Самое большое число в мире

[PAV]

shust писал(а):

Someone писал(а):

Теорема Гёделя говорит о существовании недоказуемых, но истинных утверждений

Кто может привести пример хотя бы одного такого утверждения. Я по своей наивности что-то не могу припомнить хотя бы одно такое.

Вообще-то доказательство этого утверждения и состоит в построении примера такого утверждения. Не думаю, что это легко объяснить "на пальцах" в рамках форумного сообщения.

[XpeH]

shust писал(а):

Кто может привести пример хотя бы одного такого утверждения. Я по своей наивности что-то не могу припомнить хотя бы одно такое.

Я конечно не Гедель)), но постараюсь. На большинстве форумах, посвященным единоборствам, есть группа пользователей, которую принято называть "традиционщики". Это люди которые занимаются/интересуются традиционными боевыми искусствами, такими как например китайское у-шу и т.д. Так вот, некоторые из этих людей(скорее те которые интересуются) утверждают, что мастера традиционных БИ могут порвать любого бойца-спортсмена(чаще всего приводят в пример боксеров-профессионалов, таких как Тайсон, Льюис и чемпионов по различным версиям боев без правил). Когда же этих людей спрашивают, почему мастера не выступают, ответ одинаков, мастерам это нафиг не нужно, у них и так все в порядке)). Вот Вам пример утверждения, которое может быть истинным, но которое невозможно проверить(т.к. если уж мастер и выйдет на ринг, он перестает быть "мастером БИ", а становиться обычным спортсменом). По аналогии можно еще примерчиков построить.

[shust]

PAV писал(а):

Вообще-то доказательство этого утверждения и состоит в построении примера такого утверждения.

Не совсем понятна фраза, особенно первая часть до союза и. Возможно вы имели в виду доказательство теоремы Геделя, или пропущено слово существование после слова доказательство. А если понимать впрямую , то как

PAV писал(а):

доказательство этого утверждения

согласуется с существованием недоказуемых (но истинных) утверждений

Не можете ли Вы или кто-нибудь еще привести пример содержательного математического утверждения, отвечающего теореме Геделя. Привет ХреН-у и его реплике о мастерах традиционных боевых искуств.

[XpeH]

2 shust ну это утверждение очень легко формализовать. какая разница о чем говорить о числах, функциях, "галошах" или чем-то еще?
Что означает

Цитата:

пример содержательного математического утверждения

? Никогда не сталкивались с логическими задачками, типа "Все барматульки деляться на паровозных и красных, некоторые красные барматульки, носят прикорки. Все куртяпки обязательно носят прикорки. Бывают ли куртяпки, которые
а) Не являются красными барматульками
б) Являются паравозными
Мой пример про мастеров, которых нельзя сравнивать со спортсмена, легко можно привести к предикатному виду. Только зачем? Смысл и так понятен
1) Основная аксиома: все мастера сильнее всех спортсменов
2) Критерий, по которому определяется сила бойцов - очная схватка на ринге
3) Если мастер выходит на ринг, то он становиться спортсменом
ЗЫ Сорри за некоторую корявость, сочинял сам, никогда раньше подобным не занимался.

[shust]

2 ХреН. Например, в рамках аксиоматики Пеано какое утверждение о числах, выразимое в этой аксиоматике является верным, но не доказуемым?

[Котофеич]

shust писал(а):

2 ХреН. Например, в рамках аксиоматики Пеано какое утверждение о числах, выразимое в этой аксиоматике является верным, но не доказуемым?

Утверждение о непротиворечивости арифметики Пеано (Consis[PA]), является выразимым на языке арифметики Пеано, посредством некоторой явно заданной формулы языка PA, не доказуемым средствами арифметики Пеано и истинным в стандартной модели N арифметики Пеано.

[PAV]

shust писал(а):

2 ХреН. Например, в рамках аксиоматики Пеано какое утверждение о числах, выразимое в этой аксиоматике является верным, но не доказуемым?

Я не являюсь специалистом в данном вопросе, так что могу что-то сказать не совсем четко. Но по мотивам популярных изложений пример самого Геделя (его собственное доказательство) имеет следующий вид.

Гедель разработал систему формальной записи утверждений и некоторую систему, согласно которой каждому утверждению приписывается некоторый уникальный номер ("геделев номер").

Далее, можно словами сформулировать следующее утверждение: "Формула, имеющая геделев номер N, не выводима". Это утверждение (обозначим его U(N)) также можно записать в виде формальной формулы и оно получит свой геделев номер N'.

Так вот, Гедель показал (или даже явно построил, не знаю) такой номер N, что утверждение U(N) имеет номер N'=N. Т.е. фактически утверждение заявляет, что его самого нельзя доказать.

