Эллипс в Евклидовой геометрии

[Ales]

Когда человек смотрит сбоку на круг (люк в мостовой) он видит эллипс.

Можно ли не прибегая к методам аналитической геометрии доказать, что это тот самый эллипс,
который можно нарисовать с помощью веревки, мела и двух кнопок на доске?

Я считаю, что это невозможно.

И из этого и из той гипотезы, что эллипс мог явиться только как образ круга в проекции на плоскость, делаю следующие выводы:
1. Теория конических сечений появилась не раньше Декартовой геометрии, то есть в 17 веке.
2. 1-ый закон Кеплера был получен не эмпирическим, а теоретическим путем (после закона обратных квадратов для притяжения планет).

Буду рад, если кто-нибудь выскажется за или против.

Может быть, кто-нибудь сможет наоборот найти простой способ доказательства.
Но очевидно, что шары Данделена тут не годятся.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Ну начинается! А еще есть эллипс в проективной геометрии, метод построения всех остальных его точек по исходным пяти точкам придумал Паскаль. Давайте, не прибегая к средствам, содержащим проективную геометрию, докажем, что этот тот самый эллипс!

[Евгений Машеров]

Когда древний греческий плотник брал пилу (изобретённую, как говорят, ещё Дедалом) и пилил бревно, он видел перед собой эллипс.

[Ales]

Евгений Машеров в сообщении #579078 писал(а):

Когда древний греческий плотник брал пилу (изобретённую, как говорят, ещё Дедалом) и пилил бревно, он видел перед собой эллипс.

Насчет пилы отдельный разговор.
В России пила появилась при Петре Великом. Исторический факт.


Можно допустить что были пилы в древности и что эллипс возник как сечение цилиндра, но мне это кажется маловероятным.

С точки зрения математики: сечение кругового цилиндра - те же шары Данделена.
Но это совсем не то, что надо. Интересна проекция круга на плоскость.

[Евгений Машеров]

А вообще - почитайте что-нибудь. Скажем, в данной теме - про Аполлония Пергского.
http://www.mccme.ru/free-books/pdf/ap_of_pe.pdf

[Ales]

Евгений Машеров в сообщении #579096 писал(а):

А вообще - почитайте что-нибудь. Скажем, в данной теме - про Аполлония Пергского.
http://www.mccme.ru/free-books/pdf/ap_of_pe.pdf

Я просматривал эту книгу. Это та же аналитическая геометрия.
Не нашел нужного мне доказательства.

[Евгений Машеров]

Доказательства чего? Попробуйте чётко формулировать, и тогда Вам, возможо, всё само станет ясно...

[Ales]

Ваши возражения относятся к сомнительным выводам и к ревизии истории науки.

Но главный вопрос: можно ли в рамках древней геометрии определить фокусы проекции круга на плоскость.

Кто может решить эту задачу?

-- Чт май 31, 2012 21:03:44 --

Евгений Машеров в сообщении #579107 писал(а):

Доказательства чего? Попробуйте чётко формулировать, и тогда Вам, возможо, всё само станет ясно...

Доказать, что для проекции окружности на плоскость найдутся две точки такие,
что сумма расстояний от этих точек до точки проекции одинакова для всех точек проекции.
При этом, нельзя прибегать к координатному методу и аналитической геометрии.

-- Чт май 31, 2012 21:07:20 --

Ну и конечно, же доказательство не должно быть слишком длинным.
(Понятно, что аналитическую геометрию можно перевести на язык Евклидовой, но это будет нечто неудобоваримое.)

[Евгений Машеров]

Слишком длинным - для кого?

-- 31 май 2012, 21:44 --

Это доказательство:
http://kvant.mccme.ru/1970/09/ellips.htm
для Вас не слишком утомительно?

[Ales]

Евгений Машеров в сообщении #579130 писал(а):

Слишком длинным - для кого?

Для остальных людей, кроме самого автора доказательства.
Идеально получить конструкцию не более чем из трех-четырех логических шагов
(считаю, что шары Данделена - один логический шаг).

Я сам пытался вывести, но ничего не придумал.

-- Чт май 31, 2012 21:49:13 --

Евгений Машеров в сообщении #579130 писал(а):

Слишком длинным - для кого?

-- 31 май 2012, 21:44 --

Это доказательство:
http://kvant.mccme.ru/1970/09/ellips.htm
для Вас не слишком утомительно?

Но там используются координаты.
Не говоря еще о левом определении через деформацию.
Это совсем не искомое доказательство.

[gris]

Я думаю, что вначале появился эллипс с фокусами. При разметке, например, вытянутых округлых цветников. Две палки, накинутая верёвочная петля и третья острая палка. Вполне доступно и более древним. А уже потом стали это связывать с сечениями цилиндра.

[Ales]

Чтобы не было путаницы уточню: проекция вдоль прямой под прямым углом к плоскости (человек смотрит на круг),
а не вдоль прямой перпендикулярной кругу (круг отбрасывает тень).

-- Чт май 31, 2012 22:08:15 --

gris в сообщении #579140 писал(а):

Я думаю, что вначале появился эллипс с фокусами. При разметке, например, вытянутых округлых цветников. Две палки, накинутая верёвочная петля и третья острая палка. Вполне доступно и более древним. А уже потом стали это связывать с сечениями цилиндра.

Я думаю, что эллипс появился в связи с перспективной живописью. Отсюда именно такая задача.
Не сечение кругового цилиндра или прямого конуса, а сечение косого конуса, опирающегося на окружность.

-- Чт май 31, 2012 22:34:38 --

Похоже, что я прав, нет доказательства:
http://ru.wikisource.org/wiki/%D0%98%D1 ... 0%94%D0%9E

[Евгений Машеров]

Ещё раз. Доказательство из "Кванта" (и не "Для младших школьников" ли?) Вам приведено. Координаты в самом доказательстве не используются.
Ещё бы лучше Вам почитать Аполлония Пергского, но он доступен в оригинале, или в английском переводе, на русский переводились фрагменты, и есть пересказы его работ.

[Ales]

Евгений Машеров в сообщении #579325 писал(а):

Ещё раз. Доказательство из "Кванта" (и не "Для младших школьников" ли?) Вам приведено. Координаты в самом доказательстве не используются.
Ещё бы лучше Вам почитать Аполлония Пергского, но он доступен в оригинале, или в английском переводе, на русский переводились фрагменты, и есть пересказы его работ.

Это не то доказательство.
Вы кажется, не поняли требование: найти фокусы для сечения косого конуса или эллиптического цилиндра.
В Кванте (для школьников) эти объекты даже не рассматриваются.

Шаль в 1829 году, подтвердил,
что нет естественного способа нахождения фокусов сечения косого конуса.
С тех пор ничего не придумали.
Но для истории достаточно то, что в 18 веке не умели находить фокусы конических сечений
без помощи аналитической геометрии.
Даже шары Данделена - изобретение времени Наполеона I.

Спрашивается: откуда взялись фокусы у Кеплера.
Тогда никаких фокусов не было и быть не могло.

[gris]

А как же залы подслушивания в Ватикане?