Исследование гипотезы Гильбрайта

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #588408 писал(а):

Когда мы рассматриваем кПСВ$_m$ без 1, то надо иметь в виду,
что в этом случае одиночные ПСВ будут начинаться с $p_{r+1}$
и заканчиваться $m+1,$ т.е. должно соблюдаться равенство $\varphi(m).$
Иначе это будут не ПСВ.

Без 1 берется только первая ПСВ$_m$. Она естественно не является по определению ПСВ. Все последующие ПСВ$_m$ остаются без изменения. Я еще к этому вопросу вернусь, так как следствие 2 еще до конца не доказано. Продолжение будет в следующем сообщении, если нет других вопросов.

[vicvolf]

Продолжение.
Для строки индикатора сходимости выполняются свойство.
Если в основании треугольника Гильбрайта находится ограниченная последовательность, состоящая из нескольких интервалов, при этом на каждом интервале строка индикатор сходимости располагается в разных строках треугольника, то строка индикатор сходимости для всей последовательности находится в строке треугольника Гильбрайта с наибольшим номером.
Доказательство. Предположим противное, что строка с индикатором сходимости расположена выше строки с наибольшим номером. Это значит на интервале, где строка сходимости имеет наибольший номер, в строке с меньшим номером имеются разности большие 2. Следовательно, на основании определения, данная строка не является строкой индикатора сходимости. Таким образом, мы пришли к противоречию, которое доказывает свойство.

Из-за больших расстояний между числами, находящимися на интервале 0,5m до 1,5m последовательности nПСВ$_m$:$ …, m-p_{r+1}, m-1, m+1, m+p_{r+1},…$.строка индикатор сходимости на этом интервале расположена ниже строки индикатора сходимости на интервале от 0 до 0,5m в треугольнике Гильбрайта, где важное значение для расположения строки индикатора сходимости является расстояние между числами $1, p_{r+1}$.

Используя доказанное выше свойство строки индикатора сходимости изменим доказательства следствий теоремы 3.

Следствие 1
Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность nПСВm содержит строку разностей – индикатор сходимости, которая является продолжение строка индикатора сходимости на интервале от 0,5m до 1,5m.
Доказательство. На основании свойства строки индикатора сходимости на интервале от 0 до 1,5m (объединение двух интервалов 0, 0,5m и 0,5m, 1,5m) строка индикатор сходимости для всей последовательности находится в строке треугольника Гильбрайта с наибольшим номером, т.е равным номеру строки индикатора сходимости на интервале 0,5m, 1,5m.
По определению nПСВ$_m$ данная последовательность содержит разности в треугольнике Гильбрайта периодически повторяющиеся с периодом m, в том числе и строку индикатор сходимости на интервале от 0,5m до 1,5m.
В качестве примера на рис.2 рассмотрим треугольник Гильбрайта с основанием 3*ПСВ$_m$, где m=30=2*3*5, а n=3:
1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4
0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2
0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2
0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2
0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Рис.2 Треугольник Гильбрайта с основанием 3*ПСВ$_{30}$
На рис.2 строка индикатор сходимости выделена жирным шрифтом.

Следствие 2
Треугольник Гильбрайта, в основании которого находятся простые числа: $2, 3,…p_r$ и далее последовательность nПСВ$_m$, будет содержать строку индикатор сходимости, которая расположена также, как в треугольнике Гильбрайта с основанием nПСВ$_m$.
Доказательство.
На основании следствия 1 треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность nПСВ$_m$ содержит строку разностей – индикатор сходимости, которая является продолжение строка индикатора сходимости на интервале от 0,5m до 1,5m nПСВ$_m$.
Как уже говорилось ранее, строка индикатор сходимости в треугольнике Гильбрайта на интервале от 0 до 0,5m nПСВ$_m$ расположена выше строки индикатора сходимости на интервале от 0,5m до 1,5m nПСВ$_m$. Важное значение для расположения строки индикатора в треугольнике Гильбрайта сходимости на интервале от 0 до 0,5m nПСВ$_m$ является расстояние между числами $1, p_{r+1} (p_{r+1}-1)$.
Заменим число 1 в основании треугольника Гильбрайта на простое число 2, при этом расстояние уменьшится до $p_{r+1}-2$. Добавим в основание треугольника простое число 3, при этом расстояние уменьшится до $p_{r+1}-3$ и.т.д. Добавим в основание треугольника простое число pr, при этом расстояние уменьшится до $p_{r+1}- p_r$. Естественно, при уменьшении данного расстояния строка индикатор сходимости на интервале от 0 до 0,5m nПСВm не должна опуститься, поэтому номер ее останется меньше, чем на интервале от 0,5m до 1,5m nПСВ$_m$. Поэтому положение строки индикатора сходимости для обшей последовательности будет соответствовать расположению строки индикатора сходимости на интервале от 0,5m до 1,5m nПСВ$_m$., а следовательно также, как в nПСВ$_m$ ч.т.д.
В качестве примера на рис.3 рассмотрим треугольник Гильбрайта с основанием: 2, 3, 5 и далее 3ПСВ$_{30}$:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91
1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
1 0 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4
1 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2
1 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2
1 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2
1 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2
1 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Рис.3 Треугольник Гильбрайта с основанием: 2, 3, 5 и далее 3ПСВ$_{30}$
Из рис. 3 видно, что строка индикатор сходимости, выделенная жирным шрифтом, не изменила свое расположение (сравни с рис 2).

