Вычисление циркуляции по т.Стокса

[nixx56]

Доброго времени суток, уважаемые форумчане!
Просьба помочь с решением данной задачи:
Необходимо вычислить циркуляцию по замкнутому контуру:

$\int_L ((y+2z)dx + (x+2z)dy + (x+2y)dz)$

$L= \{ x^2 + y^2 + z^2 =1 ; x^2 + 2y + 2z =0 \} $

Основная проблема в том, что я не могу понять, как найти вектор нормали? Точнее к какой плоскости, или нужно как-то преобразовать два выражения в одно?

[мат-ламер]

Если вычесть из первого ограничения второе, то получится окружность, которую можно естественно параметризовать.

-- Сб июн 23, 2012 11:11:11 --

А дальше нужно получить параметрическое задание множества $L$.

[nixx56]

Получается такое выражение:
$y^2 - 2y + z^2 - 2z = 1$
Каким образом параметризовать?
Исходя из того, что исходное уравнение окружности (для данного случая) имеет вид $y^2 + z^2 = 1$, то необходимо как то избавиться от $-2y$ и $-2z$

[svv]

В названии темы упоминается теорема Стокса.

Если изучали дифференциальные формы, надо найти дифференциал формы $(y+2z)dx + (x+2z)dy + (x+2y)dz$. Получается $dz\wedge dx$.
Если не изучали дифференциальные формы, надо найти ротор векторного поля $(y+2z, x+2z, x+2y)$. Получается $\mathbf e_y$.

И то, и другое означает, что надо найти площадь области, ограниченной проекцией контура на плоскость $Ozx$.

[nixx56]

Так, ротор нашел, получился вектор $0i + 1j + 0k$ или просто $j$
С площадью области не понял, почему $Ozx$ ? ведь у нас область L лежит в плоскости $Ozy$

Смотрю записи одногруппника, который решил это задание. Он как-то нашел вектор нормали $n=(\frac13,\frac23,\frac23)$. Далее $dS$ он выразил как $\frac{dxdy}{\cos(f)}$, где $\cos(f) = \frac23$. Возникли вопросы по поводу нормали, как я и говорил в первом посте, и что такое $\cos(f) ? как там получилось $\frac23$ ?

[svv]

nixx56 писал(а):

Получается такое выражение:
$y^2 - 2y + z^2 - 2z = 1$
Каким образом параметризовать?
Исходя из того, что исходное уравнение окружности (для данного случая) имеет вид $y^2 + z^2 = 1$, то необходимо как то избавиться от $-2y$ и $-2z$

Чтобы избавиться, надо "выделить полные квадраты":
$y^2 - 2y +1 + z^2 - 2z +1= 3$
$(y-1)^2 +(z-1)^2=(\sqrt 3)^2$
Но это не совсем уравнение окружности. Это уравнение цилиндра с осью $y=1$, $z=1$, радиусом $\sqrt 3$. Ось параллельна $Ox$.

nixx56 писал(а):

ведь у нас область $L$ лежит в плоскости $Ozy$

Нет. Уравнение $(y-1)^2 +(z-1)^2=(\sqrt 3)^2$ вовсе не означает, что для контура $x=\operatorname{const}$. Оно означает только, что контур лежит на цилиндре, а про изменение $x$ вдоль контура ничего не говорит.

Чтобы лучше представить: Ваш контур -- это пересечение цилиндра $(y-1)^2 +(z-1)^2=(\sqrt 3)^2$ и сферы $x^2+y^2+z^2=1$. Ни о каком постоянстве $x$ на контуре нет и речи.

nixx56 писал(а):

Так, ротор нашел, получился вектор $0i + 1j + 0k$ или просто $j$

Правильно. Векторы $\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k$ очень часто обозначаются $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z$, так что это совпадает с моим.

nixx56 писал(а):

С площадью области не понял, почему $Ozx$ ?

В теореме Стокса поверхностный интеграл выглядит как
$\int\limits_S \operatorname{rot}\mathbf a\cdot d\mathbf S$
Так как $\operatorname{rot}\mathbf a=\mathbf e_y$, то под интегралом получается $\mathbf e_y\cdot d\mathbf S=dS_y$
Последнее выражение -- это $y$-компонента элемента поверхности, т.е. его проекция на плоскость $Ozx$ (или любую параллельную).

[nixx56]

Так, вроде потихоньку начинаю понимать. Т.к ось цилиндра параллельна Ох, получается, что цилиндр лежит (если представить в трехмерном пространстве). Нарисовал пересечение. Получается, что пересечение сферы с цилиндром - это, грубо говоря, верхняя часть сферы. Или я ошибаюсь?

Допустим, что верно.
Тогда что есть $y$ - компонента поверхности?
Ведь уравнение поверхности задается уравнением $(y-1)^2 + (z-1)^2 = (\sqrt3)^2$
---
А проекция на $Ozx$ есть круг, т.к пересечение со сферой. А площадь круга - $\pi R^2$, где R - радиус сферы, который равен 1
Получается $\int\int {\pi R^2} = \pi$
--
Теперь возник другой вопрос. Вы сказали, что контур - это пересечение цилиндра $(y-1)^2 + (z-1)^2 = (\sqrt3)^2$ и сферы $x^2 + (y)^2 + (z)^2 =1$, но почему сферы? мы ведь преобразовали эти два выражения в одно, и получили уравнение цилиндра, откуда появилась сфера?

[svv]

Прежде чем продолжим, Вы не могли бы свериться с задачником, действительно ли $L$ имеет такой вид:
$L= \{ x^2 + y^2 + z^2 =1 ; x^2 + 2y + 2z =0 \} $
А то у меня появились сомнения. Относительно формы $(y+2z)dx + (x+2z)dy + (x+2y)dz$, сомнений нет, а относительно поверхностей и контура есть.
Если Ваша задача взята из известного задачника, укажите, пожалуйста, из какого и номер задачи.

[nixx56]

Блииииин прошу прощения :( списывал задание из тетради одногруппника и не сверился с истинным условием. К сожалению, это задание из экзаменационных билетов, которые дал наш лектор.
Действительно, L имеет вид $L = (x^2 + y^2 + z^2 = 1 ; x + 2y + 2z=0)$

[svv]

Ну, тогда всё будет хорошо.
Пожалуйста, подождите до вечера, сейчас я не могу, а вечером всё обсудим.

[nixx56]

Отлично. Спасибо Вам большое :)

[svv]

Отправил Вам личное сообщение.