Асимптотическая плоскость

[Shtorm]

Тогда раскладывая по компонентам вектор $\vec r$ получаем:

$$\begin{cases}x=x_{0}+A \cdot v,\\y=y_{0}+B \cdot v,\\z=z_{0}+u\end{cases}$$

Спасибо.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #591909 писал(а):

уравнение $Ax+By+D=0$ задаёт искомую плоскость

Неверно найдена параметризация.
Проверяется подстановкой: ни при каком $D$ Вы не получите тождества $Ax(u,v)+By(u,v)+D\equiv 0.$
Неужели Мапла не умеет считать векторных произведений?

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #591921 писал(а):

Один вектор, очевидно, (0,0,1), второй можно получить как векторное произведение $(0,0,1)\times(A,B,0)$.

Пардон, утром в попыхах почему-то прочитал не как векторное произведение, а как будто второй вектор равен $(A,B,0)$. А так-то конечно, второй вектор равен $(-B,A,0)$

Таким образом получаем, плоскость перпендикулярная к плоскости $XOY$:

$$\begin{cases}x=x_{0}-B \cdot v,\\y=y_{0}+A \cdot v,\\z=z_{0}+u\end{cases}$$

[Joker_vD]

А мне вот тут днем пришла такая мысль... может, конечно, и глупая. Возьмем $\mathbb R^2$, как-то его компактифицируем до $\overline{\mathbb R^2}$, и назовем прямую $L$ асимптотой к кривой $C$, если их замыкания $\overline L$ и $\overline C$ пересекаются в какой-то добавленной точке: $\overline L\cap \overline C \ne\varnothing,\,\overline L\cap \overline C \subset\overline{\mathbb R^2}\mathbin{\diagdown}{\mathbb R^2}$.

Аналогично для поверхностей, рассматриваем $\overline{\mathbb R^3}$, поверхность $S$ и плоскость $\alpha$, рассматриваем пересечение $\overline\alpha\cap\overline S$, оно должно образовывать бесконечно удаленную... точку? кривую? Хм.

Ну и, конечно, вопрос перехода от $\mathbb R^n$ к $\overline{\mathbb R^n}$ открыт, я что-то сходу и не могу сказать, как он должен осуществляться.

[Алексей К.]

Joker_vD в сообщении #592161 писал(а):

оно должно образовывать бесконечно удаленную... точку? кривую? Хм.

Joker_vD,

я уцепился только за бесконечно удалённую точку в Вашей мысли.
Но вот возьмём известную кривую $|x|^n+|z|^n=1$ (в плоскости XOZ), стремящуюся к квадрату при $n\to\infty$. А теперь пусть она к нему стремится, но при этом и крутится одновременно вокруг OZ:

$$r^\varphi+|z|^\varphi=1,\quad\varphi\geqslant1\text{\small~~(это я чтоб меньше думать добавил; координаты цилиндрические).}$$

Предельная поверхность --- цилиндр-с-обоими-донышками.
Будем мы считать эти донышки асимптотическими плоскостями? Или непременно надо, чтоб в бесконечности сближалось?

[Shtorm]

Joker_vD, спасибо за ценную мысль. Вообще каждое новое сообщение добавляет мне оптимизма, что когда-нибудь мы (Алексей К., не ругайтесь (пусть мы - это я) ) добьём таки данный вопрос - до уровня академической теории - в том смысле, что изложим это в уважаемых учебниках.
А пока "увы" и "ах", но для меня пока вопросы не прояснились в обычном трёх-мерном пространстве. Так что там говорить об n-мерных и уж тем паче - компактифицированных!
Ну, а вот так на вскидку - ради подогрева оптимизма и энтузиазма, Joker_vD, не могли бы Вы написать слёту какое-нибудь уравнение функции трёх независимых переменных, которая будет иметь асимптотическую плоскость или направление?

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Shtorm в сообщении #592184 писал(а):

мы ... (пусть мы - это я) ... изложим это в уважаемых учебниках.

При нынешних тенденциях в образовании такого ужасного финала не исключаю.

[Joker_vD]

Мне вот до сих пор непонятно а) какие свойства должна иметь асимптотическая плоскость, б) нафиг она вообще нужна. Честно говоря, мне это и для обычной асимптоты не очень ясно. Ну да, наклонная асимптота $y=kx+\ell$ доставлят линейное приближение $f(x)=kx+\ell+o(1)$ при $x\to+\infty(x\to-\infty)$. И что?

[Shtorm]

Хотел было уже дополнить наше совместное геометрическое определение, мыслями связанными с геликоидами, но тут подумал, что и без геликоидов пока не определились до конца с множествами плоскостей.
ИСН, я раньше говорил, что множество плоскостей, которыми рассекаем, и в которых асимптоты, должно быть бесконечным неограниченным, кроме локальных неоднородностей. Но потом вспомнил некоторые графики функций одной переменной. У некоторых графиков, например асимптота образована правой веткой, тогда как левая ветка не имеет асимптот, или наоборот. Соответственно, перенося всё это в пространство, правильней будет считать, что такие плоскости есть хотя бы в направлении заданного вектора нормали. То есть если хотя бы там они есть - то уже есть А.П.