Далее все просто. Мы исходим из аксиомы, что арифметика непротиворечива (в противоречивой теории теорема Геделя неверна, так как доказуемо любое утверждение). Тогда формулу U(N) действительно нельзя вывести, иначе получим противоречие. Так и получается, что это утверждение верно, но не выводимо.

[Someone]

shust писал(а):

Someone писал(а):

Теорема Гёделя говорит о существовании недоказуемых, но истинных утверждений

Кто может привести пример хотя бы одного такого утверждения. Я по своей наивности что-то не могу припомнить хотя бы одно такое.

Справочная книга по математической логике. Часть IV. Теория доказательств и конструктивная математика. Москва, "Наука", 1983.

В главе 8 ("Математическая неполнота в арифметике Пеано") рассматривается пример математически содержательного утверждения, которое в арифметике Пеано истинно, но недоказуемо. Истинно оно потому, что доказуемо в теории множеств.

[XpeH]

Что самое смешное, примером истинного утверждения, которое нельзя доказать, является сама фраза: "Существуют истнинные утверждения, которые нельзя доказать"(обозначим его буквой А). Правда возникает интересный парадокс, т.к. мы нашли пример такого утверждения, то А - становиться истинным, следовательно не годится в качестве примера, и т.д. Обожаю такие парадоксики)) Нечто вроде "Может ли всемогущий Бог создать камень, который не сможет поднять". А вообще, это перекликается с тем, что сказал PAV

[Brukvalub]

Вот очень хорошая книга известного специалиста по логике, где в форме решения занимательных задач разъясняется теорема Гёделя о неполноте: Смаллиан Р. — Как же называется эта книга?

[Котофеич]

XpeH писал(а):

Что самое смешное, примером истинного утверждения, которое нельзя доказать, является сама фраза: "Существуют истнинные утверждения, которые нельзя доказать"(обозначим его буквой А). Правда возникает интересный парадокс, т.к. мы нашли пример такого утверждения, то А - становиться истинным, следовательно не годится в качестве примера, и т.д. Обожаю такие парадоксики)) Нечто вроде "Может ли всемогущий Бог создать камень, который не сможет поднять". А вообще, это перекликается с тем, что сказал PAV

Ничего смешного. Ведь это не истинные а условно-истинные предложения.

[Кардановский]

PAV: Хорошие вопросы.Развернутые ответы на них ,пожалуй потянут на нехилую диссертацию. Мне нужно немного подумать,чтобы ответить. ХреН: Молодец! Подковал таки аглицкую блоху! Правда,моим методом. Постараюсь на эти подковки сделать свои гвоздики.

[Дима Тишков]

Пример содержательного утверждения, которое в арифметике Пеано истинно, но недоказуемо - модификация теоремы Рамсея, доказанная Пари (Пэрисом) и Харрингтоном. Другой пример - теорема Гудштейна (Гудштайна? Гудстейна? Гудстайна? - все источники, которые я нашел, на англ. яз.). Кстати, там получаются очень большие числа - как раз в тему. Доказательство теоремы Гёделя прекрасно пересказано Хофштадтером в "ГЭБ".

[Кардановский]

ХреН: Как и обещал, изготовил "гвоздики" к вашим подковкам для аглицкой блохи. Для этого пришлось изобрести новое понятие ВЕЩЕСТВЕННЫЙ ФАКТОРИАЛ. Это ,произведение всех вещественных чисел,расположенных в порядке возрастания от 0 (не вклячая его),до N(включая N). Т.е. вещественный аналог классического факториала для натурального ряда чисел - N! Предлагаю вещественный факториал обозначать- NN! Ну а далее, дав эти новые определения и разъяснения, теперь , позвольте предложить на ваш суд и число большее предложенного вами, т.е., на данный момент, самое большое из всех когда-либо и кем либо предложенных. Вот оно: ВЕЩЕСТВЕННЫЙ ФАКТОРИАЛ БЕСКОНЕЧНОСТЬ, возведенный в степень ВЕЩЕСТВЕННЫЙ ФАКТОРИАЛ БЕСКОНЕЧНОСТЬ, ВЕЩЕСТВЕННЫЙ ФАКТОРИАЛ БЕСКОНЕЧНОЕ количество раз!

[Brukvalub]

Кардановский писал(а):

Для этого пришлось изобрести новое понятие ВЕЩЕСТВЕННЫЙ ФАКТОРИАЛ. Это ,произведение всех вещественных чисел,расположенных в порядке возрастания от 0 (не вклячая его),до N(включая N)

А чему равен е! ?