Буду благодарен за замечания и предложения.

[vorvalm]

Замечания в основном по форме.
1. Почти в каждой строчке вашего сообщения есть словосочетание "индикатор сходимости".
Это вызывает некоторую неприязнь. Может надо было заменить это на аббревиатуру "ИС"
и стало бы легче.(мне кажется)
2. Заметна некоторая торопливость изложения, т.е. не устранены неточности, описки и т.д.
3. Долго и нудно объясняете, что располагая числа $P(r)=\{2,3,...p_r\}$ между
$(0,p_{r+1})$ вы уменьшаете разности.
4.Если вы рассматриваете ПСВ, то зачем элементы ПСВ называть натуральными числами.
Есть короткое слово - вычет.
На будущее, при использовании LaTeX неудобно совмещать "ПСВ".
Предлагаю исползовать английский перевод -RSD (reduced system of the deductions).
По существу. Вы сравниваете "ИС" несравнимых по числу вычетов интервалов.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #588777 писал(а):

Замечания в основном по форме.
1. Почти в каждой строчке вашего сообщения есть словосочетание "индикатор сходимости".
Это вызывает некоторую неприязнь. Может надо было заменить это на аббревиатуру "ИС"
и стало бы легче.(мне кажется)
2. Заметна некоторая торопливость изложения, т.е. не устранены неточности, описки и т.д.
3. Долго и нудно объясняете, что располагая числа $P(r)=\{2,3,...p_r\}$ между
$(0,p_{r+1})$ вы уменьшаете разности.
4.Если вы рассматриваете ПСВ, то зачем элементы ПСВ называть натуральными числами.
Есть короткое слово - вычет.

Спасибо, учту!

Цитата:

По существу. Вы сравниваете "ИС" несравнимых по числу вычетов интервалов.

ИС существует в треугольнике Гильбрайта с любым основанием вида - 3 и далее последовательность нечетных чисел с возможными пропусками, а не только для вычетов ПСВ. Поэтому последовательность чисел в основании можно разбивать на интервалы любой длины.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #588883 писал(а):

последовательность чисел в основании можно разбивать на интервалы любой длины.

С вычетами ПСВ это вряд ли возможно.

[vicvolf]

Как я понял, разговор идет о доказательстве следствия 2?
В первой части доказательства рассматривается последовательность вычетов nПСМ$_m$, для которой справедливо следствие 1, т.е. существует ИС, совпадающая по номеру строки с nПСМ$_m$ на интервале (0.5m, 1,5m). При этом строка ИС естественно существует и на интервале (0, 0,5m) nПСМ$_m$.
Далее я в данное основание на интервале (0, 0,5m) nПСМ$_m$ вставляю дополнительно простые числа между вычетами 1 и $p_{r+1}$, уменьшая расстояние между ними. Естественно ИС на данном интервале не может опуститься, поэтому общая ИС останется без изменения, так как у нее номер больше, равный ИС на интервале (0.5m, 1,5m).
В каком месте неправильно?

[vorvalm]

Смотря что понимать под "интервалом любой длины"...

Какую все-таки роль играет строка ИС в сходимости ТГ ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #589147 писал(а):

Смотря что понимать под "интервалом любой длины"...

В следствии 2 мы рассматриваем два интервала вычетов nПСВ$_m$: (0, 0.5m) и (0.5m, 1.5m).

Цитата:

Какую все-таки роль играет строка ИС в сходимости ТГ ?

Непосредственное. Начиная с этой строки, треугольник Гильбрайта содержит только числа 0 и 2. Соответственно первый элемент строки тоже будет 0 или 2, поэтому треугольник Гильбрайта, начиная с этой строки, сходится.
Например.
3 5 9 11 17 19 25
2 4 2 6 2 6
2 2 4 4 4
0 2 0 0
2 2 0
0 2
2
ИС выделена жирным шрифтом. Ниже только строки с 0 и 2. Но это не значит, что треугольник Гильбрайта расходится в строках выше ИС, так как для сходимости требуется наличие 0 или 2 только в первом элементе строки. Первые элементы 1-ой и 2-ой строки в данном примере содержат числа 2, поэтому треугольник Гильбрайта сходится во всех строках. Если треугольниках Гильбрайта сходится во всех строках, то я просто говорю, что треугольник сходится. Если треугольник Гильбрайта не сходится, хотя бы одной строке (первый элемент в строке больше 2), то я говорю, что треугольник расходится.

