В.А. Фок против "Общего принципа относительности Эйншт

[Котофеич]

Хорошо. Я прочитаю эту статью, возможно там есть неточности или технические ошибки.
А что у Вашей модели есть какие то проблемы с построением римановой метрики

[VladTK]

Не просто проблемы - невозможность. Я уже упомянул, что рассматриваю даже не одну модель, а целый класс. В этом классе есть и ОТО. В ней метрика вводится естественным образом, но в других моделях класса введение римановой метрики по-видимому невозможно. Вот хочется проверить более общие геометрии. Да еще важный момент: все модели удовлетворяют принципу эквивалентности.

[Dolopihtis]

Извините, а что значит:

VladTK писал(а):

в массовом члене возникает риманова метрика ?

[VladTK]

Цитата:

Извините, а что значит: ...

В лагранжиане массивного векторного поля массовый член имеет вид свертки двух 4-вектор-потенциалов, и следовательно содержит метрический тензор. Когда выполняется "одевание" гравитацией, выполняется переход от метрики Минковского к Римановой. Мне как раз и не ясно, откуда в калибровочной теории гравитации берется метрический тензор Римана в этом члене.

[Dolopihtis]

Дело в том , что метрический тензор (64) действует на индексы $\mu,\nu ..$,а в лагранжиане присутствуют индексы $\alpha,\beta,\gamma ..$. Как следует из статьи это - разные наборы индексов. Они относятся к разным преобразованиям координат. По индексам $\alpha,\beta,\gamma ..$ суммирование происходит по метрике Минковского.

[VladTK]

Насколько я понимаю, эти наборы индексов не столько связаны с разными преобразованиями координат, сколько вообще с разными пространствами. Но при "геометризации" в любом случае происходит замена метрики Минковского на Римана.

[Dolopihtis]

VladTK писал(а):

Насколько я понимаю, эти наборы индексов не столько связаны с разными преобразованиями координат, сколько вообще с разными пространствами. Но при "геометризации" в любом случае происходит замена метрики Минковского на Римана.

Это неверно. Замена метрики происходит только в одном из пространств. Хотя - бы потому, что преобразование спиноров можно определить только относительно преобразований Лоренца, а не относительно произвольных преобразований координат. Вообще эта процедура хорошо известна под названием тетрадного формализма. О тетрадном формализме можно почитать в книге Вайнберга "Гравитация и космология".

[VladTK]

Все так. Тетрада имеет один индекс из пространства-времени, а второй из касательного. Только вопрос в том что при калибровочном преобразовании в кинетическом члене лагранжиана скалярного поля тетрады Минковского преобразуются в Римановы, а вот в массовом члене лагранжиана векторного поля этого преобразования не происходит! Поскольку там нет ковариантных производных, там нечему преобразовываться. Откуда тогда в массовом члене берется Риманова метрика?

[Dolopihtis]

VladTK писал(а):

Только вопрос в том что при калибровочном преобразовании в кинетическом члене лагранжиана скалярного поля тетрады Минковского преобразуются в Римановы,

К сожалению,мне непонятно , что это значит.

VladTK писал(а):

Откуда тогда в массовом члене берется Риманова метрика?

Она там ниоткуда не берется , т.к. ее там нет. Суммирование по $\alpha$ происхоит с метрикой Минковского.

[VladTK]

Цитата:

Она там ниоткуда не берется , т.к. ее там нет. Суммирование по происхоит с метрикой Минковского.

Хорошо, "зайдем с другого боку".

Пусть у нас в Минковском есть два поля: скалярное и векторное.

$$ L_{scalar}=D^{\mu} \psi \eta_{\mu \nu} D^{\nu} \psi - m^2 / 2 \psi^2 $$

$$ L_{vector}=-1/4 F^{\mu \nu} \eta_{\mu \alpha} \eta_{\nu \beta} F^{\alpha \beta} + m^2 / 2 A^{\mu} \eta_{\mu \nu} A^{\nu} $$

Здесь $ F^{\mu \nu} $ - тензор напряженностей векторного поля.

Во что перейдут эти лагранжианы при переходе к Римановому пространству ОТО?

P.S. Конечно надо рассматривать не лагранжианы, а лагранжевы плотности. Но я предполагаю, что там где они станут "жизненно" необходимыми, мы их восстановим.

[Dolopihtis]

Переход от базиса $\alpha,\beta$ к базису $\mu,\nu$ производится при помощи тетрадных коэффициентов. $A_{\alpha}A_{\beta}\eta^{\alpha\beta} = A_{\mu}e_{\alpha}^{\mu}A_{\nu}e_{\beta}^{\nu}\eta^{\alpha\beta}= A_{\mu}A_{\nu}e_{\alpha}^{\mu}e_{\beta}^{\nu}\eta^{\alpha\beta}= A_{\mu}A_{\nu}e_{\alpha}^{\mu}e^{\nu\alpha}= A_{\mu}A_{\nu}g^{\mu\nu}$, где в последнем равенстве использовалось (64). Может-быть это ответит на Ваш вопрос.

[VladTK]

Т.е., в СТО лагранжианы,записанные в компонентах тензоров пространства-времени (базис $\mu \nu $ ) и касательного пространства (базис $\alpha \beta $ ), совпадают? А в ОТО различаются?

В пространстве Минковского

$$ e_{\alpha}^{\mu} e_{\beta}^{\nu} \eta^{\alpha \beta} = \eta^{\mu \nu} $$

Когда мы проводим калибровочную процедуру, согласно формул (27-29) статьи, тетрада Минковского "превращается" в тетраду Римана. Я правильно понимаю?

[Dolopihtis]

VladTK писал(а):

... Я правильно понимаю?

Думаю, что правильно , хотя Ваша терминология мне не совсем понятна. Тетрада - это просто ортонормированный базис , зафиксированный в определенной точке пространства , неважно какого ,Минковского или Римана. Сами компоненты

$$ e_{\alpha}^{\mu} $$

при этом ,конечно, меняются.

[VladTK]

Я где-то читал, что пространство Римана, в отличие от пространства Минковского, не является векторным. Поэтому говорить о его ортонормированном базисе нельзя. Вы скорее всего имеете ввиду базис касательного пространства Римана.

Кажется Вы немного "приоткрыли мне глаза" . Благодарю. В остальном постараюсь разобраться сам.

Что-то Котофеич исчез.

[Котофеич]

Да нет, я никуда не исчез. Я сосчитал ворон в своем лесу и понял, что идея риманова
пространства давно себя исчерпала и ее нужно похоронить.