Эллипс в Евклидовой геометрии

[Евгений Машеров]

Ну, "элементарная" и "высшая" математика вообще не более чем условность учебного курса. Что включили в программу средней школы - "элементарное", высшей - "высшее"

[Munin]

Всё-таки при изучении "высшая" полагается на "элементарную". А исторически в процессе возникновения этого не было. История математики больше похожа не на последовательный логический вывод, а на историю спонтанного возникновения идей, которые потом порождали разные разделы математики и подходы, иногда накладываясь одна на другую.

[VPopov]

Ales в сообщении #579070 писал(а):

Когда человек смотрит сбоку на круг (люк в мостовой) он видит эллипс.

Он видит овал, т.е. фигуру, симметричную относительно двух взаимно-перпендикулярных осей.

Ales в сообщении #579070 писал(а):

Можно ли не прибегая к методам аналитической геометрии доказать, что это тот самый эллипс,
который можно нарисовать с помощью веревки, мела и двух кнопок на доске?

Нет и вот почему. Как пишет Бронштейн в http://kvant.mccme.ru/1970/09/ellips.htm, "если пересекать различными плоскостями, не проходящими через точку О, коническую поверхность, то в сечении получатся кривые линии: эллипс, гипербола и парабола". Внесем поправку в сказанное уважаемым автором: на самом деле мы получим семейства (или множества) кривых линий, называемых указанными именами, ибо не оговорены граничные (достаточные) условия для секущей плоскости (она может быть наклонена относительно высоты конуса как угодно), а вводятся только начальные (необходимые) условия. А именно: наклонная секущая не должна проходить через точку О. Кстати, в последнем случае сечение образует множество равнобедренных треугольников, а во всех иных случаях будет получаться овалы (аерлинии, по Дюреру), а самой замечательной из всех овалов будет фигура - эллипс. О ее замечательных свойствах, которыми ВСЕГДА пользуется природа, мы скажем ниже, а сейчас обратимся к истории этой кривой.
Эллипс - математическое (строгое) понятие, которое можно описать следующим алгебраическим выражением

$$y^2=px-{\frac p a\cdot x^2}\quad\small\it\color{blue}\text{(Исправлено. //AKM)}$$

Это аналитическое предложение впервые сформулировал Апполоний Пергский, но пользовался он при этом чисто геометрическими общими понятиями, так как в то далекое время не было ни координатного метода, ни алгебраической символики. Он описывал уравнения идеальных конических сечений, пользуясь следующими представлениями: $y^2$ это площадь квадрата со стороной y; px - площадь прямоугольника со сторонами p и x. С этими понятиями связаны и названия кривых. Парабола по-греч. - это равенство: квадрат $y^2$ имеет площадь, равную прямоугольнику px. Гипербола по-гречески - это избыток (преувеличение): площадь квадрата со стороной y превосходит площадь прямоугольника со сторонами p и x; эллипс же по-гречески - это недостаток: площадь квадрата $y^2$ меньше площади прямоугольника со сторонами p и x.
В XIV в. французский математик Орезм, впервые применив прямоугольные координаты, строил графики (геометрические модели) зависимостей некоторой величины, допустим у, от другой величины - х (вместо современных терминов - абсцисса и ордината он употреблял термины долгота и широта). Эта идея в дальнейшем получила развитие в математических сочинениях Декарта. Его работа "La Geometrie", в которой излагались идеи координатного метода для описания геометрических понятий, была опубликована в 1637 г. Значение координатного метода трудно переоценить в том плане, что с его помощью устанавливается взаимно-однозначная связь между геометрией (в принципе наглядной наукой) и алгеброй (полностью абстрактным языком). Ведь только после этого, например, распилив наискосок бревно (или разрезав конусообразную морковку) и поместив образы этих геометрических сущностей в прямоугольную систему координат, мы можем убедиться в том, что это либо овалы, либо почти эллипсы. Повторюсь: строгий (точный) эллипс содержится, согласно Платону, лишь в "занебесном мире", или, говоря современным языком, в формуле, написанной выше.
Хорошо поясняет сказанное "метод деформации" описанный Бронштейном и проиллюстрированный на его рис. 6. Надо только чтобы деформация для всех точек исходной окружности удовлетворяла отношению, описывающем деформацию. Сделав это построение для нескольких точек $m_1,m_2,m_3$ (чем больше, тем лучше) окружности заданного радиуса можно получить точки эллипса с заданным отношением между полуосями b и a. Остается после этого соединить их плавной кривой и сравнить НАГЛЯДНО с распилом бревна или с разрезом морковки. Иногда эти сущности совпадут с построенным по точкам эллипсом, но в большинстве случаев будут только "похожими на прокурора".
Задача на построение эллипса - это стандартная задача из разряда задач на "максимумы и минимумы" и природа решает их в каждом конкретном случае автоматически, согласно принципу наименьшего действия. Поэтому и планетные орбиты ВОЗМУЩЕННЫХ движений происходят по эллипсам. Это впервые установил Кеплер, хотя и неизвестно, как он пришел к этому открытию, потому что по астрономическим данным Тихо Браге его кривые больше походили на овалы. Эксцентриситет естественного эллипса при заданной большей его полуоси зависит от степени возмущающей силы. Кеплер, формулируя свой 3-й закон, исходил именно из больших полуосей орбит, что, в сущности, является описанием невозмущенного замкнутого движения. И это сразу видно, так как в формулу 3-его закона не входит масса планет.

