Данный пост пишу для тех, кто ещё верит, что существует простое решение ВТФ.
К счастью, форум позволяет экспериментировать в этом направлении и подпитывать чьи-то надежды.
Известно, что в конечных полях, существует бесконечное множество решений основного уравнения ВТФ, а в целых положительных числах нет ни одного решения.
Чтобы как-то обозначить такую ситуацию с решениями, будем называть решения в конечном поле “фантомными”, если они не имеют решений в целых положительных числах. Возможно, что в математике есть другой термин. Во всяком случае не всегда взгляды на термины однозначны. Так, у нас используется термин - формула ускоренного умножения, почему-то везде используют другой термин - формула факторизации. Вам понятно как ускоряется умножение в формуле? Мне не очень.
Переходим к сути темы. Как Вы, наверное, уже поняли, ВТФ будем доказывать методом фильтрации фантомных решений.
Предположим, что ВТФ не доказана. В таком случае, предполагаем, что не все решения в конечных полях будут фантомными и определенная часть из них, возможно, имеет решения в целых положительных числах. Назовем возможные решения – истинными решениями.
Суть метода заключается в том, чтобы показать, что для любой тройки (x, y, z) всегда найдется конечное поле, в котором имеются только фантомные решения и отсутствуют истинные решения.
Доказательство проведем для показателя степени n=3. (Для других показателей, как ни странно, доказательство не сильно усложняется.)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(11) противоречит (7), т.к.
{
}
(12)
Два натуральных числа
из отрезка
сравнимы по модулю
тогда и только тогда, когда они равны. Так как сравниваемые числа значительно меньше модуля, то делаем вывод о равенстве чисел. Такое равенство противоречит условию (7), для целых положительных чисел, уравнения (1), т.к. числа имеют общий множитель
. Это доказывает, что возможно только фантомное решение уравнения (1).
Таким образом, показано, что можно получить для любой пары
– положительное число
, которое является
обязательной частью решения уравнения (1). Но значение
всегда сравнимо с
по модулю
Учитывая, что предложенный для доказательства модуль значительно превышает
, делаем вывод, что решение уравнения (1) является фантомным.
Пример, пусть
В таком случае,
,
.
Действительно,
Из (11) следует также противоречие с (3).