Эллипс в Евклидовой геометрии

[докер]

Ales в сообщении #583389 писал(а):

Это будет уже совсем далеко от математики - не в этой теме.

Действительно!, на хрена геометрия архитектуре?, особенно в те времена!? Циркуль, линейка, отвес!

[Ales]

Евгений Машеров в сообщении #583395 писал(а):

Вы приводите данную цитату, как подтверждение Вашей позиции. Но, если её читать сколько-нибудь внимательно, видим, что Галлей перевёл книгу на английский. То есть сделал её доступной для английских читателей. Но не для Кеплера. Которому проще было работать с латинским, и даже с греческим текстом. И на который он, очевидно, и ссылается.

Нет, издание Галлея на латыни: Apollonii Pergaei Conicorum libri octo et Sereni Antissensis de Sectione Cylindri & Coni libri duo / Edidit Edmundus Halley. — Oxoniae: e Theatro Sheldoniano, 1710.

-- Пн июн 11, 2012 15:14:59 --

На какое издание ссылается Кеплер никому не ведомо.
Он же не указал издание, просто написал "том 1-ый страница 21".

Но думаю, что на странице 21, 1-го тома Конических сечений Аполлония издания 1710 как раз находится то, о чем писал Кеплер.
http://books.google.ru/books?id=X5X9TirAz0QC&pg=PA21&lpg=PA260&dq=Apollonii+Pergaei+Conicorum+libro+primo+Edidit+Edmundus+Halley&source=bl&ots=7TbfWwAe6f&sig=sHlYmYPbByIflmEXyyioy-OMBPo&hl=en&sa=X&ei=QebVT-vhGInU4QSri5WoAw&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false

[Ales]

На самом деле Кеплер ссылается на издание, которое подготовил Commandinus (16 век).
И на стр. 21 издания Галлея находится совсем не то, что на стр. 289 у Кеплера.
У Кеплера речь идет о том, что эллипс - сжатый круг (в современных терминах).
Интересно было бы посмотреть стр. 21 издания, на которое ссылается Кеплер.
В 1-ом томе издания Галлея я не смог найти нужное место.

Вот издание Аполлония, на которое возможно ссылался Кеплер:
http://books.google.ru/books/ucm?vid=UC ... &q&f=false

Но в нем нет нумерации страниц. Занумерованы листы.

Может быть pag. XXI - опечатка, и следует читать prop. XXI ?

[VPopov]

Munin в сообщении #583030 писал(а):

Ровно наоборот, появление понятий центростремительной силы, ускорения, и закона обратных квадратов, стало возможным только после эллипсов, фокусов, заметания площадей, и соотношения периодов

Уваж. коллеги, я привожу эту цитату Munin лишь для того, чтобы напомнить о заявленной постстартером теме: речь в ней, как мне представляется, должна идти не об истории создания имени "эллипс" ("недостаток", по- гречески), а о физической сущности геометрического образа этой функции.
Однако, что есть функция - основное понятие матанализа? Формировалось оно (как и любое математическое понятие) не сразу. Первые попытки очертить его контуры делаются лишь в конце XVII в. Лейбницем, И. и Я. Бернулли, а термин "функция" принадлежит Лейбницу. По этому поводу было много споров. Скажем, Эйлер, считал, что класс функций, являющихся "произвольно начерченными кривыми", шире, чем класс функций, задаваемых "аалитическими выражениями", и с этим суждением великого математика нельзя не согласиться. Например: для данных полуосей a и b овалов можно нарисовать сколько угодно - симметричных и яйцеобразных, а вот эллипс среди них будет только один. Лишь в начале XIX в. стал выкристаллизовываться интенсонал множества "функции" - это соответствие закону, по которому одно переменное (допустим, х) преобразуется в другое (у), и среди первых математиков, пропагандировавших эту идею, у нас был Лобачевский. В связи с этим и возникает вопрос: какой закон формирует геометрические эллипсы орбит всех небесных тел? Как оказывается, одной центральной силы, действующей по закону обратных квадратов, здесь недостаточно.