[Munin]

VPopov в сообщении #581571 писал(а):

Это впервые установил Кеплер, хотя и неизвестно, как он пришел к этому открытию, потому что по астрономическим данным Тихо Браге его кривые больше походили на овалы.

Не надо врать. И его кривые походили на эллипсы, и как он пришёл к этому открытию, известно. Всё описано в книгах самого Кеплера.

[VPopov]

Munin в сообщении #581586 писал(а):

Не надо врать. И его кривые походили на эллипсы, и как он пришёл к этому открытию, известно. Всё описано в книгах самого Кеплера.

Повежливее, пжст. Кеплер не сразу пришел к форме эллипса, потому что астрономические измерения в то время были весьма приблизительные, и, скорее, интуиция его к этому привела, чем измерения.
Прошу извинения за неправильно написанную формулу, что- то не влезла меня дробь p на a. Иду в букварь по MaT.

[Munin]

VPopov в сообщении #581595 писал(а):

Повежливее, пжст.

Сначала вы, будьте повежливее к Кеплеру. На этом форуме запрещено оболгать известных учёных, и преуменьшать их достижения.

VPopov в сообщении #581595 писал(а):

Кеплер не сразу пришел к форме эллипса

Да.

VPopov в сообщении #581595 писал(а):

потому что астрономические измерения в то время были весьма приблизительные, и, скорее, интуиция его к этому привела, чем измерения.

Нет. По другой причине. Потому что он исходил из античного тезиса, что форма должна получаться сочетанием круговых движений. Именно поэтому он создал несколько пробных теорий, не совпадавших с его данными, а только дававших приблизительное совпадение. Но когда он отказался от этого подхода, и рассмотрел эллипс, то получил совпадение точное. Всё зафиксировано в его книгах и в его биографиях, которые стоит прочитать, прежде чем рассказывать россказни, преуменьшающие научные заслуги Кеплера.

VPopov в сообщении #581595 писал(а):

Прошу извинения за неправильно написанную формулу, что- то не влезла меня дробь p на a.

После ключевого слова frac необходимо поставить пробел или фигурную скобку, чтобы отделить его от других букв (от цифр отделять не надо). Иначе получится несуществующее ключевое слово fracpa. Так что лучше всего писать \frac{p}{a}. Аналогично и в других случаях.

[Ales]

Евгений Машеров в сообщении #581389 писал(а):

Источник Ваших заблуждений (один из...) в том, что Вы рассматриваете математику не в развитии, а как возникшую, подобно кролику из шляпы. Возможно, это связано с тем, что Вы не различаете учебники и первоисточники (в учебниках всё показано уже готовым и историческое развитие там отображено весьма слабо и в отдельных от основного изложения параграфах). Это, кстати, не только в данной теме,но и, скажем, в теме про логарифмы, где Вы судите об уровне математики XVIII века по учебнику для ПТУ профессиональной школы, а в теме про "Математические начала натуральной философии" проявляется тот же эффект, но в иной форме. В данном случае стоит помнить, что Данделен прежде всего педагог высшей школы, профессор инженерного дела, и не открыл факт, а предложил способ довести его и его доказательство наиболее простым и комфортным для студентов образом. Сам же факт был доказан много ранее, хотя и более сложным способом (вспоминается известная шутка - "уровень математика определяется числом данных им плохих доказательств" - первые доказательства бывают переусложнены и плохо изложены, отшлифовывают их не открыватели, а продолжатели).

"Доказан много ранее", но таким путем, что непонятно, как до него додумались.

Моя реконструкция: сначала придумали аналитическую геометрию - описание кривых через уравнения.
Потом убедились, что эллипс с фокусами и эллипс - сечение конуса описываются одинаковыми уравнениями и значит это одно и тоже.

Потом уже Данделен придумал свои шары.

Тема возникла в связи с тем, насколько важна аналитическая геометрия для исследования
кривых второго порядка в связи с их физическими проявлениями (орбиты планет, тени и перспективы кругов).

Ваши возражения, мне не совсем понятны: методы Аполония аналогичны аналитической геометрии и это кажется, признается.
С моей точки зрения, Вам следовало бы утверждать, что аналитическая геометрия по сути возникла намного раньше 17 века.

[Евгений Машеров]

Значит, под словами "аналитическая геометрия" Вы понимаете нечто иное, отличное от общепринятого. Это, разумеется, позволяет утверждать всё, что угодно, уворачиваясь от возражений. Но есть ли от подобного хоть какая-то польза?
Понимание связи между отрезками и числами было уже в античности. Но это ещё не аналитическая геометрия, направление связи было другое - первичны геометрические построения и доказательства, числа их несовершенная тень. А логика аналитической геометрии противоположна - первично число, позволяющее, оперируя с числами, делать выводы о фигурах.