-- Чт июл 05, 2012 00:36:30 --

Joker_vD в сообщении #592226 писал(а):

Мне вот до сих пор непонятно а) какие свойства должна иметь асимптотическая плоскость, б) нафиг она вообще нужна. Честно говоря, мне это и для обычной асимптоты не очень ясно. Ну да, наклонная асимптота $y=kx+\el$ доставлят линейное приближение $f(x)=kx+\el+o(1)$ при $x\to+\infty(x\to-\infty)$. И что?

Надо поискать, поспрашивать, где в прикладных задачах применяется асимптота графика функции одной переменной? (может где в физике, технике или экономике?)

А так-то, асимптоту лично я вот применяю где - в Общем исследовании функции одной переменной. Последний пункт этого исследования - схематичное построение графика функции. Без правильно нарисованных асимптот трудновато адекватно изобразить график, особенно, если там несколько ветвей и нет компьютера под рукой
Аналогично, с функциями двух переменных: В той схеме исследования функции двух переменных, которую использую я: всего-то навсего область определения, непрерывность, частные производные первого порядка, стационарные точки, частные производные второго порядка, определитель матрицы Гёссе в стационарных точках, вывод: максимум, минимум, минимакс. Нахождение значений функции в этих точках. Всё.
И вот решая один раз задачу, на нахождение области определения функции двух переменных (причём условие взял из головы) увидел, что область определения представляет собой две пересекающиеся прямые, ну и соответственно областью являются углы, образованные этими прямыми. И я задумался, неужели и сама поверхность так резко изгибается в углах? Нет плавно. Но тогда эти линии в области - это наподобие асимптот? Только не прямые, а плоскости. И пошло, поехало.

[Shtorm]

Алексей К., я тут подумал касательно нескольких Ваших примеров, с использованием разных плоских донышек, образующихся вследствие больших степеней у показательно-степенных и степенных функциях.

Я рассуждаю так:

Расмотрим уравнение плоской кривой

$|x|^n+|y|^n=1$ при $n\to\infty$.

в двухмерном пространстве.

Итак получаем квадрат. Если теперь рассматривать каждую сторону квадрата, то хотя кривизна и будет равна нулю, но асимптотичной эта сторона не будет, поскольку нет эффекта "при удалении точки вдоль кривой в бесконечность расстояние стремится к нулю". Следовательно, я рассуждаю - по аналогии и в трехмерном пространстве: если получаем какое-то донышко, с гауссовой кривизной равной нулю, но при этом донышко геометрически ограничено - как например в цилиндрической бочке или им подобных фигурах, то тоже нельзя считать, что здесь поверхность имеет асимптотическую плоскость.

[Алексей К.]

Соглашусь.
И даже не буду заморачиваться на тему --- что же мне так моск запудрило, что я такую чушь сморозил?
Предыдущий свой пример с тем же ляпом попробую удалить (поскольку он не обсуждался).

[Shtorm]

Shtorm в сообщении #589734 писал(а):

INGELRII в сообщении #589288 писал(а):

Такая мысль посетила:

1) Берем ваще тупо все плоскости $\{N_\alpha\}$. Сечем ими нашу поверхность. Получаем множество всевозможных кривых-сечений $\{L_\alpha\}$. Если какие-то плоскости поверхность не пересекают - нам пофиг.

2) Для каждой из полученного семейства кривых $L_\alpha$ смотрим, имеет ли она асимптоту. Если имеет - строим ее как прямую $m_\alpha$. Получаем семейство асимптотических прямых для всех сечений исходной поверхности, $\{m_\alpha\}$.

3) Теперь смотрим на полученное $\{m_\alpha\}$ и рассматриваем его как множество точек. Если оно содержит в качестве своего подмножества плоскости, то собственно вот - это и есть искомые асимптотические плоскости.

Думаю это будет адекватно и объективно.

Уважаемый INGELRII, таким образом в связи с контрпримером - геликоид, Ваши пункты будут идентифицировать не все асимптотические плоскости. И моё утверждение об объективности и адекватности - теряет всякий смысл. Но, что положительно - мы обнаружили этот недостаток. Хуже было бы, если бы мы его не обнаружили и "дремали в неведении счастливом."

(Оффтоп)

Алексей К., а вот Вы наверное с самого начала держали в голове геликоид и тихо посмеивались над нами

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Shtorm в сообщении #592537 писал(а):

Алексей К., а вот Вы наверное с самого начала держали в голове геликоид и тихо посмеивались над нами

Я не знаю, что такое геликоид. (Рассказывать не надо: захочу узнать --- отыщу сам).
В этой теме я читал только про то, и отвечал только на то, что не требовало дополнительных телодвижений.

Shtorm в сообщении #592537 писал(а):

... над нами

Опять обобщаете...

[INGELRII]

Shtorm в сообщении #592537 писал(а):

Уважаемый INGELRII, таким образом в связи с контрпримером - геликоид, Ваши пункты будут идентифицировать не все асимптотические плоскости.

Э-э-э, у геликоида есть хоть одна асимптотическая плоскость? Я что-то пропустил? Можно повторить? (кстати, если есть хоть одна, то есть и бесконечно много - целый континуум)

Мне представляется, что таковых плоскостей у геликоида нету. И мое определение это адекватно отражает

[Shtorm]

Уточним, не обычный геликоид, а экспоненциальный

$$\begin{cases}x=u\cos v,\\y=u\sin v,\\z=e^{-v},\end{cases}$$

Такая гиликоидоподобная поверхность, имеет АП $z=0$.