[Sonic86]

vicvolf, если Вы хотите использовать симметрию $\text{ПСВ}_M$ на интервале $[\frac{M}{2};\frac{3M}{2}]$ для обоснования сходимости треугольника Гилбрайта через появление нулевой строки, то получится вряд ли, потому что $M=M_n=p_1...p_n$ растет быстрее экспоненты, а верхний конец интервала $(p_n,p_n^2)$, где $\text{ПСВ}_M$ совпадает с простыми числам, растет всего лишь как $n^2 \ln^2 n$. Для $M=30$ этого просто еще не видно, для $M=210$ и далее - уже видно.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #589216 писал(а):

vicvolf, если Вы хотите использовать симметрию $\text{ПСВ}_M$ на интервале $[\frac{M}{2};\frac{M}{2}]$ для обоснования сходимости треугольника Гилбрайта через появление нулевой строки

Наверно имеется в виду интервал nПСВ$_m$ от 0 до 0,5m, где $m=2*3*...*p_r$?

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #589245 писал(а):

Наверно имеется в виду интервал nПСВ$_m$ от 0 до 0,5m, где $m=2*3*...*p_r$?

Нет, но исправил опечатку: $[\frac{M}{2};\frac{3M}{2}]$

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #589216 писал(а):

vicvolf, если Вы хотите использовать симметрию $\text{ПСВ}_M$ на интервале $[\frac{M}{2};\frac{3M}{2}]$ для обоснования сходимости треугольника Гилбрайта через появление нулевой строки, то получится вряд ли, потому что $M=M_n=p_1...p_n$ растет быстрее экспоненты, а верхний конец интервала $(p_n,p_n^2)$, где $\text{ПСВ}_M$ совпадает с простыми числам, растет всего лишь как $n^2 \ln^2 n$. Для $M=30$ этого просто еще не видно, для $M=210$ и далее - уже видно.

Нулевая строка из-за симметрии вычетов ПСВ относительно 0,5m начинается еще на интервале от 0 до 0,5m.

[Sonic86]

Может я не понял идею... не знаю...

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #589216 писал(а):

а верхний конец интервала $(p_n,p_n^2)$, где $\text{ПСВ}_M$ совпадает с простыми числам, растет всего лишь как $n^2 \ln^2 n$

Кстати для больших значений m этот интервал также находится от 0 до 0,5m.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #589216 писал(а):

vicvolf, если Вы хотите использовать симметрию $\text{ПСВ}_M$ на интервале $[\frac{M}{2};\frac{3M}{2}]$ для обоснования сходимости треугольника Гилбрайта через появление нулевой строки, то получится вряд ли, потому что $M=M_n=p_1...p_n$ растет быстрее экспоненты, а верхний конец интервала $(p_n,p_n^2)$, где $\text{ПСВ}_M$ совпадает с простыми числам, растет всего лишь как $n^2 \ln^2 n$. Для $M=30$ этого просто еще не видно, для $M=210$ и далее - уже видно.

Теперь при доказательстве утверждений используется строка индикатор сходимости (ИС). ИС находится значительно выше нулевой строки. Например, при r=4 (m=2*3*5*7=210) ИС находится в 15 строке разностей треугольника Гильбрайта под строкой первых разностей - 2,10,2,10,2. 15 строка соответствует вычету 67 на интервале от 0 до 0,5m, который значительно меньше $p^2_{r+1}=11^2=121$. Таким образом, если треугольник Гильбрайта сходится до числа 67 (с решетом Эратосфена в основании треугольника при r=4), то из-за наличия ИС в15 строке далее он сходится везде.
При r=5 (m=2*3*5*7*11=2310) ИС находится в 9 строке разностей треугольника Гильбрайта, т.е выше чем при m=210, так как находится под строкой первых разностей: 4,12,2,12,4. 9-ая строка соответствует вычету 41 на интервале от 0 до 0,5m, который значительно меньше $p^2_{r+1}=13^2=169$. При r=6 (m=2*3*5*7*11*13=30030) ИС находится опять в 15 строке разностей треугольника Гильбрайта, так как находится под строкой первых разностей: 2,16,2,16,2. 15-ая строка соответствует вычету 67 на интервале от 0 до 0,5m, который значительно меньше $p^2_{r+1}=17^2=289$ и.т.д.