[Munin]

Ales в сообщении #581639 писал(а):

"Доказан много ранее", но таким путем, что непонятно, как до него додумались.

Это вам непонятно. Что ещё не значит, что непонятно другим.

Многие математические результаты античности - плоды проб и ошибок, "естественного отбора", который никто не фиксировал, а мы видим только его результаты.

Ales в сообщении #581639 писал(а):

Моя реконструкция: сначала придумали аналитическую геометрию - описание кривых через уравнения.

Нет, эта реконструкция неверна. Вся история математики свидетельствует, что это очень поздний подход. Даже само понятие алгебраического уравнения, в его современном виде, появилось очень поздно, и большую часть истории уравнения рассматривались не как объекты, а как задачи. Нечто похожее есть и в современной математике, где граничная задача дифференциального уравнения, конечно, может быть рассмотрена как объект, оператор, но с такой абстракцией мало кто работает.

Координатный метод очень долго не приносил никаких особых преимуществ по сравнению с чисто геометрическим рассмотрением, потому что алгебраические методы были неразработаны.

Ales в сообщении #581639 писал(а):

Тема возникла в связи с тем, насколько важна аналитическая геометрия для исследования кривых второго порядка в связи с их физическими проявлениями (орбиты планет, тени и перспективы кругов).

Важна - это одно, применялась ли исторически - это другое. Вам этого никак не понять? Подъёмный кран важен при строительстве, но египетские пирамиды строились без него.

[VPopov]

Munin в сообщении #581615 писал(а):

Сначала вы, будьте повежливее к Кеплеру. На этом форуме запрещено оболгать известных учёных, и преуменьшать их достижения.

Ну, что Вы волну гоните!? Я с глубочайшим уважением отношусь к истинным подвижникам науки, и Кеплер был именно им. Вы совершенно правы в том, что он следовал античным принципам совершенных движений Неба, и именно поэтому был крайне удивлен результатами своих расчетов, которые он проделывал с величайшей точностью. И то, что он не сразу пришел к идее эллипса, нисколько не умаляет его заслуг.
Записываю все уравнения Апполония:

$$y^2=px$$

$$y^2=px+\frac {p}{a}x^2$$

$$y^2=px-\frac{p}{a}x^2$$

Это соответственно парабола, гипербола и эллипс. ($p$ и $a$ положительны. А за помощь большое спасибо, я действительно не учел следования за \frac не цифры, а символа.

[Munin]

VPopov в сообщении #581696 писал(а):

Я с глубочайшим уважением отношусь к истинным подвижникам науки, и Кеплер был именно им.

Ну хорошо. Просто меня задело заявление, что неизвестно, как он к эллипсам пришёл, и что кривые больше походили на овалы.

По Кеплеру, повторю ссылку, есть прекрасная книга:
Ю. А. Белый. Иоганн КЕПЛЕР. 1571-1630. - Москва, Издательство «Наука». - 1971.

[Евгений Машеров]

Вот тут довольно основательный обзор развития математики.
http://flibusta.net/s/26239
Ну, или хотя бы Стройка полистать, или Цейтена, у них изложено вкратце.

[Евгений Машеров]

В виде частной темы, но отчасти имеющей отношение к аналитгеометрии - "История детерминантов" Мюира.
http://www.twirpx.com/file/592680/
http://www.twirpx.com/file/592685/
http://www.twirpx.com/file/592689/
http://www.twirpx.com/file/592697/
Видно, как хитро выкручивалось, отнюдь не в стройном логическом порядке.

(Оффтоп)

По странному совпадению в ту ночь Редвуду тоже приснился сон. Ему
привиделась диаграмма, начертанная огнем на бесконечном свитке вселенских
просторов. А он, Редвуд, стоит на некоей планете перед каким-то черным
помостом и читает лекцию о новых, открывающихся ныне возможностях роста, и
слушает его Сверхкоролевское общество изначальных сил - тех самых, под
воздействием которых до сих пор рост всего сущего (вплоть до народов,
империй, небесных тел и планетных систем) шел неровными скачками, а в иных
случаях даже и с регрессом.
И он, Редвуд, наглядно и убедительно объясняет им, что эти медлительные
способы роста, подчас приводящие даже к спаду и угасанию, очень скоро
выйдут из моды по милости его открытия.

[Munin]

(Оффтоп)

А где можно скачать без регистрации? Или, если вы выкладываете, нельзя ли выложить на ресурс, не требующий регистрации при скачивании?

[Евгений Машеров]

Откуда-то я его качнул, но, боюсь, ссылка утеряна окончательно. Если интересно, то могу скачать оттуда же (в смысле с twpirxc.com ), и выслать почтой. Выложил бы к себе на dsp-book.narod.ru - но там уже лимит объёма превышен.

-- 07 июн 2012, 12:38 --

А чем регистрация так уж страшна? Там вроде спам не шлют... СМС-ок не требуют... Правда, есть "лимит скачивания", но им могу поделиться.