2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычисление циркуляции по т.Стокса
Сообщение23.06.2012, 01:19 


23/06/12
7
Москва
Доброго времени суток, уважаемые форумчане!
Просьба помочь с решением данной задачи:
Необходимо вычислить циркуляцию по замкнутому контуру:

$\int_L ((y+2z)dx + (x+2z)dy + (x+2y)dz)$

$L= \{ x^2 + y^2 + z^2 =1  ;  x^2 + 2y + 2z =0 \} $

Основная проблема в том, что я не могу понять, как найти вектор нормали? Точнее к какой плоскости, или нужно как-то преобразовать два выражения в одно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление циркуляции по т.Стокса
Сообщение23.06.2012, 10:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7135
Если вычесть из первого ограничения второе, то получится окружность, которую можно естественно параметризовать.

-- Сб июн 23, 2012 11:11:11 --

А дальше нужно получить параметрическое задание множества $L$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление циркуляции по т.Стокса
Сообщение23.06.2012, 11:12 


23/06/12
7
Москва
Получается такое выражение:
$y^2 - 2y + z^2 - 2z = 1$
Каким образом параметризовать?
Исходя из того, что исходное уравнение окружности (для данного случая) имеет вид $y^2 + z^2 = 1$, то необходимо как то избавиться от $-2y$ и $-2z$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление циркуляции по т.Стокса
Сообщение23.06.2012, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
В названии темы упоминается теорема Стокса.

Если изучали дифференциальные формы, надо найти дифференциал формы $(y+2z)dx + (x+2z)dy + (x+2y)dz$. Получается $dz\wedge dx$.
Если не изучали дифференциальные формы, надо найти ротор векторного поля $(y+2z, x+2z, x+2y)$. Получается $\mathbf e_y$.

И то, и другое означает, что надо найти площадь области, ограниченной проекцией контура на плоскость $Ozx$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление циркуляции по т.Стокса
Сообщение23.06.2012, 11:48 


23/06/12
7
Москва
Так, ротор нашел, получился вектор $0i + 1j + 0k$ или просто $j$
С площадью области не понял, почему $Ozx$ ? ведь у нас область L лежит в плоскости $Ozy$

Смотрю записи одногруппника, который решил это задание. Он как-то нашел вектор нормали $n=(\frac13,\frac23,\frac23)$. Далее $dS$ он выразил как $\frac{dxdy}{\cos(f)}$, где $\cos(f) = \frac23$. Возникли вопросы по поводу нормали, как я и говорил в первом посте, и что такое $\cos(f) ? как там получилось $\frac23$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление циркуляции по т.Стокса
Сообщение23.06.2012, 12:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
nixx56 писал(а):
Получается такое выражение:
$y^2 - 2y + z^2 - 2z = 1$
Каким образом параметризовать?
Исходя из того, что исходное уравнение окружности (для данного случая) имеет вид $y^2 + z^2 = 1$, то необходимо как то избавиться от $-2y$ и $-2z$
Чтобы избавиться, надо "выделить полные квадраты":
$y^2 - 2y +1 + z^2 - 2z +1= 3$
$(y-1)^2 +(z-1)^2=(\sqrt 3)^2$
Но это не совсем уравнение окружности. Это уравнение цилиндра с осью $y=1$, $z=1$, радиусом $\sqrt 3$. Ось параллельна $Ox$.

nixx56 писал(а):
ведь у нас область $L$ лежит в плоскости $Ozy$
Нет. Уравнение $(y-1)^2 +(z-1)^2=(\sqrt 3)^2$ вовсе не означает, что для контура $x=\operatorname{const}$. Оно означает только, что контур лежит на цилиндре, а про изменение $x$ вдоль контура ничего не говорит.

Чтобы лучше представить: Ваш контур -- это пересечение цилиндра $(y-1)^2 +(z-1)^2=(\sqrt 3)^2$ и сферы $x^2+y^2+z^2=1$. Ни о каком постоянстве $x$ на контуре нет и речи.

nixx56 писал(а):
Так, ротор нашел, получился вектор $0i + 1j + 0k$ или просто $j$
Правильно. Векторы $\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k$ очень часто обозначаются $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z$, так что это совпадает с моим.

nixx56 писал(а):
С площадью области не понял, почему $Ozx$ ?
В теореме Стокса поверхностный интеграл выглядит как
$\int\limits_S \operatorname{rot}\mathbf a\cdot d\mathbf S$
Так как $\operatorname{rot}\mathbf a=\mathbf e_y$, то под интегралом получается $\mathbf e_y\cdot d\mathbf S=dS_y$
Последнее выражение -- это $y$-компонента элемента поверхности, т.е. его проекция на плоскость $Ozx$ (или любую параллельную).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление циркуляции по т.Стокса
Сообщение23.06.2012, 13:25 


23/06/12
7
Москва
Так, вроде потихоньку начинаю понимать. Т.к ось цилиндра параллельна Ох, получается, что цилиндр лежит (если представить в трехмерном пространстве). Нарисовал пересечение. Получается, что пересечение сферы с цилиндром - это, грубо говоря, верхняя часть сферы. Или я ошибаюсь?

Допустим, что верно.
Тогда что есть $y$ - компонента поверхности?
Ведь уравнение поверхности задается уравнением $(y-1)^2 + (z-1)^2 = (\sqrt3)^2$
---
А проекция на $Ozx$ есть круг, т.к пересечение со сферой. А площадь круга - $\pi R^2$, где R - радиус сферы, который равен 1
Получается $\int\int {\pi R^2} = \pi$
--
Теперь возник другой вопрос. Вы сказали, что контур - это пересечение цилиндра $(y-1)^2 + (z-1)^2 = (\sqrt3)^2$ и сферы $x^2 + (y)^2 + (z)^2 =1$, но почему сферы? мы ведь преобразовали эти два выражения в одно, и получили уравнение цилиндра, откуда появилась сфера?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление циркуляции по т.Стокса
Сообщение24.06.2012, 02:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Прежде чем продолжим, Вы не могли бы свериться с задачником, действительно ли $L$ имеет такой вид:
$L= \{ x^2 + y^2 + z^2 =1  ;  x^2 + 2y + 2z =0 \} $
А то у меня появились сомнения. Относительно формы $(y+2z)dx + (x+2z)dy + (x+2y)dz$, сомнений нет, а относительно поверхностей и контура есть.
Если Ваша задача взята из известного задачника, укажите, пожалуйста, из какого и номер задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление циркуляции по т.Стокса
Сообщение24.06.2012, 12:13 


23/06/12
7
Москва
Блииииин прошу прощения :( списывал задание из тетради одногруппника и не сверился с истинным условием. К сожалению, это задание из экзаменационных билетов, которые дал наш лектор.
Действительно, L имеет вид $L = (x^2 + y^2 + z^2 = 1 ; x + 2y + 2z=0)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление циркуляции по т.Стокса
Сообщение24.06.2012, 13:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Ну, тогда всё будет хорошо. :D
Пожалуйста, подождите до вечера, сейчас я не могу, а вечером всё обсудим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление циркуляции по т.Стокса
Сообщение24.06.2012, 16:50 


23/06/12
7
Москва
Отлично. Спасибо Вам большое :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление циркуляции по т.Стокса
Сообщение25.06.2012, 00:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Отправил Вам личное сообщение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group