[Munin]

VPopov в сообщении #583668 писал(а):

Однако, что есть функция - основное понятие матанализа? Формировалось оно (как и любое математическое понятие) не сразу. Первые попытки очертить его контуры делаются лишь в конце XVII в. Лейбницем, И. и Я. Бернулли, а термин "функция" принадлежит Лейбницу.

Меня больше интересует история до Лейбница.

У меня такое понимание, что математики не сразу представляли себе абстрактные переменные, а начинали с пространственных и временнОй. И соответственно, обсуждались две вещи: зависимость любых величин (не только геометрических) от времени, $f(t),$ и зависимость одной геометрической координаты от другой, $y(x).$ Первое не изображалось графиком, а описывалось словами "возрастание, убывание". Второе изображалось графиками, и сопоставлялось с теорией кривых линий, развивавшейся геометрическими методами. Также, в рамках "математической механики" рассматривались линии, вычерчиваемые механизмами, то есть $(x(t),y(t)),$ и существовало представление об однократной композиции $y(x(t)),$ в частном случае $x=vt$ позволявшее сопоставить между собой два этих типа прото-функций: $y(x)\sim y(t).$ Но вот с сопоставлением $y=f$ было туже, оно требовало более абстрактного мышления, развивавшегося с помощью физики ещё столетия. Ещё для Ньютона эти два вида прото-функций были заметно различными, его производные в основном относились к $f(t).$ Одновременно, было достаточно очевидно, что $f(t)$ могут быть достаточно произвольными, а вот для $y(x)$ предполагались только зависимости из числа "геометрически хороших" линий.

[Ales]

VPopov в сообщении #583668 писал(а):

чтобы напомнить о заявленной постстартером теме: речь в ней, как мне представляется, должна идти не об истории создания имени "эллипс" ("недостаток", по- гречески), а о физической сущности геометрического образа этой функции

Мне было интересно, можно ли без методов аналитической геометрии выстроить завершенную теорию конических сечений с учетом их физических проявлений.

-- Вт июн 12, 2012 17:24:08 --

А исходный вопрос был такой: можно ли выкинуть координатный метод и применять для исследования реальных задач только Евклидову геометрию.

[Евгений Машеров]

Завершённая теория конических сечений появилась за полторы тысячи лет до аналитической геометрии.
Галлей, да, перевёл на латынь. Перевёл.Поскольку оригинал был на греческом, а часть дошла лишь в арабских переводах.

[VPopov]

Munin в сообщении #583734 писал(а):

Одновременно, было достаточно очевидно, что $f(t)$ могут быть достаточно произвольными, а вот для $y(x)$ предполагались только зависимости из числа "геометрически хороших" линий

Согласен и,более того, эта идея восходит к великому противостоянию "академика" Платона и "лицеиста" Аристотеля. Тезис последнего был таков: "математической точности нужно требовать не для всех предметов, а лишь для нематериальных..." (Met. II 3, 905a)? т. е. для эйдосов, описываемых в геометрии "хорошими линиями", в арифметике - прямыми и обратными пропорциями (гармоническими отношениями) а в алгебре - аналитическими зависимостями, позади которых (или, лучше сказать, внутри которых) - закон природы. Я так эту историю понимаю.

Но, если на это возражение Аристотеля против своего учителя посмотреть с позиций современной теорфизики, то надо признать, что истина, как всегда, находится где-то посередине между двумя крайними точками зрения. В данном случае - это принцип наименьшего действия Ферма, Мопертюи, Лейбница, Лагранжа и т. д. вплоть до нашего Остроградского (я перечислил имена сих достойных ученых мужей, чтобы подчеркнуть: и здесь шло постепенное созревание идеи, она не вышла из головы Зевса как Афина-Паллада в полном вооружении и обмундировании). Идеи, так сказать, реализуют "материальные сущности" и демонстрируют их наблюдателю в форме стрмления к некоему пределу. Так вот, "хорошие геометрические линиии", выраженные аналитическим языком, как раз и выступают такими пределами.

-- 12.06.2012, 19:00 --

Ales в сообщении #583939 писал(а):

А исходный вопрос был такой: можно ли выкинуть координатный метод и применять для исследования реальных задач только Евклидову геометрию.

