все числа стали $\leqslant 2$, то и во всей строк числа вдруг оказываются $\leqslant 2$? Повторюсь: самые большие пробелы находятся не "с краю".

vicvolf в сообщении #596759 писал(а):

Число «2» действительно получилось в 7 строке разностей. Это положение ИС1.

Очевидно надо добавить, что я рассматривая в данный момент случай с m<$2\cdot3...19=9699690$. При m<$2\cdot3...19=9699690$ максимальные интервалы находятся на границе ПСВm (это подтверждено в работе vorvalm о разностях ПСВ). Я рассмотрел все случаи m<$2\cdot3...19=9699690$ и показал, что строка ИС2 находится ниже строки ИС1, поэтому в данном случае ИС в nПСВ$_m$ совпадает с ИС2. При больших значениях m максимальные интервалы ПСВm, действительно находятся ближе к середине ПСВm, поэтому нахождение положения ИС в этом случае нуждается в дальнейшем анализе.

-- 23.07.2012, 10:22 --

Sonic86 в сообщении #596973 писал(а):

vicvolf в сообщении #596759 писал(а):

Алгоритм получения номеров строк ИС для m>6

Алгоритм посмотрел. Ничего умнее, кроме "посчитаем последовательно строки разностей, пока не уткнемся в ИС" не увидел.

Дело в том, что когда мы достигаем ИС1, то убеждаемся в таблице разностей, что ИС2 находится ниже Для доказательства этого факта для всех случаев с m<9699690 достаточно построить 5 таких таблиц для m=30, 210, 2310, 30030, 510510, что было сделано Таблицы для m=30030, 510510 могу привести.

Цитата:

На рисунках у Вас не треугольники, а прямоугольники.

Назвал треугольниками, так как это - минимально-необходимые для доказательства, вырезки из треугольника Гильбрайта. Можно назвать их таблицами.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #598127 писал(а):

При больших значениях m максимальные интервалы ПСВm, действительно находятся ближе к середине ПСВm, поэтому нахождение положения ИС в этом случае нуждается в дальнейшем анализе.

Ага, вот Там еще остается самый плохой вопрос, но его на потом...

vicvolf в сообщении #598127 писал(а):

Дело в том, что когда мы достигаем ИС1, то убеждаемся в таблице разностей, что ИС2 находится ниже Для доказательства этого факта для всех случаев с m<9699690 достаточно построить 5 таких таблиц для m=30, 210, 2310, 30030, 510510, что было сделано Таблицы для m=30030, 510510 могу привести.

Это понятно. Но тут же как обычно: большое число примеров действительно делает утверждение правдоподобным, однако не доказывает его (т.е. утверждение популярной индукции $P(x_1) \wedge ... \wedge P(x_n)\to \forall x P(x)$ неверно). Таблицы лучше не приводить.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #598131 писал(а):

Это понятно. Но тут же как обычно: большое число примеров действительно делает утверждение правдоподобным, однако не доказывает его (т.е. утверждение популярной индукции $P(x_1) \wedge ... \wedge P(x_n)\to \forall x P(x)$ неверно). Таблицы лучше не приводить.

Не понял, почему не является доказательством - рассмотрение всех случаев?