И здесь, в общем-то, нет (это лично мое мнение) того однозначноого (истинного) ответа, которого требует современный формализм (Гилбертов аксиоматический метод) . Внутри евклидовой геометрии есть ВСЕ (в Греции было все, как любит говорить один мой знакомый философ), и последующая эволюция геометрии, основанной на остенсивных (зрительных) представлениях, это убедительно доказала. Раз в геометрии Евклида есть определение угла и введено понятие перпендикулярности (кстати, параллельность - это следствие отношения перпендикулярности), то значит в ней в свернутом виде заложена и аналитическая геометрия (координатный метод). Его нужно было только со временем развернуь и скрестить с алгеброй, т. е., так сказать, генно его модифицировать.

[Munin]

Ales в сообщении #583939 писал(а):

А исходный вопрос был такой: можно ли выкинуть координатный метод и применять для исследования реальных задач только Евклидову геометрию.

Для таких задач, которые решались до Ньютона и Декарта, можно. Но сейчас расширился не только набор методов, но и набор задач, которые ставятся перед геометрией. Новые задачи старыми методами могут не решаться. Аналогично тому, как циркулем и линейкой нельзя поделить угол на три равные части, а используя другие инструменты, это сделать можно.

[VPopov]

Munin в сообщении #584067 писал(а):

Аналогично тому, как циркулем и линейкой нельзя поделить угол на три равные части, а используя другие инструменты, это сделать можно.

Уважаемый Munin, это же открытие!!! Какие это "инструменты", если Вы под ними не подразумеваете шестиричную систему для исчисления углов, которую придумали шумерийцы?

[Евгений Машеров]

Линейка с засечками (невсис).
Спираль Архимеда.
Улитка Паскаля.
Конхоида.
"Томагавк"

[VPopov]

Евгений Машеров в сообщении #594826 писал(а):

Линейка с засечками (невсис).

Как я понял - это некий аналог транспортира, т.е. инструмента, сконструированного на базе шестиричной системы исчисления угловых величин. Речь же идет об аналоге циркуля и линейки - универсальных (и единственных в своем роде) приборах евклидовой геометрии.

Что касается "спирали Архимеда", то эта кривая названа по имени Архимеда, который изучал ее свойства в связи с задачами трисекции угла и квадратуры круга и нашел площадь ее сектора. Это было одним из первых в истории геометрии примеров выражения площади (в квадратных единицах) криволинейной фигуры, но причем здесь опять-таки циркуль и линейка, о которых идет речь в посте уважаемого Munin?

Поясню ситуацию пространнее. Квадратура круга - задача о построении квадрата, равновеликого данному кругу, и эту задачу древние геометры пытались решить с помощью циркуля и линейки. В самом деле, математики древности нашли ряд частных случаев, когда удавалось преобразовать криволинейную фигуру в равновеликую ей прямоугольную, но это были лишь частные случаи (пример: Гиппократовы луночки). В 19 в. была строго установлена неразрешимость задачи о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки и связано это было с тем, что И. Ламберт и А. Лежандр доказали иррациональность числа $\pi$. Другими словами, задача трисекции угла неразрешима при любом расширении метода "циркуля и линейки".

[Евгений Машеров]

Линейка с засечками не есть транспортир. И к 60-ричной системе счисления, как и к любой другой, отношения не имеет.

[arseniiv]

…как и транспортир. Ничто не мешает проградуировать его градами, радианами или долями оборота. В трисекции же угла он не помогает, т. к. упомянутые Евгением Машеровым инструменты позволяют точную трисекцию, а транспортир нет (у него же не бесконечное число делений!).

[venco]

VPopov в сообщении #594990 писал(а):

В 19 в. была строго установлена неразрешимость задачи о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки и связано это было с тем, что И. Ламберт и А. Лежандр доказали иррациональность числа $\pi$. Другими словами, задача трисекции угла неразрешима при любом расширении метода "циркуля и линейки".

Иррациональность слабо связана с возможностью построения циркулем и линейкой. Например, иррациональное число $\sqrt 2$ построить очень легко.